Мне хотелось бы сказать вам, в какой степени ответ Эратосфена соответствовал действительности. К несчастью, мы точно не знаем, как перевести стадии в современные единицы измерения, а потому не можем с уверенностью судить о точности его выводов. Но порядок величин точно верен. По текущим данным, окружность Земли на экваторе составляет около 40 тысяч километров. Эратосфен, вероятно, оценил ее в 40–46 тысяч километров. Неплохо для человека, которого прозвали “бетой”, или “второсортным”, поскольку, хотя он и добивался успехов во многих сферах, он никогда ни в чем не был первым.
И этим наш король второго места не ограничился. Он понял, что ось, относительно которой вращается Земля, что приводит к смене дня и ночи, не совсем параллельна оси ее орбиты вокруг Солнца. Поэтому на Земле и сменяются сезоны: поскольку ось наклонена, в определенные периоды в процессе обращения планеты вокруг Солнца северное полушарие получает больше света, чем шесть месяцев спустя. Изучив геометрию теней, чтобы оценить, каким может быть угол наклона оси, Эратосфен пришел к выводу, что он составляет 11/83 × 180°, или 23,85°. На самом деле – около 23,4°. Опять же, неплохо.
Невозможно продолжать разговор о треугольниках, не познакомившись с этой ужасной троицей: синусом, косинусом и тангенсом. Мало кто из нас хорошо понимает, что скрывается за этими словами. Если не вдаваться в детали, это числа, связанные с длинами сторон прямоугольного треугольника. Сегодня мы чаще всего встречаемся с ними, нажимая на кнопки калькулятора. Еще совсем недавно они записывались в таблицах, которые собирались в брошюры: мой первый учитель геометрии в начале каждого урока раздавал ученикам такие брошюры – помню, обложка у них была красно-белая. Я также помню, что во всех этих синусах, косинусах и тангенсах лично я видел лишь инструмент решения бесполезных математических задач.
В чем вообще их смысл? Неясно, когда эти термины вошли в обиход, но вероятно, что вариации величин, которые они представляют, использовались многие тысячи лет. Помните египетского писца Ахмеса? В его папирусе содержится вопрос: “Если высота пирамиды составляет 250 локтей, а длина ее основания равна 360 локтям, каков ее секед?” Из решения, которое он предлагает, задействуя длины сторон прямоугольных треугольников, становится понятно, что “секед” соответствует нашему котангенсу, то есть противоположности тангенса. В этом случае это противоположность тангенса угла между основанием и гранью пирамиды. Впрочем, мы забежали вперед. Начнем с синуса.
Как синус получил свое название
Он получил свое название по ошибке. Все началось с описания прямой вертикальной линии, показанной на рисунке выше. Она называется хордой дуги, а дуга – это отрезок окружности, по форме напоминающий лук. На санскрите хорда обозначается тем же словом, что и тетива: jiya. В арабских переводах ее называли jayb, но в записи по традиции обходились без гласных, поэтому оставалось только jb. При переводе древних трактатов по геометрии на латынь это слово ошибочно приняли за jaib, то есть “пазуха”, и потому использовали соответствующее латинское слово sinus.
Откуда берутся синусы, косинусы и тангенсы
Но что это такое? Синусы, а также косинусы и тангенсы – это просто отношения сторон треугольника (или результаты их сопоставления). Синус угла a – это отношение вертикальной стороны треугольника (BC) к радиусу окружности (или гипотенузе треугольника, AB на рисунке). Иными словами, синус угла – это длина противолежащей стороны, деленная на длину гипотенузы. Косинус угла a – это отношение основания треугольника AC к радиусу AB. Тангенс угла a – это отношение вертикальной стороны (BC) к основанию (AC). Теперь, узнав это, мы можем отправляться в путь.
“Вся навигация сводится к правильному треугольнику”, – сказал французский мореплаватель Гийом Дени в 1683 году[45]. Он имел в виду треугольник, который мы называем прямоугольным: по его словам, моряку достаточно изучить свойства этой фигуры. Эту истину установили много столетий назад, еще когда средиземноморские моряки начали использовать розы ветров. Роза ветров – это нанесенные на карту линии, соединяющие порты и другие примечательные места. Если карта верна, то угол наклона такой линии относительно севера позволяет проложить курс по компасу.
Моряки собирали розы ветров в портуланы – портовые книги, – которые широко использовались для навигации по Средиземному морю в XIII веке. Однако суда редко перемещались от порта к порту по прямой. Когда в ходе плавания они сбивались с курса – будь то из-за неблагоприятных ветров, из-за островов на пути или из-за встречи с пиратами, – математика треугольников, или тригонометрия, помогала морякам снова взять верный курс. Именно поэтому они всегда брали с собой либо таблицы синусов и косинусов, либо инструмент для их вычисления, например синусный квадрант.
Первое описание синусного квадранта было сделано в IX веке. Именно тогда аль-Хорезми, старший библиотекарь Дома мудрости в Багдаде (и человек, который познакомил нас с нулем в предыдущей главе), расчертил четверть круга на квадраты и прикрепил бечевку к точке в начале координат. Другой конец бечевки доходил до изогнутого края, поделенного на 90 градусов. Вдоль двух прямых сторон инструмента была нанесена шкала, поделенная на 60 единиц: с помощью одной из сторон вычисляли синус угла, с помощью другой – его косинус.
Синусный квадрант
Сегодня можно распечатать изображение синусного квадранта из интернета. Он поразительно прост в использовании: по сути, достаточно построить нужный угол с помощью бечевки и провести линию от края к шкале синусов или косинусов. Но будь вы моряком, которому нет дела до синусов и косинусов, на помощь вам пришла бы toleta de marteloio – тригонометрическая таблица, составленная специально для использования в мореходстве. По ней можно было определить, как скорректировать курс, если судно сошло с него из-за неблагоприятного ветра или по другой причине. Для этого достаточно было знать, сколько миль судно преодолело с отклонением от курса и насколько далеко от нужного курса оно идет. Toleta показывала, какое расстояние необходимо пройти по новому курсу, прежде чем судно вернется на изначальный курс.
При этом применялась другая диаграмма – роза румбов. Каждая ее четверть поделена на восемь румбов, соответствующих разным направлениям. В первой четверти, например, находятся румбы север-тень-восток, север-северо-восток, северо-восток-тень-север, северо-восток и так далее.
Роза ветров. Каждое из обозначенных на ней направлений – это румб
Давайте проверим, получится ли у нас рассуждать подобно моряку XIII века. Представьте, что вы хотите по морю дойти из Афин в Ираклион на Крите. Вам нужно преодолеть примерно 212 миль на юго-юго-восток, но ветер позволяет вам двигаться лишь в южном направлении. В ходе путешествия по Эгейскому морю вы сможете оценивать пройденное расстояние либо “счисляя координаты”, для чего вам придется определять скорость путем наблюдения за волнами за бортом, либо бросая в воду деревяшки и засекая время, за которое они преодолевают известное расстояние от носа до кормы. Допустим, вы прошли 75 миль и ветер сменился: теперь вы можете взять курс на восток-юго-восток. Но сколько вам нужно будет пройти в этом направлении, чтобы вернуться на изначально запланированный курс?
Как и сказал Дени, все сводится к прямоугольным треугольникам. С toleta de marteloio вам даже не придется заниматься тригонометрией. Если вы знаете, на сколько румбов от запланированного курса отстоял ваш изначальный курс и какое расстояние вы прошли, toleta покажет вам, сколько миль отделяет вас от нужного курса. Затем вы просто выбираете соответствующее количество румбов между изначально запланированным курсом и “обратным” курсом, который вы собираетесь взять, и узнаете, какое расстояние необходимо пройти по нему. Наконец, toleta показывает, сколько миль останется пройти по изначально запланированному курсу, когда вы на него вернетесь.
Toleta de marteloio
Простая toleta de marteloio, помогающая морякам корректировать курс
Мы прошли 75 миль на юг, отклоняясь на два румба от идеального курса. С помощью toleta мы узнаем, что находимся в 75/100 × 38 = 28,5 мили в стороне от курса[46]. Мы пойдем обратно (на изначально запланированный курс), отклоняясь от идеального курса на 4 румба. Сколько миль нам нужно пройти в этом направлении? Ответ: 28,5 ÷ 10 × 14 = 40 миль. Так мы окажемся в точке, где сможем взять изначальный идеальный курс, чтобы преодолеть остаток расстояния до Ираклиона.
Прокладка маршрута из Афин в Ираклион с помощью румбов и toleta de marteloio
Итак, если теперь все хорошо, мы прошли 75 миль на юг, затем 40 миль на восток-юго-восток, после чего нам остается пройти 114,5 мили на юго-юго-восток. Если такой возможности нет, нам придется повторить процесс снова. Нам остается лишь следить за своими перемещениями по карте, остерегаться мелководий, где судно может сесть на мель, и стараться сделать так, чтобы путешествие не затянулось и на борту не исчерпались запасы продовольствия и пресной воды.
Эти тригонометрические трюки и таблицы занимали такое важное место в инструментарии мореходов, что стали прекрасным источником дохода для предприимчивых преподавателей, которые открывали школы для моряков или писали учебники. Самые ушлые занимались и тем, и другим: набирали учеников и обязывали каждого из них купить написанный учителем учебник. Французский математик Гийом Дени так умело монетизировал свое знание геометрии, что открыл школу навигации в Дьепе. У него учились новобранцы французского флота, независимые моряки и даже пираты. Королевская школа гидрографии Дени была лишь одним из многих подобных европейских институтов, работавших в XVI и XVII веках. Хотя за моряками закрепилась репутация безграмотных невежественных грубиянов, многие из них, несмотря на это, прекрасно разбирались в мат