мира природы, и нам стоит на него взглянуть, хотя подробно разбирать его мы не станем. Обратите внимание на i, чисто мнимое число, которое стоит в нем в самом центре:
О странности и непостижимости квантовой теории сказано немало. Американский физик Ричард Фейнман, получивший Нобелевскую премию за разработку теории квантовой электродинамики, однажды заявил: “Думаю, можно смело сказать, что квантовую механику не понимает никто”[155]. В ее странности сомнений не возникает: уравнение Шрёдингера допускает существование такого явления, как “суперпозиция”, при котором субатомные частицы словно бы наделяются множественными сущностями и могут фактически находиться в двух местах одновременно или двигаться одновременно в двух разных направлениях. Есть и “квантовая запутанность”, которую Эйнштейн назвал “призрачным дальнодействием”. Призрачное оно потому, что, пребывая в состоянии запутанности, квантовые частицы, судя по всему, мгновенно оказывают влияние на свойства друг друга, как бы далеко друг от друга они ни находились в пространстве. Если толкнуть одну из частиц, пребывающих в запутанном состоянии, то вторая “ощутит” этот толчок, даже находясь при этом на другом конце Вселенной.
Все странные квантовые свойства были замечены в уравнениях квантовой теории задолго до того, как удалось пронаблюдать их в ходе экспериментов. И эти уравнения не обходятся без комплексных чисел.
Это объясняется тем, что мы имеем дело с явлениями, которые лучше всего описываются как волны. Первым такой подход к квантовым феноменам предложил французский аристократ герцог Луи де Бройль. Учась в аспирантуре на факультете естественных наук Парижского университета, он предположил, что любую частицу можно представить как волну, а любую волну – как частицу.
Основная идея де Бройля заключалась в том, чтобы считать электрон внутри атома волной, длина которой зависит от заряда. Когда заряд увеличивается, длина волны уменьшается. Сделать полное математическое описание такой волны можно лишь с использованием комплексных чисел. Главный фактор в этом описании – так называемая фаза. Обычно наличие фаз предполагает оценку относительно чего-то: так, фазы Луны меняются в зависимости от относительного расположения Луны, Земли и Солнца. Применительно к физическим волнам, например водяным и звуковым, фаза показывает, где вы находитесь относительно начала и конца волнового цикла (скажем, посередине). Но применительно к квантовым волнам фаза – нечто совсем иное: это простое свойство квантовой частицы. Можно сказать, что электрон находится в определенном положении, обладает определенным импульсом и пребывает в определенной фазе. Как ни странно, эта квантовая фаза не существует в одном физическом пространстве с частицей.
Чтобы согласовать свою идею с теорией относительности Эйнштейна, де Бройль допустил наличие дополнительных измерений. Если бы волна переносила энергию и импульс частицы в физическом пространстве, ей приходилось бы двигаться быстрее скорости света, а теория относительности этого не допускает. Де Бройль подчеркнул, что речь здесь идет о “фазовой волне”, а не о “вещественной”. Волна в данном случае – хотите верьте, хотите нет – представляет собой комплексное число, которое колеблется в некоем абстрактном измерении.
Возможно, вам уже и это кажется безумием, но дальше – хуже. Квантовая физика выделяет дополнительное измерение для каждого физического свойства каждого электрона. Именно поэтому Эрвин Шрёдингер назвал свое развитие идеи де Бройля “многомерной волновой механикой”[156]. Маленькая буква i в уравнении Шрёдингера кажется совсем простой, но создает огромный комплексный (во всех смыслах) ландшафт, состоящий из практически бесконечного числа измерений.
Этот многомерный ландшафт используется для построения гильбертова пространства. Оно названо по имени математика Давида Гильберта, который, изучая математический анализ и геометрию, предложил идею об арене, где знакомые нам три пространственных измерения разветвляются на бесконечное число измерений. На этом основана “многомировая” интерпретация квантовой теории, которая утверждает, что существуют, по сути, другие вселенные, альтернативные нашей, и каждая из них содержит чуть отличную от нашей версию реальности.
Поразительно, но квантовая концепция множества миров – не самый сложный результат работы с комплексными числами. Дело в том, что квантовая механика не является финальной теорией Вселенной. Для такой теории нам, вероятно, понадобится набор комплексных чисел, называемых кватернионами, а также (возможно) родственных им октонионов. Пора совершить путешествие в Дублин и познакомиться с математиком сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном, который выцарапал свое открытие на мосту.
Начнем с пифагорейцев, с которыми мы уже встречались в одной из предыдущих глав. Это те самые ученые, которые входили в свою школу через ворота с надписью “Все есть число” и, возможно, утопили коллегу, указавшего на изъян в их системе ценностей.
Их фанатизм начался с любви и уважения к музыке. Греческую музыку – музыку космоса, по мнению пифагорейцев, – можно свести к отношениям чисел, например 1 к 2, 3 к 2 и 4 к 3. Две одинаково натянутые струны, длины которых относятся друг к другу как 1:2, дают ноты с интервалом в октаву. Струны с отношением 3:2 дают “чистую квинту”. При отношении 4:3 получается кварта. Числа 1, 2, 3 и 4 для греков были священны, а их сумма равнялась 10 – совершенному числу. Их представляли в виде треугольника из символов. Этот набор из четырех элементов назывался тетрактис. К нему обращались при произнесении клятв: “Во имя того, кто подарил нам тетрактис, содержащий источник и корень вечно текущей природы”. Иными словами, они подходили к числам со всей серьезностью, считая их ключом к пониманию Вселенной.
Греческий тетрактис
И они, возможно, были правы. В 1960 году венгерский математик Юджин Вигнер написал очерк “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”[157]. Его мысль была проста: Вигнер полагал, что изобретение чисел и набора правил для проведения манипуляций с ними позволило нам описывать и прогнозировать множество явлений реального мира. Но числа и правила, то есть математика, были, как он утверждал, продуктом человеческого мозга, так почему же они открывали нам путь к таким открытиям? Вигнер отметил, что “чрезвычайная эффективность математики в естественных науках… [это] нечто загадочное”. И добавил, что она “не поддается рациональному объяснению”. Он назвал это “чудом”.
Шестьдесят лет спустя чудо так никуда и не делось, но вышло за пределы мира натуральных чисел, занимавших умы пифагорейцев. Как мы увидели, оно вошло в мир комплексных чисел, которые позволили нам сконструировать усилители и изучить поведение субатомных частиц. Но и это не стало пределом, поскольку теперь у нас на горизонте маячат гиперкомплексные числа. Понимаю, звучит пугающе, но потерпите немного. Есть смысл набраться смелости и выйти в эту область, ведь в итоге вы получите прекрасное постпифагорейское представление о том, из чего на самом деле может состоять Вселенная.
Герой этой истории – ирландский математик. Уильям Роуэн Гамильтон родился в Дублине в 1805 году. Возможно, его биографы преувеличивают, но утверждается, что он был настолько смышлен, что к десяти годам успел освоить десять древних языков, включая халдейский, сирийский и санскрит. Но мальчик и правда был весьма одарен: когда в семнадцать лет он прочел недавно опубликованный трактат Лапласа о механике небесных тел, он нашел в нем ошибку, которую не заметил больше никто. Уже в двадцать два года он стал королевским астрономом Ирландии. К тридцати годам он был посвящен в рыцари за заслуги в развитии наук.
Это случилось в 1835 году, в тот же год, когда Гамильтон увлекся комплексными числами. Ему искренне хотелось продвинуться дальше в этой сфере. Он рассудил, что если чисто мнимое число i дает нам дополнительное измерение в пространстве чисел, то нельзя утверждать, что других измерений в этом пространстве нет. Он решил провести эксперимент и предложил два дополнительных набора чисел – по сути, два дополнительных измерения на числовой оси. Обозначив их j и k, он стал изучать, какие арифметические действия может с ними произвести, подобно тому как Бомбелли поступил с квадратным корнем из –1 (ныне известным как i) тремя столетиями ранее.
Оказалось, что Гамильтон мог приписать j и k математические свойства, которые позволили бы ему осуществлять сложение и вычитание в “тройке” – так он называл совокупность i, j и k. А вот с умножением и делением ничего не выходило. Гамильтон был твердо настроен расширить набор допустимых операций, и это находило отражение в вопросе, с которым дети обращались к нему каждое утро. “Ну что же, папа, – говорили они, когда отец спускался к завтраку, – ты научился умножать тройки?” Гамильтон, по его же словам, отвечал им, “печально качая головой”[158].
А затем у него все получилось. Его озарение стало предметом известного анекдота из истории математики. 16 октября 1843 года он прогуливался с женой вдоль дублинского канала Ройал и вдруг понял, в какой взаимосвязи должны состоять i, j и k, чтобы задача обрела решение. “В тот миг я почувствовал, как замыкается гальваническая цепь моей мысли, и искры, вылетевшие из нее, дали мне базовые уравнения, связывающие i, j и k”, – вспоминал он. Он так обрадовался, что, боясь упустить свою мысль, выцарапал решение на камне ближайшего моста. Следы его вандализма давно исчезли, уничтоженные годами и прикосновениями. Сегодня место, где на Гамильтона снизошло озарение, отмечено табличкой, на которой высечено и выражение, сложившееся из отдельных искр: