Амиджич придерживается той небесспорной точки зрения, что работа мозга не слишком сильно изменяется в результате упражнений. Он полагает, что сканирование шахматиста-любителя может показать заранее, позволит ли его мозг стать гроссмейстером, потому что способные на это шахматисты с самого начала используют в игре лобную и теменную долю: «Всем хочется думать, что любой может добиться успеха, стать кем угодно, а если это не получается, значит, в этом кто-то виноват – мать, или правительство, или поддержка отца… недостаток денег или еще какая-нибудь причина».
Но Амиджич считает, что дело сводится не к затраченному времени или возможности получить лучших учителей и лучшее из лучших образование, а, по существу, к генетике. «Можно родиться гроссмейстером, а можно – средним шахматистом; можно родиться великим математиком, или музыкантом, или футболистом, или кем-нибудь еще, – говорит он. – Люди рождаются, их не создают. Я просто не верю и не вижу никаких доказательств, что гения можно сделать, создать».
Амиджич вспоминает, как он обследовал одного ребенка, отец которого хотел, чтобы тот стал гроссмейстером. Амиджич видел, что анализ производится в его мозге только в височной доле. Он решил, что мальчику не удастся подняться выше уровня кандидата в мастера, и посоветовал его отцу подумать о других областях деятельности. Отец не последовал его совету, но впоследствии оказалось, что оценка Амиджича была точной.
По мнению Амиджича, важнее всего найти тот вид деятельности, которым мозг, как кажется, может хорошо заниматься интуитивно. Что касается его самого, он считает, что был с самого начала предназначен для успешных занятий нейробиологией, а не шахматами: «Жизнь – забавная штука. Благодаря этой области я стал известнее, чем был бы, останься я шахматистом».
Анализ моей мозговой активности во время игры в шахматы показал, что и я, вероятно, так и не смог бы стать гроссмейстером. Мой мозг не находил шорткатов к удачным ходам; он шел по длинному пути через височную долю и погрязал в деталях. Напротив, Амиджич предположил, что, если бы мы попробовали сканировать мой мозг, когда я занимаюсь математикой, в этом случае оказалось бы, что я использую интуитивную часть своего разума.
Из исследований Амиджича неясно, в самом ли деле все сводится к одной лишь генетике, или же мозг все-таки можно тренировать. Но его результаты, по-видимому, доказывают, что во время работы с максимальной эффективностью мозг использует шорткаты, расчищающие путь к решению от лишних мыслей.
10Шорткаты невозможные
На фестивале Гластонбери я часто выступаю на сцене под названием «Астролябия». После выступления я стараюсь посетить все остальные площадки. Сможете ли вы найти для меня кратчайший маршрут, который начинается и заканчивается Астролябией и проходит через все остальные площадки, обозначенные на карте, по одному, и только одному, разу?
Рис. 10.1. Карта фестиваля Гластонбери
Не для всех задач существуют шорткаты. Иногда мы сталкиваемся с задачами, которые требуют физических изменений тела – например, с обучением игре на музыкальном инструменте, перенастройкой разума при помощи психотерапии, подготовкой к профессиональному спорту. Их решение требует затрат времени и сил. Но оказывается, что шорткатов могут не иметь и задачи другого рода. Сейчас математики считают, что существует огромное множество задач, получение ответов в которых невозможно без тяжелого, монотонного труда по проверке всех возможных вариантов решения.
Учитель пытается составить расписание на следующий год. Автоперевозчик прокладывает оптимальные маршруты доставки товаров для своих грузовиков. Кладовщик супермаркета ищет рациональные способы укладки коробок на полки. Футбольному болельщику не терпится узнать, сможет ли его команда победить в своей лиге. Любитель судоку хочет получить действенную стратегию решения этих дьявольских головоломок. Все они стараются найти шорткаты. Но, как ни жаль, на свете есть задачи, решению которых лучшее мышление не помогает. Даже самому Гауссу, попытайся он решить такую задачу, пришлось бы взяться за тяжкий труд перебора всех возможных сценариев. Возможно, поразительнее всего тот факт, что доказательства невозможности существования шорткатов для некоторых задач дает само искусство шортката – математика.
Классическая задача, к решению которой, по мнению математиков, не может быть шортката, называется задачей коммивояжера. В ней нужно найти кратчайший маршрут по сети городов. Ее название, по-видимому, связано с изданным в 1832 году в Германии справочником для коммивояжеров, в котором приводилась формулировка задачи и несколько примеров маршрутов по Германии и Швейцарии[124]. Математики до сих пор не придумали для гарантированного решения этой задачи ничего умнее, чем перебор всех возможных маршрутов в поисках кратчайшего.
Беда в том, что по мере добавления новых городов число возможных маршрутов стремительно растет, и перебор всех возможных вариантов становится практически невозможным, даже на компьютере. Разве нет более быстрого способа выбрать лучшее решение? Неужели не найдется какого-нибудь очередного Эйлера или Гаусса или Ньютона, который придумал бы хитроумную стратегию определения кратчайшего маршрута? Нельзя ли, например, каждый раз просто выбирать следующим город, ближайший к тому, в котором оказался коммивояжер? Эта методика называется алгоритмом ближайшего соседа. Во многих случаях она дает весьма хорошие маршруты, всего на 25 процентов длиннее оптимального. Однако совсем не трудно построить такую сеть, в которой этот алгоритм выдает не самый короткий, а самый длинный маршрут объезда городов.
Уже были разработаны алгоритмы, гарантированно выдающие для любой сети маршруты, длина которых превышает длину оптимального маршрута не более чем на 50 процентов. Но я-то хочу получить хитрый шорткат, который позволит находить без утомительных поисков самый лучший маршрут. Эта задача настолько измучила математиков, что многие пришли к убеждению, что такого шортката просто не существует. Доказательство невозможности существования этого шортката даже стало предметом одной из семи «Задач тысячелетия», величайших нерешенных математических задач, список которых был составлен в начале XXI века[125]. Математик, который сумеет доказать, что шортката к решению задачи коммивояжера не существует, получит в награду миллион долларов.
Что такое шорткат?
Чтобы выиграть миллионный приз, важно, собственно говоря, определить, что именно с точки зрения математики можно считать в этом контексте шорткатом. Математически различие длинного пути и шортката выражается в том, что первый приходит к решению за экспоненциальное время, а второй – всего лишь за полиномиальное. Что я имею в виду?
Рис. 10.2. Конфигурация девяти плиток, в которой узоры соседних квадратов согласуются
Эта задача сводится к нахождению алгоритмического метода, работающего не только для одной конкретной головоломки, но и для головоломок с любыми вариантами условий и размеров. Вопрос в том, как изменяется время работы алгоритма в зависимости от размера заданной ему задачи. Например, предположим, что у меня есть набор из 9 плиток, и на всех этих плитках есть разные узоры. Я хочу расположить эти плитки квадратом 3 × 3 так, чтобы узоры в смежных квадратах согласовывались друг с другом.
Сколько существует вариантов раскладки таких плиток? Для левого верхнего угла существует 9 возможностей: я могу положить туда любую из девяти плиток. У этой плитки есть 4 возможные ориентации. Всего получается 9 × 4 = 36 вариантов. Плитка, которая займет следующий квадрат, может быть любой из 8 оставшихся; у нее тоже есть 4 возможных варианта ориентации. Таким образом, суммарное число вариантов заполнения всего квадрата получается равным
9! × 49,
где 9! обозначает произведение 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, которое называют «9 факториал». Если компьютер может проверять по 100 миллионов вариантов в секунду, перебор всех этих возможностей займет у него чуть больше 15 минут. Не так уж и плохо. Но посмотрите, как быстро это время увеличивается с ростом числа плиток. Возьмем 16 плиток, которые нужно уложить в квадрат 4 × 4. Из рассуждений, аналогичных приведенным выше, следует, что число возможных комбинаций равно
16! × 416
Это увеличивает время, необходимое для перебора всех этих вариантов, до 28,5 миллиона лет. Если же перейти к простому квадрату 5 × 5, оно превысит возраст Вселенной, составляющий всего-навсего 13,8 миллиарда лет.
Число возможных конфигураций сетки с n положениями определяется формулой n! × 4n. Функция 4n растет с увеличением n экспоненциально. Я уже рассказывал о том, как опасен рост этой функции, в главе 1, когда индийский царь должен был заплатить за изобретение шахмат рисовыми зернами, число которых экспоненциально увеличивалось по мере продвижения по клеткам шахматной доски. А факториал n! (произведение всех чисел от 1 до n) – это функция, рост которой на самом деле еще быстрее экспоненциального.
Таково математическое определение длинного пути: алгоритм решения задачи, время работы которого, необходимое для вычисления ответа, экспоненциально возрастает с увеличением размера задачи. Именно для таких задач хотелось бы найти шорткаты. Но что считать качественным шорткатом? Так можно назвать алгоритм, по-прежнему вычисляющий решение сравнительно быстро даже при увеличении размера задачи: так называемый алгоритм полиномиального времени.
Предположим, у меня есть случайный набор слов, которые я хочу расположить в алфавитном порядке. Сколько времени будет занимать эта работа по мере все большего удлинения списка слов? Простой алгоритм для решения этой задачи мог бы в начале просмотреть в