Х. По мере ее роста протяженность участка вдоль моря уменьшается. Какое соотношение этих двух длин даст максимальную площадь прямоугольника, ограниченного изгородью? На первый взгляд может показаться, что следует выбрать квадратную форму. Стремление к максимальной симметрии часто бывает правильной стратегией для обнаружения шортката к решению. Например, мыльный пузырь стремится к симметричной сферической форме, при которой содержащийся в нем воздух окружает поверхность наименьшей возможной площади. Но даст ли симметрия квадрата правильный ответ нашему доверенному советнику?
Есть очень простая формула зависимости площади участка от Х, переменной длины стороны. Поскольку длина участка вдоль берега равна 10 – 2Х, площадь участка А должна составлять
Х × (10 – 2Х) = 10Х – 2Х2.
Какое значение Х делает эту величину наибольшей? Можно, конечно, просто перебирать значения Х, пока нам не покажется, что мы нашли такое из них, которое делает площадь самой большой. Но это долгий путь к решению задачи. Ферма понял, что существует и другой, более легкий.
Рис. 6.3. График зависимости площади участка от длины одной из сторон. Площадь максимальна там, где горизонтальная прямая пересекает кривую в одной точке, а не в двух
Шорткат, который он нашел, состоял в преобразовании формулы площади в изображение. Построим график функции 10Х – 2Х2. На самом деле этот шорткат в итоге избавляет и от необходимости строить графики, но, чтобы найти шорткат, иногда приходится сначала идти в обход. График представляет собой кривую, сперва растущую от Х = 0 до пика, а затем спадающую до Х = 5, при котором площадь равна нулю. Самое главное – выяснить, где находится пик. Именно в этой точке площадь будет наибольшей. Какое же значение Х соответствует пику?
Проведем на графике горизонтальную прямую. В общем случае она пересекает кривую в двух точках – кроме самой вершины, в которой горизонтальная прямая лишь касается кривой в одной точке. Эту точку мы и ищем: это вершина графика, соответствующая самой большой площади. Ферма нашел способ определять эту точку, не строя графика. Оказалось, что оптимальную площадь участка дает значение Х = 2,5. Участок получился не квадратом, а прямоугольником, длинная сторона которого в два раза длиннее короткой. Если вы не боитесь алгебраических выкладок, вот вам более подробное изложение идеи Ферма.
Пусть Х = а. Тогда горизонтальная прямая, проведенная через эту точку, пересечет другую сторону кривой в некоторой точке X = b, в которой высота кривой такая же, как и в точке Х = а. Значит, это точка, в которой
10a – 2a2 = 10b – 2b2
Это равенство можно упростить при помощи некоторых алгебраических приемов. Перенесем все члены с квадратами в одну сторону:
2a2 – 2b2 = 10a – 10b
Но выражение с квадратами можно разложить на множители:
2(a – b)(a + b) = 10(a – b)
Разложить алгебраическое выражение на множители означает переписать его в виде произведения двух более простых выражений. В нашем случае речь идет о разности двух квадратов, которая попросту равна произведению (a – b) и (a + b). Но теперь видно, что обе части нового равенства содержат множитель (a – b). Его можно сократить с обеих сторон, и тогда мы получим
(a + b) = 5
Но Ферма интересовала та точка, в которой a и b равны, потому что именно она соответствует вершине кривой. В этой точке b = a. Подставив это в наше уравнение, получим
2a = 5
Точка, в которой находится вершина кривой, соответствует а, равному 2,5. Это длина стороны прямоугольника, дающего наибольшую площадь земельного участка. Следовательно, размеры прямоугольника – 2,5 на 5.
В приведенных выше вычислениях есть один интересный момент, касающийся деления на (a – b). С этой операцией все в порядке, кроме случая, когда a = b, в котором получается, что мы делим на 0, чего делать нельзя. Но погодите. Разве Ферма не хотел найти именно ту точку, в которой a = b? Как же с этим быть?
Для этого и нужен математический анализ. Он делает деление на 0 осмысленной операцией.
Мы видели математические операции, но где же математический анализ? Анализ позволяет получить наклон касательной к каждой точке кривой. Ферма понял, что максимум площади достигается в точке, в которой касательная горизонтальна. Это та точка, в которой наклон, то есть производная, равен нулю. Именно в этом заключается метод использования матанализа для поиска оптимальных значений функций: нужно найти точку, в которой производная функции равна нулю.
Кривая, описывающая площадь земельного участка, выглядит на удивление похоже на кривую, которую Ньютон построил для определения высоты полета своего яблока. Формула площади участка, 10Х – 2Х2, и формула удаления яблока от моей руки – 25t – 5t2, – это, по сути дела, одна и та же формула. Вторая получается из первой простым умножением на 2,5. В этом состоит один из великих шорткатов математики. Одно и то же уравнение может быть применимо ко множеству разных сценариев. В случае яблока точка, соответствующая наибольшей высоте его полета в воздухе, – это тот момент, когда скорость яблока становится нулевой и оно начинает лететь в противоположном направлении.
Но формулы такого рода могут описывать и многие другие вещи: энергопотребление, количество стройматериалов, длительность поездки. Появление метода, позволяющего найти наилучший способ максимизации или минимизации этих разнообразных величин, совершило настоящую революцию. Если формула дает зависимость прибыли компании от разных факторов, которые компания может регулировать, кому не захочется иметь средство, позволяющее настроить эти факторы так, чтобы получать наибольшую прибыль? Математический анализ – это шорткат к максимальной прибыльности.
Математика на стройке
Хотя математический анализ в первую очередь был создан, чтобы анализировать изменения, происходящие с миром во времени, он также полезен и для изучения изменений, происходящих вне времени. В частности, матанализ стал мощным средством для рассмотрения разных вариантов проектирования зданий и поиска тех из них, которые оптимизируют экономию энергии, шумоподавление или стоимость строительства, в то же время позволяя построить здание, которое выдержит испытание временем.
Одно такое здание, завершенное в 1710 году, до сих пор гордо возвышается не очень далеко от того места, где я живу в Лондоне: это собор Святого Павла. Я испытываю слабость к этому зданию отчасти потому, что проектировал его математик, учившийся в том же оксфордском колледже, в котором был студентом и я. До того, как Кристофер Рен стал одним из ведущих архитекторов Англии, он учил математику в Уодхэм-колледже. Студентом он освоил широкий диапазон методик, которые впоследствии позволяли ему находить шорткаты к проектированию некоторых из самых замечательных зданий в стране.
Одним из его первых великих свершений было строительство Шелдонского театра в Оксфорде: в этом здании студентам университета торжественно выдают дипломы. Это здание прекрасно тем, что в нем нет несущих колонн, на которые опиралась бы его огромная крыша. Причина этого была, видимо, не в том, что колонны мешали бы родителям видеть, как их чада получают дипломы, а в том, что раньше здание использовалось в основном для танцев. Рен сумел соорудить эту необычайно обширную крышу без видимых опор при помощи решетчатой структуры из балок, которая переносит нагрузку на края, опирающиеся на внешние стены. Но, чтобы найти работоспособный вариант конструкции, ему нужно было решить систему из 25 линейных уравнений. Хотя Рен и получил математическое образование, эта задача поставила его в тупик, и в конце концов он обратился за помощью к Джону Валлису[91], профессору кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем. Обращение за помощью часто бывает важным шорткатом!
Но по-настоящему математические дарования Рена проявились при строительстве купола собора Св. Павла. Купол, который видишь, подходя к собору, имеет сферическую форму. Сфере присущи красота и совершенство, особенно ясно видные на расстоянии. Кроме того, сферическая форма отсылала к идее церкви, объемлющей сферическое мироздание. Но с точки зрения строительства у сферы есть один важный недостаток. Она не может стоять сама по себе. Ее глубина недостаточна, чтобы выдерживать ее собственный вес, так что, если бы купол ни на что не опирался, он обрушился бы в самую середину собора. Поэтому на самом деле у Св. Павла не один купол, а целых три.
То, что вы видите изнутри собора, – не внутренняя поверхность внешнего купола. На самом деле это второй купол, и его форма воспроизводит новую кривую, называемую цепной линией, которую, в частности, описал при помощи математического анализа Лейбниц. Такой купол способен стоять сам по себе, без поддержки. Кривую, о которой идет речь, образует цепь, подвешенная за два конца. Шар, свободно катящийся с горы, находит точку наименьшей энергии и останавливается в ней; свободно висящая цепь точно так же принимает форму с наименьшей потенциальной энергией. Природа очень хорошо умеет находить такие низкоэнергетические состояния. Но для архитекторов – в том числе Рена – важнее всего было то обстоятельство, что в перевернутом виде эта низкоэнергетическая кривая становится профилем, способным поддерживать свой собственный вес.
Какова же форма этой кривой? Лейбниц проводил эксперименты, пробуя разные формы и составляя уравнения потенциальной энергии для каждой из них. Затем он нашел кривую, соответствующую наименьшей энергии, при помощи математического анализа. Она и должна была соответствовать форме висящей цепи. Будущие поколения архитекторов могли использовать найденную форму для сооружения свободно стоящих куполов, не подвешивая в зданиях, которые они строят, настоящих цепей. Рена же форма цепной линии особенно привлекала тем, что она создает измененную перспективу: когда смотришь снизу на такой купол, он кажется выше, чем он есть на самом деле. Применение математики для создания оптических иллюзий было в большой моде в архитектуре периода барокко.