Например, если я хочу посетить дом, в котором родился Декарт, находящийся в городе Декарт (названном так не по удивительному совпадению, а уже после его смерти[42]), попасть туда мне помогут его координаты: широта 46,9726497 и долгота 0,7000201. Любое положение на планете можно выразить при помощи двух таких чисел. Геометрия планеты переведена на язык чисел.
Декарт изложил эту плодотворную идею – применения координат для описания геометрии – в книге «Геометрия» (1637). При помощи этих чисел, называющихся теперь в честь человека, предложившего такой перевод, декартовыми (картезианскими) координатами, можно определить геометрическое положение не только на поверхности планеты, но и на любом изображении. Словарь Декарта открыл возможность перевода между геометрией и алгеброй.
Могущество этого перевода становится особенно ясным, когда нужно описать движение некоего объекта в пространстве. Бросьте мяч – и я смогу описать высоту мяча над землей в момент, когда он находится на заданном расстоянии от бросившего его. Связь между этими двумя величинами выражается математическим уравнением. Пусть х – расстояние, которое мяч пролетел по горизонтали. Пусть v – скорость мяча в вертикальном направлении в момент броска, а u – его горизонтальная скорость. Если обозначить высоту мяча над землей буквой y, то эти ингредиенты дадут формулу для определения этой высоты:
Буква g обозначает величину, которую называют ускорением свободного падения. Она определяет, насколько сильно мяч притягивается к данной планете под действием силы тяжести.
Как бы сильно или высоко вы ни бросили мяч, уравнение остается тем же самым. Нужно только изменить значения u и v, играющие роль регуляторов настройки, которые можно подкрутить, чтобы изменить форму траектории. Понимание этой закономерности, которая определяет, как летят по воздуху любые мячи, позволяет предсказать, где мяч упадет на землю. Ее формула – это квадратное уравнение относительно х. Если вы футболист и хотите узнать, где вам нужно встать, чтобы принять летящий мяч на голову и отправить его в ворота противника, вам нужно решить это уравнение относительно х. Как я рассказывал в предыдущей главе, древние вавилоняне нашли алгоритм для решения этой задачи еще четыре тысячи лет назад.
Но такие квадратные уравнения описывают не только траектории мячей. Если посмотреть на изменения цен на товары с колебаниями спроса и предложения, их зачастую можно описать уравнениями такого же типа. Когда уравнения описывают числа, появляется возможность научиться находить точку экономического равновесия, в которой товар оценивается при равенстве предложения и спроса. Компания, не умеющая использовать язык уравнений для представления своих данных, будет, как сказал Галилей, блуждать в темном лабиринте, пока ее конкуренты будут загребать прибыли.
Если у вас есть набор данных, полезно попытаться найти уравнение, описывающее связь между ними. Его обнаружение открывает поразительный шорткат к предсказанию того, что может случиться в будущем.
Такие паттерны бывают необычайно универсальными. В случае брошенного мяча не важно, кто именно бросил мяч, как его бросили или где его бросили. Даже если заменить один мяч на другой, общий вид уравнения останется неизменным.
Но при подгонке уравнений к данным необходима осторожность. Если взять данные о численности населения Соединенных Штатов за последнее столетие, они довольно хорошо описываются квадратным уравнением, подобным тому, с помощью которого мы описывали траекторию мяча. Однако, если использовать более сложное уравнение, в котором степень х доходит до х10, соответствие данным получается и вовсе точным. Казалось бы, это говорит о том, что более сложная формула должна дать более точные предсказания. Единственный недостаток состоит в том, что на середину октября 2028 года это уравнение предсказывает падение численности населения Соединенных Штатов до нуля. Или же уравнение знает нечто такое, чего не знаем мы.
Эта история служит предостережением тем, кто считает, что для научных исследований достаточно одного лишь использования больших данных. В данных действительно могут проявляться паттерны, но, чтобы понять, почему эти паттерны должны быть основаны на тех или иных уравнениях, мы по-прежнему должны сочетать данные с аналитическим мышлением. Сделанное Галилеем открытие квадратичного закона гравитации было впоследствии объяснено благодаря теоретическому анализу Ньютона, показавшему, почему в данном случае правильно использовать именно квадратные уравнения.
Шорткат в гиперпространство
Идея превращения геометрии в числа не только позволяет лучше ориентироваться в трехмерном пространстве. Она еще и открывает перед нами порталы в миры, которые мы никогда не увидим своими глазами. Одним из самых захватывающих моментов моего математического путешествия по искусству шортката было открытие возможности изучать многомерные пространства. Тот день, когда я впервые прочитал о том, как этот язык позволяет построить куб в четырех измерениях, до сих пор запечатлен в моей памяти.
Это объясняло, как космический корабль может переместиться с одного конца Вселенной на другой по шорткату через четвертое измерение. Это давало ответ на вопрос, как Вселенная может быть конечной, но не иметь границ. Это даже позволяло распутывать узлы, которые невозможно развязать в трех измерениях.
Но этот словарь позволяет не только путешествовать в пространстве. Благодаря отображению данных в многомерные миры проявляются скрытые структуры. Когда вы строите по данным график, вы видите двумерную тень объекта, который следовало бы изображать в многомерном пространстве. Такой шорткат вполне может прояснить нюансы, скрытые этими двумерными тенями. Итак, пристегните ремни: мы отправляемся в путешествие по гиперпространству!
Чтобы попасть в четвертое измерение, нужно начать со второго. Предположим, я хочу описать квадрат в терминах картезианского словаря координат: я могу сказать, что квадрат – это фигура с четырьмя вершинами, расположенными в точках (0,0), (1,0), (0,1) и (1,1). Очевидно, для определения любого положения в плоском двумерном мире нужны всего две координаты, но, если я захочу учесть еще и высоту над уровнем моря, можно добавить третью координату. Третья координата также понадобится, если я захочу описать при помощи координат трехмерный куб. Восемь вершин куба можно описать точками (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) и, наконец, крайней точкой с координатами (1,1,1).
Рис. 3.4. Построение гиперкуба при помощи координат
В одной колонке словаря Декарта содержатся фигуры и геометрические свойства, а в другой – числа и координаты. Проблема заключается в том, что при попытке выйти за пределы трехмерных тел визуальное восприятие отказывает, потому что физического четвертого измерения не существует. Но у словаря Декарта есть одно великолепное свойство, которое осознал великий немецкий математик XIX века Бернхард Риман, учившийся у Гаусса в Геттингене: вторая сторона словаря продолжает действовать даже и в этом случае.
Чтобы описать четырехмерный объект, нужно всего лишь добавить четвертую координату, указывающую величину смещения в этом новом направлении. Хотя я не могу построить четырехмерный куб физически, тем не менее я могу точно описать его при помощи чисел. У него 16 вершин начиная с точки (0,0,0,0), за которой идут вершины в точках (1,0,0,0), (0,1,0,0) и так далее, вплоть до самой удаленной от первой вершины в точке (1,1,1,1). Числа образуют код, описывающий фигуру. При помощи этого кода я могу исследовать эту фигуру, причем мне даже не нужно видеть ее физически.
Этим дело не кончается. Можно перейти к пяти, шести и даже большему числу измерений и построить гиперкубы и в этих мирах. Например, у N-мерного гиперкуба должно быть 2N вершин. От каждой из этих вершин отходят N ребер, каждое из которых мы учитываем дважды. Следовательно, N-мерный куб имеет N × 2N –1 ребер.
Когда я попробовал на зуб четырехмерный куб, это разожгло во мне аппетит к открытию других фигур в этой необычной многомерной вселенной. Построение в ней новых симметричных объектов стало моей страстью. Например, если вы когда-нибудь бывали в великолепном дворце Альгамбра в Гранаде, вас (я надеюсь) привели в восторг те чудесные игры в симметрию, в которые играли на его стенах художники. Но можно ли понять эти симметрии? Мой шорткат к пониманию с первого взгляда того, что кажется очень наглядным, – это превращение симметрии в язык.
Создание нового языка для понимания симметрии, известного под названием «теория групп», относится к началу XIX века. Этот язык был порождением ума одного выдающегося молодого человека – французского революционера Эвариста Галуа. К несчастью, его жизнь оборвалась до того, как он сумел в полной мере реализовать потенциальные возможности своего открытия. В двадцатилетнем возрасте он был застрелен на дуэли, поводом для которой были любовь и политика.
Хотя две разные стены в Альгамбре украшены очень разными узорами, математика симметрии позволяет установить, что симметрии этих двух стен одинаковы. Такова сила нового языка, который создал Галуа.
Симметрию можно определить как те действия, производимые над объектом, после которых он выглядит так же, как и до них. Галуа понял, что важная характеристика симметрии заключается во взаимодействии между отдельными симметриями. Что, если дать симметриям названия? Тогда можно найти своего рода грамматику, на которой основаны все они. Эта грамматика стала шорткатом к пониманию мира симметрий. Изображения исчезли, а на их месте возникла особая алгебра, выражающая, как симметрии взаимодействуют друг с другом.
При помощи теории групп к концу XIX века математики сумели доказать, что существует всего 17 разных типов симметрии орнаментов, которые возможно изобразить на стенах Альгамбры или где бы то ни было еще. Мои собственные исследования продолжают эти изыскания, выводя их в гиперпространство. Я пытаюсь понять, сколькими разными способами можно украсить Альгамбру орнаментами в многомерном пространстве. Речь идет о здании, построенном не из камня, а из языка.