Какова же вероятность, что семерка так и не выпадет за четыре броска? Перебор всех разных сценариев кажется делом практически непосильным, потому что число возможных исходов равно 364 = 1 679 616. Но тут приходят на помощь Ферма и Паскаль, потому что есть один шорткат. Чтобы получить вероятность того, что семерка не выпадет за четыре броска, нужно просто перемножить вероятности для всех этих бросков: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 ≈ 0,48. Значит, вероятность того, что семерка не выпадет четыре раза подряд, составляет около половины – почти равные шансы.
Верно и обратное: при четырех бросках двух костей есть почти равные шансы увидеть семерку. Такой же анализ показывает, что при четырех бросках одной кости есть равные шансы получить шестерку. Значит, в том, что джентльмен, которого видел Пипс, не выкинул ни одной семерки за четыре броска, нет ничего особенно удивительного. Это все равно что не выкинуть орла, подкинув монету один раз.
Из того факта, что семерка – наиболее вероятная комбинация двух костей, можно извлечь выгоду для себя во многих играх, в которых используются кости, например в нардах или «Монополии». К примеру, самая посещаемая клетка на доске «Монополии» – это «Тюрьма». В сочетании с вероятным результатом броска двух костей это означает, что с клетки «Тюрьма» многие игроки попадают на клетки с недвижимостью оранжевой зоны чаще, чем куда бы то ни было еще. Поэтому тот, кому удастся захватить оранжевые клетки и застроить их гостиницами, получит решающее преимущество в игре.
Хитрый шорткат: рассмотрим обратный случай
В вычислениях Ферма и Паскаля скрыт еще один изобретательный шорткат, которым часто пользуются математики. Что будет, если попробовать решать эту задачу, вычислив вероятность выпадения семерки за четыре броска костей? Для этого явно нельзя перемножить вероятности выпадения семерки четыре раза. Это произведение даст вероятность редкого случая выпадения четырех семерок подряд. Вместо этого нужно перебрать все возможные комбинации, в которых может выпасть семерка. Придется вычислить вероятность выпадения семерки в первом броске и ее отсутствия во всех последующих или ее отсутствия в двух первых бросках и выпадения двух семерок в двух последних. Снова масса работы. Но здесь можно использовать очень полезный шорткат. Есть всего один случай, который нас не интересует: когда семерка не выпадает ни разу. Но вычислить его вероятность легко.
Поэтому можно не пытаться решить задачу в лоб, а взглянуть на нежелательный исход. Мне лично этот шорткат очень помогает, над какой бы задачей я ни работал. Если с чем-нибудь не получается справиться напрямую, нужно попробовать посмотреть на обратную сторону. Например, понимание сознания – трудная научная задача, но анализ того, что сознания не имеет, иногда может привести к новым идеям относительно этой проблемы. Поэтому изучение пациентов, находящихся в состоянии глубокого сна или комы, может помочь ученым понять, что именно делает бодрствующий мозг сознательным.
Шорткат через оборотную сторону дает ключ и к решению следующей задачи: каждые выходные в Великобритании проходят матчи футбольной Премьер-лиги. Какова доля таких матчей, в которых на поле оказываются два человека с совпадающими днями рождения?
На первый взгляд кажется, что такое должно случаться очень редко. Может быть, один раз из десяти? Я думаю, что это впечатление возникает под влиянием мысли, что этот вопрос равнозначен следующему: если в эти выходные я буду играть в футбол, какова вероятность, что на поле окажется человек с тем же днем рождения, что и у меня? Вероятность такого события составляет около 5 процентов.
Однако тут речь идет лишь о сопоставлении меня самого с каждым из прочих футболистов. А как насчет всех остальных возможных пар? День рождения не обязательно должен совпасть именно у меня. Тогда задача усложняется, и становится ясно, что разных вариантов образования пар существует очень много.
Но при помощи шортката с рассмотрением обратной задачи можно прийти к решению гораздо более рациональным путем. Какова вероятность того, что на поле нет людей с совпадающими днями рождения? Если вычислить эту величину и отнять ее от 1, получится вероятность того, что два человека с одинаковыми днями рождения на поле есть.
Игра вот-вот начнется. Команды выбегают на поле: чтобы нам было удобнее, игроки выходят по одному. Первым выбегаю я. За мной – следующий футболист. Вероятность того, что его день рождения не совпадает с моим, – 364/365. Нужно только, чтобы он не родился в тот же день, что и я, – 26 августа.
Затем выбегает следующий игрок. Его день рождения должен отличаться как от моего, так и от дня рождения второго футболиста. Поскольку остается еще 363 дня, вероятность несовпадения ни с одним из наших дней рождения равна 363/365. Вероятность же того, что среди трех уже вышедших на поле людей нет совпадений дней рождения, составляет 364/365 × 363/365.
И так далее, пока на поле не окажутся все 22 футболиста… и судья. Каждый раз, когда на поле выходит очередной человек, количество возможных дней рождения, с которыми нужно не совпасть, увеличивается. К моменту выхода судьи нужно, чтобы его или ее день рождения не совпал с 22 днями рождения тех, кто уже на поле, а вероятность такого несовпадения равна (365 – 22)/365 = 343/365.
Когда на поле окажутся все 23 человека, вероятность того, что ни у кого из них не совпадают дни рождения, можно будет вычислить по формуле:
364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 344/365 × 343/365 ≈ 0,4927.
Мы вычислили вероятность события, противоположного искомому. Теперь нужно ее перевернуть. Вероятность того, что на поле есть два человека с совпадающими днями рождения, равна 1 – 0,4927 = 0,5073. Казалось бы, невероятно, однако наличие совпадения дней рождения более вероятно, чем его отсутствие. Другими словами, в среднем в 5 из 10 матчей Премьер-лиги в каждые выходные на поле оказываются два человека с одинаковыми днями рождения.
Интересно отметить, что в реальности это число, вероятно, еще больше, потому что есть данные, что дни рождения футболистов чаще выпадают на сентябрь и октябрь. Почему? Те, кто родился ближе к началу учебного года, с большей вероятностью оказываются более развитыми физически, чем их одноклассники, родившиеся, как я, в августе[105]; у них больше шансов пройти отбор в школьную футбольную команду и набраться опыта в ее играх. Я живо помню, как недоумевал, почему я никогда не побеждал в школьных забегах. Но однажды, когда в нашем городе была летняя ярмарка, я принял участие в соревнованиях по бегу, которые проводили по возрастным группам. Поскольку было лето и мой день рождения еще не наступил, а все мои одноклассники свои уже отпраздновали, я попал в забег с ребятами, учившимися на класс младше. К огромному моему изумлению, я оставил соперников позади и впервые в жизни пришел к финишу первым.
Но и после этого хилому юному дю Сотою пришлось сидеть в библиотеке, пытаясь стать асом математики.
Шорткат в казино
Математики пользуются большим спросом в Лас-Вегасе, потому что казино постоянно ищут все новые шорткаты, которые помогли бы увеличить их преимущество в играх. Взять, к примеру, столы для игры в крэпс, модифицированного варианта той же игры, которую наблюдал Пипс. Делать ставки, играя в крэпс, – дело очень сложное из-за динамики этой игры, но в любой момент можно сделать ставку на то, что при следующем броске костей выпадет семь. Я уже объяснял, что в среднем такое происходит в 1 случае из 6. Однако, если вы поставите на этот исход доллар и выиграете, казино заплатит вам всего 4 доллара в дополнение к вашей 1-долларовой ставке. Если бы игра была честной, вам следовало бы заплатить 5 долларов. Такая ставка – одна из худших из всех, какие можно сделать в игре в крэпс, потому что она дает заведению преимущество 16,67 процента. Речь идет о прибыли, которую казино (в среднем) получает каждый раз, когда игрок делает ставку.
Если вам все же совершенно необходимо поставить на «семерку», есть лучший способ, позволяющий уменьшить преимущество заведения. Нужно разделить ставку натрое. Вы делаете не одну ставку на число 7, а сразу три: первую на то, что на костях выпадет 1 и 6, вторую – на 2 и 5, а третью – на 3 и 4. Такая ставка называется «хоп-бет»[106]. Хотя в совокупности три эти ставки означают то же, что и ставка на сумму, равную 7, выплата по каждой из них выгоднее, чем по ставке на «семерку». В этом случае преимущество заведения при каждой ставке составляет (в среднем) всего 11,11 процента.
Все игры, в которые играют в Лас-Вегасе, были тщательно проанализированы, чтобы обеспечить выигрыш заведения в долговременной перспективе, но игрок может, используя инструменты, которые разработали Паскаль и Ферма, находить места, в которых у него появляются лучшие шансы потерять деньги медленнее, чем где бы то ни было еще.
Например, в игре в крэпс есть ставка, по которой заведение выплачивает в зависимости от вероятности выигрыша. Это почти что единственная имеющаяся в казино возможность играть по правилам, не дающим преимущества заведению. В игре в крэпс игрок бросает кости и устанавливает целевое число. Оно должно быть равно 4, 5, 6, 8, 9 или 10. Если выпадает 2, 3, 7, 11 или 12, партия заканчивается. В случае 7 или 11 выигрывает игрок, а 2, 3 и 12 считаются проигрышными числами; случаи, когда выпадают они, называются «крэп». Если целевое число установлено, цель игрока (сделавшего такую ставку) – выкинуть это число еще раз прежде, чем выпадет 7.
Если поставить на то, что целевое число выпадет до появления «семерки», такая ставка не дает преимущества заведению. Предположим, целевое число равно 4. Если поставить 1 доллар на то, что 4 выпадет еще раз раньше, чем 7, и это произойдет, казино выплатит сверх 1-долларовой ставки еще 2 доллара, то есть всего 3. Это в точности соответствует вероятности такого события. Число 4 дают три комбинации костей, а число 7 – шесть, то есть такая ставка выигрывает один раз из трех. По этой ставке казино платит, не подкручивая соотношение вероятностей в свою пользу. Этот вероятностный шорткат не помогает разбогатеть, но по меньшей мере гарантирует, что игрок не отдает деньги просто так. Использование этой ставки означает, что в долгосрочной перспективе игрок должен остаться при своих.