м столетиям новаторства: составлению карт звездного неба, созданию парового двигателя, наступлению атомного века и использованию счетных линеек, с помощью которых астронавты “Аполлона” осуществляли особенно важные расчеты. Но Непер также подарил нам десятичные дроби.
Об успехе десятичных дробей говорит то, что мы уже встречали их в этой книге, но нам даже не пришлось останавливаться и обсуждать, что именно они собой представляют. Давайте все же уделим им немного времени.
По сути, десятичные дроби – это просто другой способ записи дробей. Первая цифра после запятой обозначает количество десятых долей, вторая – сотых, третья – тысячных и так далее. Насколько нам известно, впервые эта идея нашла применение в книге арабского математика Абу-л-Хасана Ахмада ибн Ибрахима аль-Уклидиси, написанной в X веке. Он даже предложил особую форму записи – использовав знак, похожий на апостроф, – чтобы отделять целую часть числа от дробной.
Западные математики обратили внимание на десятичные дроби лишь в 1585 году, когда выходец из Брюгге Симон Стевин опубликовал книгу “Десятая”, в которой объяснил азы работы с ними. Твердо уверенный в практической пользе десятичных дробей, Стевин заявил, что рано или поздно страны перейдут к чеканке денег по десятичной системе.
Правда, в его собственной записи дроби выглядели иначе. Стевин обозначал начало дробной части нулем, заключенным в круг. За десятыми долями следовала заключенная в круг единица, за сотыми – заключенная в круг двойка и так далее. В 1612 году немецкий математик Бартоломеус Питискус избавился от этого мусора и предложил использовать в качестве разделителя знакомую нам точку. Популяризатором этой записи стал не кто иной, как Джон Непер, который применил ее в своих чудесных логарифмических таблицах.
Теперь мы узнали все необходимое, чтобы сделать следующий шаг – совершить поразительный скачок, который позволит нам вырваться из собственного мира и исследовать другие миры. Помните, как Непер изначально разработал логарифмы, чтобы помочь с расчетами астрономам и морякам? Поскольку в их основе лежит тригонометрия (а это слово, кстати, изобрел как раз Бартоломеус Питискус, отец десятичной точки), существуют любопытные взаимосвязи между логарифмами, экспонентами и вычисляемыми на основе треугольников отношениями, которые мы называем синусами, косинусами и тангенсами. Но в них участвует и еще кое-что, с чем мы еще не знакомы: комплексное, или мнимое, число. Как мы скоро увидим, “мнимое” – эпитет неудачный: это странное математическое творение достаточно реально, чтобы питать почти весь современный мир.
Глава 6. Комплексные числа. История электрического века
Случалось ли математическому изобретению получить более обманчивое название? Комплексные, или мнимые, числа появились из алгебры и сформировали собственную область науки – и собственную сферу влияния. Хотя они и не похожи на другие числа, они, несомненно, реальны: без них в современном мире не обходится практически ничего. Электрификация Америки, начинка мобильного телефона, звук в кинозале и треск усилителя Marshall – все перечисленное обязано своим существованием этим числам. Кремниевая долина в буквальном смысле была основана на них. И все же хорошо, что математик Чарльз Лютвидж Доджсон – более известный как Льюис Кэрролл – не понял, какую пользу они принесут, ведь иначе нам не удалось бы побывать на пресловутом безумном чаепитии у Шляпника.
Кларенс Леонидас Фендер был одним из миллионов американцев, потерявших работу в Великую депрессию, разразившуюся в 1930-х годах. Фендер получил диплом бухгалтера, окончив Фуллертонский колледж в Калифорнии, устроился в Калифорнийский дорожный департамент и так полюбил свою работу, что даже не задумывался о смене профессии. Позже он вел бухгалтерию в компании, которая торговала шинами. Лишившись и этой работы, он решил, что настало время перемен. Он вспомнил о своем детском увлечении, взял в кредит 600 долларов и открыл радиомастерскую.
Был 1938 год, и радиомастерская Фендера не только предлагала услуги по ремонту радио, но и продавала и давала в аренду собранные по собственному проекту усилители – главным образом для систем оповещения. Но важнее всего оказалась внедренная Лео Фендером инновация. Услышав о новомодных электрогитарах с дребезжащими усилителями, он взялся за проектирование и производство более удачных моделей. Никто не понимает, как он к этому пришел: похоже, он просто скопировал и приспособил под свои нужды усилительные контуры из выпущенного Американской радиовещательной корпорацией “Руководства по радиоприемникам”, содержавшего базовые инструкции по сборке радиооборудования.
Первые усилители вышли из его мастерской в 1945 году. Год спустя он начал продавать усовершенствованные модели, которые прозвали “деревяшками”, потому что их корпуса изготавливались из твердой древесины. Усилители и гитары Фендера прославились на весь мир, и место, где находилась его радиомастерская в Фуллертоне, теперь отмечено табличкой и внесено в Национальный реестр исторических мест США. Невозможно, впрочем, отрицать, что по звучанию первых усилителей Фендера было ясно, что проектировал их бухгалтер, и вскоре доморощенные инженеры-электрики принялись за совершенствование конструкции.
Одна из таких попыток привела к появлению другой памятной таблички, на этот раз на стене дома номер 76 по Аксбридж-роуд в районе Хэнуэлл на западе Лондона. На табличке просто написано, что именно там Джим Маршалл продал свой первый гитарный усилитель.
Маршалл торговал главным образом барабанами – он преподавал игру на ударных, – но также и усилителями Лео Фендера. Однако в начале 1960-х годов гитаристам хотелось уйти от тонкого и чистого звука этих усилителей. Барабаны становились все громче, и гитаристам нужны были усилители, способные перекрыть их грохот – и, пожалуй, выдать более интересное звучание. Маршалл решил подзаработать на конструировании и продаже собственных усилителей с характерным оглушительным звучанием, но у него для этого недоставало инженерных навыков. Ими не располагал и работавший с ним мастер по ремонту оборудования Кен Брэн. Но Брэн знал, к кому обратиться.
Брэн был радиолюбителем и состоял в Гринфордском радиоклубе, который собирался пятничными вечерами. Именно там он познакомился с 18-летним Дадли Крейвеном, стажером-электротехником из компании EMI Electronics, находившейся в Хейсе на западе Лондона. В клубе Крейвен слыл гением электроники. После одной из пятничных встреч Брэн уговорил его зайти в закусочную выпить кофе и там предложил ему помочь им с Маршаллом в осуществлении плана[151].
Крейвен обрадовался возможности подзаработать. Вечерами после учебы и работы он стал уходить в отцовский сарай, где пускал в ход свое знание электроники, чтобы усовершенствовать конструкцию усилителя Лео Фендера. В стремлении обеспечить трескучее перегруженное звучание на чудовищной громкости, какого жаждал Джим Маршалл, он заменял часть деталей и добавлял новые. В сентябре 1963 года он понял, что движется в верном направлении, когда его первый усилитель купил Пит Таунсенд, который вскоре основал группу The Who. Таунсенд заплатил Маршаллу 110 фунтов.
Комиссия Крейвена составила менее 0,5 % – всего 10 шиллингов. Маршалловское звучание, приведшее к рождению рок-музыки, появилось благодаря таланту молодого паренька, который просто хотел заработать денег на карманные расходы. Однако ни этого звучания, ни того, что привело к его появлению, – включая изобретение радио и электрификацию Америки – не было бы без комплексных чисел.
Мнимые, или комплексные, числа – вовсе не вымысел. На самом деле они оказали на нашу жизнь гораздо более значительное влияние, чем могло бы оказать нечто поистине мнимое. Без комплексных чисел, сыгравших важнейшую роль в подведении электричества к домам, заводам и серверным фермам, обеспечивающим работу интернета, современного мира просто не существовало бы. Впрочем, прежде чем погружаться в тему, нам, вероятно, стоит объяснить, что же такое комплексные числа.
Мы уже знаем, как возвести число в квадрат (умножить его на само себя), и знаем, что отрицательные числа при возведении в квадрат становятся положительными (как помните, минус на минус дает плюс). Следовательно, (–2) × (–2) = 4. Мы также знаем, что извлечение квадратного корня – это обратная операция по отношению к возведению в квадрат. Получается, что число 4 имеет два возможных квадратных корня: 2 и –2. Комплексное число появляется, когда мы пытаемся извлечь квадратный корень из –4.
В чем здесь вообще смысл? Если возвести число в квадрат, будь оно хоть положительным, хоть отрицательным, результат будет положительным. Следовательно, невозможно произвести обратную операцию для отрицательного числа. Несомненно, так и полагал Герон Александрийский, египетский архитектор, математические хитрости которого из книги “Стереометрия” подарили нам купол Софийского собора в Константинополе. В той же книге он объяснил, как найти объем усеченной квадратной пирамиды, то есть пирамиды с усеченной верхушкой. В одном из примеров он для этого вычел 288 из 225, после чего должен был извлечь квадратный корень из полученного числа. Но число это оказалось отрицательным: –63. Следовательно, ответом был √-63.
По какой-то причине – может, кто-то решил, что в расчеты вкралась ошибка, может, переписчик неправильно скопировал текст, а может, счел это абсурдным – из дошедших до нас списков видно[152], что Герон опустил знак минуса и просто извлек √63.
Квадратные корни из отрицательных чисел и есть комплексные, или мнимые, числа. Первым о том, что их не стоит оставлять без внимания, заговорил итальянский астролог Джероламо Кардано. Мы уже встречались с Кардано в главе об алгебре, и именно так, решая кубические уравнения, он и столкнулся с этой проблемой. Сначала он назвал такие числа “невозможными случаями”. В своей книге по алгебре “Великое искусство”, вышедшей в 1545 году, он привел пример, в котором попытался разделить 10 на два числа, при перемножении дающих 40. В процессе расчетов у него возникло выражение 5+√-15.