В основном Arithmetica посвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами. Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами. Вот типичный пример из Arithmetica: «Найти такие три числа, что их сумма, а также сумма любых двух из них является полным квадратом». Попробуйте решить — это вовсе не просто. Ответ Диофанта: 41, 80 и 320. Сумма всех трех равна 441 = 212. Попарные суммы равны 41 + 80 = 121 = 112, 41 + 320 = 361 = 192 и 80 + 320 = 400 = 202. Неплохо придумано.
В современной теории чисел диофантовы уравнения занимают центральное место. Знаменитый пример — «последняя теорема» Ферма, которая утверждает, что два полных куба (или две степени с более высоким показателем) в сумме не могут дать ту же степень. С квадратами такое делается совсем просто и восходит к Пифагору, например, 32 + 42 = 52 или 52 + 122 = 132. Но с кубами, четвертыми степенями, пятыми или любыми высшими степенями такое сделать не удается. Примерно в 1650 году Пьер де Ферма небрежно набросал эту гипотезу (без доказательства — несмотря на фигурирующее в названии его имя, он этой теоремы не доказал) на полях своего личного экземпляра Arithmetica. Понадобилось почти 350 лет, пока Эндрю Уайлс — специалист по теории чисел, родившийся в Британии, а ныне живущий в Америке, — доказал, что Ферма был прав.
Историческая традиция в математике иногда оказывается очень долгой.
Алгебра реально появилась на математической сцене в 830 году, когда основное действие переместилось из греческого мира в арабский. В тот год астроном Мохаммед ибн Муса аль-Хваризми написал книгу, озаглавленную «Аль-Джабр в'аль Мукабала», что переводится примерно как «восстановление и упрощение»[10]. Слова эти относятся к стандартным способам обращаться с уравнениями для приведения их к виду, удобному для решения. Из «аль-джабр» происходит современное слово «алгебра». Первый латинский перевод двенадцатого столетия появился под заглавием Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque.
Книга аль-Хваризми несет на себе следы влияния предшественников — вавилонян и греков, а также основывается на идеях, появившихся около 600 года у Брахмагупты в Индии. Там объясняется, как решать линейные и квадратные уравнения. Непосредственные последователи аль-Хваризми поняли, как решать и некоторые специальные виды кубических уравнений. К числу этих последователей принадлежали Сабит ибн Корра — врач, астроном и философ, который жил в Багдаде и был при этом язычником, — а также египтянин по имени аль-Хасан ибн аль-Хайсам, которого в позднейшей западной литературе, как правило, называют Альхазен. Но более всех знаменит Омар Хайям.
Полное имя Омара было Гияс аль-Дин Абу'ль-Фатх Омар ибн Ибрахим аль-Нишапури аль-Хайями. Слово «аль-Хайями» буквально переводится как «палаточник», что, по мнению ряда ученых, должно указывать на род занятий его отца Ибрахима. Омар родился в Персии в 1047 году и провел большую часть своей деятельной жизни в Нишапуре. Теперь этот город можно найти на карте рядом с городом Мешхед в провинции Хоросан на северо-востоке Ирана, вблизи границы с Туркменистаном.
Легенда гласит, что в молодости Омар ушел из дома изучать ислам и Коран под руководством прославленного религиозного деятеля Имама Моваффака, жившего в Нишапуре. Там он свел дружбу с двумя другими учениками — Хасаном Сабахом и Низамом аль-Мульком. Друзья поклялись, что если кто-то из них станет богатым и знаменитым — что вполне могло случиться с теми, кто обучался у Моваффака, — то он поделится своим богатством и властью с двумя другими.
Юноши закончили обучение. Год проходил за годом; соглашение оставалось в силе. Низам отправился в Кабул. Омар, не обладавший серьезными политическими амбициями, провел некоторое время в качестве палаточника (другое возможное объяснение его имени аль-Хайями). Страстью его стали науки и математика, и он отдавал им большую часть своего свободного времени. Затем вернулся Низам, который добился для себя должности в правительстве и стал управляющим делами султана Альп Арслана в его резиденции в Нишапуре.
Поскольку Низам достиг богатства и славы, Омар и Хасан напомнили ему о клятве. Низам испросил у султана дозволения помочь своим друзьям и, когда оно было получено, исполнил клятву. Хасан получил хорошо оплачиваемую работу в правительстве, но Омар пожелал просто продолжать свои научные занятия в Нишапуре, где он мог бы возносить молитвы за здоровье и благополучие Низама. Старый школьный друг организовал для Омара правительственное жалованье, дабы тот мог посвящать свое время занятиям. На том и порешили.
Хасан позднее попытался подсидеть вышестоящего чиновника и лишился своей синекуры, а Омар тихо и спокойно жил как прежде и даже получил назначение в комиссию по реформированию календаря. Персидский календарь основывался на движении Солнца, и наступление первого дня нового года нередко переносилось, что создавало большие неудобства. Работа очень подходила квалифицированному математику, и Омар применил свои математические и астрономические знания для вычисления наступления нового года в любой наперед заданный год.
Примерно в то же время он написал «Рубайят», или «Рубай», что довольно приблизительно переводится как «четверостишия». Это форма лирической поэзии. Рубай состоят из четырех строк, рифмующихся определенным образом — точнее говоря, одним из двух возможных способов[11]. «Рубай» Омара Хайяма были собранием таких стихов. Один из них ясно указывает на его деятельность по реформированию календаря:
Дни — волны рек в минутном серебре,
Песка пустыни в тающей игре.
Живи Сегодня. А Вчера и Завтра
Не так нужны в земном календаре.
Рубай Омара носили отчетливо нерелигиозный характер. Многие из них восхваляют вино и его действие на человека. Имеются и дерзкие и лукавые посвящения вину:
Дал Нишапур нам жизнь иль Вавилон,
Льет кубок сладость или горек он? —
По капле пей немую влагу Жизни!
И жизнь по капле высохнет, как сон.
Некоторые другие стихи высмеивают религиозные верования. Интересно, что думал султан о человеке, которому он выплачивал неплохое жалованье, и какие мысли приходили в голову имаму по поводу плодов приобретенного у него образования?..
Тем временем впавший в немилость Хасан, которому пришлось уехать из Нишапура, связался с шайкой бандитов и, пользуясь преимуществом своего образования, сделался их главарем. В 1090 году эти бандиты под предводительством Хасана захватили замок Аламут в горах Эльбурз, что прямо к югу от Каспийского моря. Они терроризировали всю область, и Хасан приобрел недобрую славу как Старец Горы. Его приспешники, известные как ассасины, или гашишины (из-за их пристрастия к гашишу — сильному наркотику, получаемому из конопли), построили шесть горных укреплений, из которых они совершали вылазки с целью убийства видных религиозных и политических деятелей. От этого их прозвища и происходит слово «assassin», то есть убийца. Таким образом, Хасан и сам смог стать богатым и знаменитым, как и подобало ученику Моваффака, хотя на тот момент он не был расположен делиться достигнутым со старыми друзьями.
Пока Омар занимался вычислением астрономических таблиц и методами решения кубических уравнений, Низам продолжал свою политическую карьеру, пока, по злой иронии изощренной судьбы, его не убили бандиты Хасана. Омар дожил до 76 лет и умер, как передают, в 1123 году. Хасан умер на следующий год в возрасте 84 лет. Ассасины продолжали сеять политическое опустошение, пока их не сокрушили монголы, в 1256 году захватившие Аламут.
Вернемся к математике Омара. Около 350 года до Р.Х. греческий математик Менехм открыл специальные кривые, известные как конические сечения, которые, как полагают исследователи, он использовал для решения задачи об удвоении куба. Архимед развил теорию этих кривых, а Аполлоний Пергский систематизировал и обобщил эту тему в своей книге «Конические сечения». Что особенно интересовало Омара Хайяма — это открытие греками того факта, что конические сечения можно применить к решению определенных кубических уравнений.
Конические сечения называются так потому, что их можно получить, пересекая конус плоскостью. Точнее говоря — двойной конус, похожий на два рожка мороженого, соединенных своими острыми концами. Одинарный конус образован набором отрезков прямых линий, которые все пересекаются в одной точке и проходят через определенную окружность — «основание» конуса. Но в греческой геометрии прямолинейный отрезок всегда можно продолжить неограниченно далеко, и в результате получается двойной конус.
Три основных типа конических сечений — это эллипс, парабола и гипербола. Эллипс представляет собой замкнутую овальную кривую, которая возникает, когда секущая плоскость проходит только через одну половину двойного конуса. (Окружность является частным случаем эллипса и получается, когда секущая плоскость в точности перпендикулярна оси конуса.) Гипербола состоит из двух симметрично расположенных незамкнутых кривых, которые в принципе уходят на бесконечность; она возникает, когда секущая плоскость проходит через обе половины двойного конуса. Парабола является переходной формой — это одна незамкнутая кривая, получающаяся, когда секущая плоскость параллельна какой-либо из прямых, лежащих на поверхности конуса.
На большом расстоянии от вершины конуса кривые, составляющие гиперболу, проходят все ближе и ближе к двум прямым линиям, которые параллельны тем прямым, где конус пересекла бы параллельная плоскость, проходящая через вершину. Эти прямые называются асимптотами.