Кардано не смутила эта неожиданная встреча. Он даже снабдил ее комментарием. Но свою мысль он записал на латыни, и переводчики не могут однозначно сказать, что он имел в виду[153]. Одни считают, что он назвал это “ложным положением”. Другие полагают, что он написал о “воображаемом” числе. Третьи утверждают, что он указал на “невозможность” решения такой задачи. Один из его последующих комментариев о том, как действовать в такой ситуации, либо велит нам “покончить с муками разума”, либо сообщает, что “воображаемые элементы теряются”. В другом месте Кардано называет это “арифметической тонкостью, которая… столь же изящна, сколь бесполезна”. Он отмечает, что ситуация “поистине сложна… невозможно провести другие операции, которые проводятся с чисто отрицательными числами”. Под чисто отрицательными числами он понимает обыкновенные отрицательные числа, например –4. Отрицательные числа его не смущали, и он написал, что “√9 равняется либо +3, либо –3, ибо плюс [умноженный на плюс] или минус, умноженный на минус, дает плюс”. Он продолжил: “√9 – это не +3 и не –3, а некая малопонятная третья величина”. Очевидно, Кардано полагал, что квадратные корни из отрицательных чисел – нечто мудреное и абсурдное, но при этом понимал, что их существование невозможно отрицать и что математику следует с ними работать. Но сам он этим заниматься не стал: ни в одном из его более поздних сочинений не упоминаются квадратные корни из отрицательных чисел. Он оставил эту задачу на откуп своему соотечественнику Рафаэлю Бомбелли, который взялся за нее через пару десятков лет.
Как выразился сам Бомбелли, в 1572 году ему в голову пришла “шальная мысль”, что слагаемые в выражении 5+√-15 можно рассматривать как отдельные элементы. “Казалось, в основе этого лежит софистика, а не истина”, – отметил он, но все же осуществил задуманное. И мы поступаем так по сей день, поскольку этот метод работает.
Отдельные элементы Бомбелли мы называем действительными и мнимыми частями того, что в комбинации дает “комплексное число” (комплексное, как “военно-промышленный комплекс”, то есть предполагающее комбинацию – действительной и мнимой частей, – а не усложнение). Но давайте говорить начистоту. Если, вспоминая математику, мы и научились чему-то, так это тому, что все числа мнимые. Числа – это просто запись, помогающая нам с понятием “сколько”. В связи с этим называть квадратные корни из отрицательных чисел “мнимыми числами” – уничижительно и неразумно.
И все же следует понимать, что между ними есть разница. “Действительными” математики называют числа, которые знакомы вам лучше. Это “два” в сочетании “два яблока”, это 3,14… в пи, это различные дроби. Как положительные числа в некотором смысле дополняются отрицательными, так и действительные числа дополняются числами, которые нам приходится называть мнимыми. Они похожи на инь и ян, на орла и решку. И на самом деле они вовсе не мнимые.
Развивая свою “шальную мысль”, Бомбелли продемонстрировал, что числа нового типа играют собственную роль в реальном мире. Он взялся за кубическое уравнение, которое отчаялся решить Кардано: x3 = 15x + 4. В решении Кардано возникло выражение с квадратным корнем из –121, и ученый просто зашел в тупик. Бомбелли, однако, подумал, что можно попробовать применить к квадратному корню обычные правила арифметики. И он предположил, что √–121 эквивалентен √121×√–1, то есть 11×√–1.
Свой великий прорыв Бомбелли совершил, когда осознал, что эти странные и, казалось бы, невозможные числа подчиняются простым арифметическим правилам, если в ходе вычислений отделить их от других, более привычных нам чисел. После этого оставалось лишь взять быка за рога.
Поработав с кубическим уравнением Кардано, он получил решение:
x = (2 + √–1) + (2 – √–1)
Если разделить его на части, которые сейчас назвали бы действительной и мнимой, у нас получится 2 + 2 и √–1 – √–1. Мнимая часть исчезнет, и останется только 2 + 2. Следовательно, один из корней уравнения x3 = 15x + 4 – это x = 4. Подставьте 4 на место x и проведите проверку.
Сегодня √–1, как правило, обозначается буквой i. Использовать ее предложил уже знакомый нам швейцарский математик Леонард Эйлер. Можно подумать, что он взял букву i, поскольку она идет первой в слове imaginary, “мнимый”, но, скорее всего, Эйлер выбрал ее произвольно, как и e. Как бы то ни было, решение Эйлера закрепило за i статус чисто мнимого числа, и это сбивает нас с толку.
Чтобы лучше понять, что такое чисто мнимое число, представим числовую ось от –1 до 1 (можете представить лежащую перед вами линейку, слева у которой –1, а справа +1). Процесс перемещения по оси мы называем сложением и вычитанием (я стою в точке 0,3, прибавляю еще 0,3 и перемещаюсь в точку 0,6). Но также можно представить, как мы перемещаемся путем умножения. Если я начинаю в точке 1, то как мне попасть в точку –1? Путем умножения на –1. Представим умножение на –1 как половину оборота по окружности против часовой стрелки (в нашем случае окружность проходит через точки 1 и –1). Это поворот на 180 градусов. Математики предпочитают использовать другие единицы: 180° – это π радиан (360°, полный круг, – это 2π радиан).
Чисто мнимые числа и числовая ось
Что произойдет, если мы совершим лишь половину такого поворота? Мы остановимся на полпути от умножения на –1, то есть как если бы произвели умножение на √–1. Этот поворот на π/2 радиан (или 90°) помещает нас в верхнюю точку полуокружности, находящуюся на удалении от обычной числовой оси. Следовательно, можно считать, что квадратный корень из –1 находится на второй числовой оси, которая проходит под прямым углом к первой. Это просто еще один набор чисел, на этот раз на второй линейке, которая лежит крест-накрест под углом 90° к первой, и дальше всего от вас находится +1, а –1 – прямо у вас перед глазами.
И здесь мы приходим к любопытному выводу. Связь с вращением по кругу значит, что число i связано с π и синусами и косинусами углов. Посредником в этой связи выступает странное число e, с которым мы встречались в прошлой главе. Эйлер установил, как именно они взаимосвязаны, когда взял особый бесконечный ряд (ряд Тейлора) и вывел формулу, которую теперь называют формулой Эйлера:
e±iθ = cosθ ± isinθ
Такова фундаментальная взаимосвязь между основанием натурального логарифма и чисто мнимым числом. Более того, можно свести ее к так называемому тождеству Эйлера:
eiπ + 1 = 0
Кому-то покажется, что в этой формуле есть нечто мистическое. В ней фигурируют основание натурального логарифма e, числа 0 и 1, которые представляют собой уникальные случаи на числовой оси, чисто мнимое число, само по себе исключительное, а также число π, питающее математику. Хотя их открыли в разное время разные люди, изучающие разные математические феномены, оказалось, что все они взаимосвязаны и сосуществуют в этом простом и изящном уравнении.
Впрочем, если взглянуть на него иначе, удивляться, пожалуй, станет нечему. В этой формуле, как и в числе π, нет ничего таинственного. Она является следствием того, что числа меняются и преобразовывают себя и друг друга при вращении. Это объясняется исключительно самой природой чисел, которые отражают взаимосвязь величин. Нам ведь не кажется мистическим движение по знакомой “действительной” числовой оси посредством сложения и вычитания. И преобразования путем умножения и деления, по сути, ничем не отличаются. Как вы помните, синусы и косинусы – это просто отношения (частные двух чисел), связанные с углами в треугольниках, и эти углы можно представить в виде долей π или кратных π величин в единицах, называемых радианами. Следовательно, мы здесь не раскрываем непостижимую загадку Вселенной, а получаем простой и полезный набор взаимосвязей, вытекающих из различных подходов к определению чисел.
Эти взаимосвязи не просто полезны – их можно назвать жизненно важными. Рассмотрим, например, их применение в естественных науках: составить полное математическое описание природы без чисто мнимых чисел просто не представляется возможным. Действительных чисел, которые мы так хорошо изучили, недостаточно. Их необходимо комбинировать с чисто мнимыми числами, чтобы создавать “комплексные” числа, впервые продемонстрированные Бомбелли. В результате, по словам математика Роджера Пенроуза, получается прекрасная завершенность. “Вскоре мы увидим, что комплексные числа, как и вещественные, а может быть, и в еще большей степени, обнаруживают поистине замечательное единство с природой, – отмечает он в книге «Путь к реальности». – Это выглядит так, как если бы сама природа была, как и мы, под впечатлением от общего и последовательного характера системы комплексных чисел и поручила им описывать тонкие процессы в самых малых масштабах”[154]. Иными словами, мы должны были открыть комплексные числа, поскольку они представляют собой неотъемлемый элемент описания природы.
Величайший вклад в науку комплексные числа, пожалуй, вносят своей важнейшей ролью в уравнении Шрёдингера, используемом в квантовой механике. Эта область математики дает нам наилучший способ описывать и прогнозировать поведение части базовых составляющих природы. Будь то фотоны (сгустки электромагнитной энергии, например света), электроны (отрицательно заряженные субатомные частицы), протоны и нейтроны (из которых состоят ядра атомов) или различные силы, возникающие между такими частицами, – все в природе, похоже, подчиняется законам, заключенным в этом уравнении. Его вывел австрийский физик Эрвин Шрёдингер в 1925 году, и за это в 1933 году он удостоился Нобелевской премии. Это уравнение остается одним из самых важных и самых емких описаний поведения