При отслеживании подлетающего самолета, будь то на войне или в мирное время, важна скорость. Шорткат к вычислению местоположения самолета по отражающимся от него радиоволнам может иметь жизненно важное значение. Основные вычисления, необходимые для решения этой задачи, относятся к области тригонометрии (об этом шорткате я расскажу в главе 4). Форму передаваемых и регистрируемых после отражения волновых импульсов описывают при помощи тригонометрических функций – синусов и косинусов. Необходимые для этого вычисления оказываются сложными и занимают чрезвычайно много времени. Но тут на помощь приходят мнимые числа.
Великий швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер обнаружил, что подстановка мнимых чисел в показательную функцию – простую функцию возведения числа в степень х, например, 2х – дает довольно любопытные результаты. Получается сочетание волновых функций, очень похожих на те волны, которые впоследствии стали использовать в радарах. Эта связь – ключ к уравнению, которое многие математики считают самым красивым в истории. Дело в том, что один из случаев этой связи между волнами и показательными функциями дает уравнение, связывающее пять важнейших чисел в истории математики – 0, 1, i (квадратный корень из –1), π = 3,14159… и е = 2,71828… (возможно, самое знаменитое число в математике, не считая π; мы поговорим о нем подробнее в главе 7):
eiπ + 1 = 0
Стоит возвести е в степень, равную произведению i и π, и прибавить к результату 1, как все члены этого выражения волшебным (или математическим) образом сокращаются, и в ответе получается 0. И это одно из любопытных проявлений той связи между показательными и волновыми функциями, которую создают мнимые числа.
Поэтому математики поняли, что можно не заниматься сложными вычислениями волновых функций, а упростить и ускорить расчеты, объединив все их элементы при помощи мнимых чисел. Благодаря использованию этих странных чисел вычисления свелись к расчетам показательных функций, которые можно было выполнить быстро и рационально. Даже сегодня авиадиспетчеры, в распоряжении которых имеется необычайная мощь современных компьютеров, используют для обнаружения самолетов и их сопровождения при посадке в аэропортах всего мира тот же самый шорткат через мнимые числа. Не будь его, самолеты падали бы на землю еще до завершения вычислений их местоположения.
Этот пример наглядно иллюстрирует утверждение Поля Пенлеве о том, что «самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую».
Двоичное, и не только
Один из других шорткатов, которые участвуют в рационализации компьютерных вычислений, – это применение чрезвычайно экономичной системы записи чисел. Как мы уже видели, десять символов десятичной системы счисления – не единственный вариант представления чисел. Для выражения чисел можно выбрать степени любого числа, не только десяти, как в десятичной системе. Вавилоняне использовали символы для записи чисел от 0 до 59 и работали с системой счисления на основе 60. У майя были символы для чисел от 0 до 19, а в созданной ими системе счисления использовались степени двадцати. Выбор числа 10 в качестве основы для наших чисел сводится всего лишь к капризу анатомии, снабдившей нас десятью пальцами на руках.
Но с анатомией человека могла быть связана и вавилонская система. На каждом из наших пальцев (кроме большого) по три сустава. Поэтому большим пальцем правой руки можно указывать на ее же суставы, соответствующие числам от 1 до 12. Каждый раз, отсчитав 12 суставов, можно отмечать очередную дюжину на левой руке, а затем заново начинать отсчет до 12 на правой. Поскольку на левой руке 5 пальцев, так можно отсчитать до 5 наборов по 12 суставов, то есть дойти до 60!
Скажем, для обозначения числа 29 нужно поднять два пальца на левой руке и указать большим пальцем правой на пятый сустав (средний сустав среднего пальца).
Но компьютеры могут использовать всего один палец. По сути дела, они работают по принципу выключателя – либо включенного, либо выключенного. Им нужна система на основе всего двух символов – 0 для выключенного состояния и 1 для включенного. Но даже используя только эти два символа, компьютер может выразить любое число. Положения цифр в этой позиционной системе, так называемой двоичной системе счисления, означают не степени десяти, а степени двух. Так, число 11011 соответствует числу
1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 1 = 27.
Поскольку мы научились преобразовывать в цифровой формат разговоры, изображения, музыку и книги, можно сказать, что этот шорткат превратил весь окружающий нас мир в строчки нулей и единиц.
Идея двоичного представления также дает ключ к решению головоломки, с которой начинается эта глава. С каким минимальным количеством гирь бакалейщик сможет взвешивать от 1 до 40 кг? Фокус тут заключается в переходе не в двоичную, но в троичную систему, основанную на степенях числа 3. У весов есть три возможных состояния: гиря в правой чаше (+1), гиря в левой чаше (–1) или отсутствие гирь. Рассуждая в такой троичной системе счисления, можно показать, что для измерения любого веса от 1 до 40 кг бакалейщику нужны всего четыре гири: 1 кг, 3 кг, 9 кг и 27 кг.
Например, чтобы взвесить 16-килограммовый мешок, нужно положить его на одну чашу весов вместе с гирями весом 3 и 9 кг. Весы будут точно уравновешены, когда на вторую чашу положат гири весом 1 и 27 кг. Для представления чисел используются не цифры 0, 1 и 2, а символы –1, 0 и 1. Тогда число 16 записывается в виде 1(–1)(–1)1 то есть 1 минус 3 минус 9 плюс 27, что дает 27 – 9 – 3 + 1 = 16.
Идет ли речь о числах или какой-нибудь другой сложной идее, выбор наилучших обозначений для выражения этой концепции может быть шорткатом, позволяющим прийти к решению. Бакалейщик, мыслящий в троичной системе, может купить всего четыре гири, которых ему хватит на все случаи жизни. Его конкурент, не понимающий этого шортката, будет тратить лишние средства на покупку ненужных гирь.
Шорткат к шорткатам
Создание удобных сокращенных обозначений сложных концепций было важнейшим шорткатом в течение всей истории человечества, и не только в области записи чисел. Если вы ведете конспекты на лекциях или совещаниях, вы, вероятно, уже начали создавать сокращенные обозначения для многократно упоминаемых основных идей. Но нельзя ли найти еще более удобный способ обозначения этих идей, который облегчил бы работу с ними? Бывает так, что в одном виде данные кажутся маловразумительными, но как только мы изменяем способ их записи, они наводят на новое понимание. Графики в логарифмическом масштабе часто говорят о данных больше, чем исходные числа; именно поэтому, например, силу землетрясений измеряют по логарифмической шкале Рихтера. Не стоит забывать и о зеркалах: они, как это было в случае мнимых чисел, могут вывести нас за пределы мира, в котором мы заключены, и открыть шорткат к цели, пролегающий через мир альтернативный.
Пит-стоп: Стартап
«Я говорил своим директорам по маркетингу: можно будет считать, что вы добились настоящего успеха, если вас арестуют. Никому из них не удалось этого сделать».
Об этом рассказал мне во время недавней встречи Брент Хоберман, основатель бизнес-инкубатора Founders Factory[34]. Хоберман (которого, надо сказать, тоже пока что не арестовывали) считает, что именно деятельность на грани закона была причиной успеха самого знаменитого из его предприятий, компании lastminute.com[35], которую он основал в 1998 году вместе с Мартой Лейн Фокс. Нарушение правил игры – часть того, что Хоберман считает «предпринимательским мышлением», и его шорткат к успешным коммерческим предприятиям.
В офисах Founders Factory царит замечательно непринужденная атмосфера. Стены покрыты досками с безумными каракулями, довольно сильно напоминающими доски, которые можно увидеть на математических факультетах всего мира. Благодаря открытой планировке помещения сотрудники разных стартапов все время взаимодействуют друг с другом, обмениваясь идеями. Для стимуляции умственной деятельности есть еда, напитки и игры. Но шорткатом к успеху предприятий, вызревающих на «фабрике» Хобермана, он считает именно нарушение правил игры.
«История знает множество предпринимателей, которые нарушали правила и лишь потом просили прощения, – говорит Хоберман. – Так было с Uber, так было с Airbnb. Обе эти компании нарушали законы. Почему люди не имеют права сдавать свое собственное жилье? А потом общество смотрит и говорит: а ведь действительно, почему? В этом и был их шорткат».
Нарушение законов – это стратегия, оказавшаяся полезной и многим математикам. Законы математики гласили: если число возвести в квадрат, результат должен быть положительным. Но Рафаэлю Бомбелли хватило наглости взяться за число, квадрат которого равен –1. Отступив от правил игры, можно получить доступ к целой массе интересной новой математики. Древнегреческий математик Евклид утверждал, что сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Но, как мы увидим в дальнейшем, другие математики придумали геометрии, в которых треугольники нарушают закон Евклида. Главное в нарушении закона – чтобы выгода от этого нарушения стоила самого нарушения.
Брент Хоберман объяснял мне: «Речь идет почти что о новом определении сути предмета. Правила могут быть устаревшими. Правила могут устанавливаться слишком медленно. Иногда некоторые переопределяют собственные нравственные ориентиры, говоря, что связанная с этим опасность оправданна, потому что результат приносит пользу обществу».
Ключевым элементом успеха lastminute.com было объединение нераспроданных услуг авиакомпаний, компаний проката автомобилей и гостиниц в комплексные пакеты для продажи по ценам более низким, чем при покупке тех же услуг по отдельности. Идея такой модели впервые пришла в голову Хоберману в студенчестве, когда он пытался увезти свою подругу на выходные в какое-нибудь интересное место. Он звонил в гостиницы в последнюю минуту и спрашивал, сколько незанятых номеров у них осталось на ближайшую ночь. Если ему говорили, что их осталось пять или шесть, он понимал, что гостиница вряд ли сумеет сдать их все, и предлагал снять один из них с 70-процентной скидкой. «В одном случае из трех этот фокус удавался».