Вот несколько заданий, которые помогут активировать ваши нейроны, занимающиеся поиском шорткатов, основанных на паттернах. Каким будет следующее число в этой последовательности?
1, 3, 6, 10, 15, 21 …
Не слишком сложная задача. Вы, вероятно, заметили, что на каждом шаге всего лишь прибавляется следующее по порядку число. Следующее число равно 21 + 7, то есть 28. Эти числа называются треугольными, потому что они соответствуют количеству камешков, которые нужны для построения треугольника: на каждом шаге к треугольнику добавляется еще один ряд камешков. Но существует ли шорткат, позволяющий найти сотое число, не перебирая все предыдущие 99? Собственно говоря, это именно та задача, которую пришлось решить Гауссу, когда учитель задал ему сложить все числа от 1 до 100. Гаусс нашел хитроумный шорткат и вычислил ответ, складывая числа попарно. В более общем случае, если вам нужно найти n-е треугольное число, прием Гаусса выражается следующей формулой:
1/2 × n × (n + 1).
Эти треугольные числа продолжали интересовать Гаусса с тех самых пор, как он впервые познакомился с ними на уроке герра Бюттнера. Более того, одна из записей в его математическом дневнике от 10 июля 1796 года состоит из греческого восклицания «Эврика!», за которым следует формула:
num = Δ + Δ + Δ.
Гаусс открыл следующий весьма замечательный факт: любое число может быть записано в виде суммы не более трех треугольных чисел. Например, 1796 = 10 + 561 + 1225. Наблюдения такого рода могут порождать очень полезные шорткаты: вместо того чтобы доказывать, что некоторое утверждение справедливо для всех чисел, может быть достаточно доказать его для треугольных чисел, а затем использовать открытое Гауссом правило, что любое число есть сумма трех треугольных чисел.
Вот еще одна задача. Назовите следующее число в последовательности:
1, 2, 4, 8, 16 …
Тоже ничего сложного. Следующее число – 32. На каждом шаге члены этой последовательности удваиваются. Эта зависимость, которую называют экспоненциальным ростом, управляет ростом многих величин; поэтому важно понимать, как работают такого рода паттерны. К примеру, поначалу последовательность выглядит вполне невинно. Именно так, видимо, считал индийский царь, согласившийся заплатить создателю шахмат ту цену, которую тот просил за свою игру. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно рисовое зерно, а затем удваивать число рисинок на каждой следующей клетке. Первый ряд клеток выглядел вполне безобидно. На нем оказалось всего лишь 1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 зерен риса. Этого едва хватило бы и на одно суши.
Но слуги царя добавляли на доску все больше и больше риса, и вскоре их запасы иссякли. Чтобы заполнить половину клеток, понадобилось около 280 000 килограммов риса. И это была легкая половина доски. Сколько же зерен риса царь должен был отдать изобретателю? Этот вопрос похож на одну из задач, которые мог задавать своим бедным ученикам герр Бюттнер. Есть трудный способ решить ее: нужно сложить все 64 разных числа. Кто же захочет заниматься такой тяжелой работой? И как подошел бы к такому заданию Гаусс?
Для этого вычисления существует очень красивый шорткат, но на первый взгляд может показаться, что он только усложняет задачу. Вначале часто кажется, что шорткат ведет не к цели, а в прямо противоположном направлении. Прежде всего я дам суммарному числу зерен риса имя: я назову его Х. Это одно из самых популярных имен в математике; как я покажу в главе 3, оно и само по себе является могущественным шорткатом из арсенала математика.
Для начала я удвою то число, которое пытаюсь вычислить:
2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 262 + 263).
Казалось бы, это только осложняет мне жизнь. Но посмотрите, что я сделаю дальше. Раскроем скобки:
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 263 + 264.
Теперь применим одну хитрость. Я собираюсь вычесть из этого выражения Х. На первый взгляд кажется, что тогда мы вернемся туда же, откуда начали: 2Х – Х = Х. Какой в этом толк? Чудо происходит тогда, когда я заменяю 2Х и Х на суммы, которые я выписал выше:
2X – X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 263 + 264) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 62 + 263).
Почти все слагаемые взаимно уничтожаются! Не уничтожаются только 264 из первой части и 1 из второй. Таким образом, у нас остается только следующее выражение:
X = 2X – X = 264 – 1.
Вместо множества вычислений нужно выполнить всего одно – и мы узнаем, чему равно число зерен риса, которые нужно было собрать царю, чтобы заплатить изобретателю шахмат:
18 446 744 073 709 551 615.
Оно превышает количество риса, выращенного на всей нашей планете за последнее тысячелетие. Мораль здесь та, что иногда для избавления от тяжелой работы можно заняться другой тяжелой работой, после которой задачу оказывается гораздо легче проанализировать.
Как выяснил на собственном горьком опыте царь, удвоение только сначала выглядит невинно, а потом очень быстро взлетает ввысь. Таково могущество экспоненциального роста. Этот эффект ощущают на себе те, кто занимает деньги, чтобы покрыть долги. На первый взгляд предложение компании, дающей 1000 фунтов под 5 процентов в месяц кажется спасительным. Месяц спустя вы оказываетесь должны ей всего 1050 фунтов. Но проблема заключается в том, что через каждый следующий месяц сумма долга умножается еще на 1,05. Через два года долг составляет уже 3225 фунтов. К пятому году он возрастает до 18 679 фунтов. Такая система очень выгодна кредитору, но не должнику.
Тот факт, что многие не понимают этого паттерна экспоненциального роста, означает, что он вполне может быть шорткатом к разорению. Компании, выдающие «кредиты до зарплаты», успешно пользуются такой неспособностью понять, к чему приведет в будущем этот паттерн, навязывая беззащитным клиентам договоры, выглядящие на первый взгляд весьма привлекательно. Чтобы не разориться и не оказаться в беспомощном положении, без какой бы то ни было возможности вернуться в безопасное состояние, важно вовремя понять, насколько опасно удвоение и куда оно может нас завести.
Все мы познали ужасающую скорость экспоненциального роста – с дорого обошедшимся нам запозданием – на примере пандемии коронавируса 2020 года. Число инфицированных удваивалось в среднем каждые три дня, и это привело к перегрузке системы здравоохранения.
В то же время могущество экспоненциальной зависимости также помогает объяснить, почему на Земле (вероятно) нет вампиров. Чтобы выжить, вампиру нужно питаться человеческой кровью не реже раза в месяц. Проблема заключается в том, что тот, чьей кровью питается вампир, тоже становится вампиром. Поэтому в следующем месяце вампиров, ищущих человеческой крови, становится в два раза больше.
Численность населения мира оценивается приблизительно в 6,7 миллиарда человек. Численность вампиров каждый месяц удваивается. Сокрушительная сила удвоения такова, что всего за 33 месяца один-единственный вампир превратит в вампиров все население мира.
На случай же, если вы все-таки встретитесь с вампиром, вот вам полезный прием из арсенала математика, позволяющий защититься от кровососущего чудовища. Помимо классических средств – чеснока, зеркал, распятий – есть один довольно необычный способ избавиться от Князя Тьмы: нужно рассыпать вокруг его гроба маковое семя. Оказывается, вампиры страдают арифмоманией – патологическим стремлением считать. Теоретически Дракула не должен успеть закончить подсчет маковых семян, рассыпанных вокруг его ложа, пока взошедшее солнце не загонит его обратно в гроб.
Арифмомания – тяжелое заболевание. Этим расстройством страдал изобретатель Никола Тесла, исследованиям которого в области электричества мы обязаны переменным током. Он был одержим числами, делящимися на три: требовал, чтобы у него каждый день было ровно 18 чистых полотенец, и считал свои шаги, чтобы их число непременно делилось на три. Возможно, самое известное из художественных описаний арифмомании – это образ Графа фон Знака из «Улицы Сезам», вампира, который помог многим поколениям телезрителей сделать первые шаги по пути математики[17].
Паттерны городские
Вот чуть более трудная последовательность чисел. Сможете ли вы найти паттерн в ней?
179, 430, 1033, 2478, 5949 …
Здесь нужно разделить каждое число на предыдущее. Коэффициент получается равным 2,4. Это по-прежнему экспоненциальный рост, но интересно не это, а то, что́ на самом деле выражают эти числа.
Это количество патентов, выданных в городах с населением 250 000, 500 000, 1 миллион, 2 миллиона и 4 миллиона человек. Оказывается, что при удвоении населения города число патентов не просто удваивается, как можно было бы предположить. Чем крупнее город, тем более творческим он кажется. По-видимому, удвоение численности населения добавляет к творческому потенциалу лишние 40 процентов! И такой паттерн роста проявляется не только в патентах.
Несмотря на огромные культурные различия между Лондоном, Рио-де-Жанейро и Гуанчжоу, существует математический паттерн, связывающий все города от Бразилии до Китая. Мы привыкли описывать их, опираясь на особенности их географического положения и истории, подчеркивая индивидуальные отличия каждого места – Нью-Йорка или Токио. Но это всего лишь детали, интересные случайности, мало что объясняющие. Если же взглянуть на город глазами математика, начинают проявляться универсальные черты, не зависящие от политических и географических границ. Эта математическая точка зрения позволяет понять, чем именно привлекают нас города… и доказывает, что чем больше, тем лучше.