оянную положительную кривизну, как сфера, то геометрия называется эллиптической. Если кривизна постоянна и отрицательна (поверхность в каждой своей точке по форме напоминает седло), то это гиперболическая геометрия. Эвклидова геометрия соответствует нулевой кривизне — плоскому пространству. Эти геометрии можно охарактеризовать их метрикой — формулой для расстояния между двумя точками.
Эти идеи могли привести Гаусса к более общему исследованию искривленных поверхностей. Он вывел прекрасную формулу для величины кривизны и доказал, что она дает один и тот же результат в любой системе координат. В такой формулировке кривизна не обязательно должна быть постоянной: она может изменяться от точки к точке.
В зрелом возрасте Гаусс обратился к практическим применениям — вещь, нередкая среди математиков. Он консультировал несколько землемерных проектов, самым большим из которых была триангуляция области Ганновера. Он активно участвовал в полевых работах, а потом анализировал данные. Для облегчения этих работ он изобрел гелиотроп — прибор для обмена сигналами в отраженном свете. Но когда его стало подводить сердце, он прекратил занятия геодезией и решил провести оставшиеся годы в Геттингене.
В тот несчастливый для Гаусса период молодой норвежец по имени Абель написал ему о невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, но не получил ответа. Вероятно, Гаусс был слишком подавлен даже для того, чтобы взглянуть на статью.
Около 1833 года Гаусс заинтересовался магнетизмом и электричеством. Совместно с физиком Вильгельмом Вебером он работал над книгой, озаглавленной «Общая теория земного магнетизма», которая вышла в 1839 году. Они также изобрели телеграф, связавший Гауссову обсерваторию с физической лабораторией, где работал Вебер, но провода непрерывно рвались, и другие изобретатели предложили более практичный проект. Вебера выгнали из Геттингена вместе с шестью другими учеными из-за их отказа принести присягу новому королю Ганновера Эрнсту Августу. Гаусса это сильно расстроило, но его политический консерватизм и нежелание «поднимать волну» не позволили ему выступить с каким-либо публичным протестом, хотя в кулуарах он и пытался поддержать Вебера.
В 1845 году Гаусс написал докладную записку по поводу пенсионного фонда для вдов геттингенских профессоров, в котором проанализировал возможное влияние резкого увеличения числа членов фонда. Он вкладывал деньги в правительственные фонды и железнодорожные акции и составил порядочное состояние.
После 1850 года, страдая от проблем с сердцем, Гаусс сократил объем работы. Для нашего рассказа наиболее важным событием этого времени была Habilitation, диссертация его ученика Георга Бернхарда Римана. (В немецкой академической системе эта диссертация — вторая степень после кандидатской[22].) Риман обобщил работу Гаусса о поверхностях в многомерных пространствах, которые он назвал многообразиями. В частности, он расширил концепцию метрики и нашел формулу для кривизны многообразия. По существу, он создал теорию искривленных многомерных пространств. Позднее эта идея оказалась основополагающей для работ Эйнштейна по гравитации.
Гаусс, за которым теперь постоянно присматривал врач, посетил публичную лекцию Римана по этому вопросу и был глубоко впечатлен. По мере того как его здоровье ухудшалось, он проводил все больше времени в постели, но продолжал писать письма, читать и управлять своим капиталом. В начале 1855 года Гаусс мирно скончался во сне. Это был величайший в мире математический ум из всех известных.
Глава 6Расстроенный врач и больной гений
Первый значительный шаг вперед после «Великого искусства» Кардано был сделан примерно в середине восемнадцатого столетия. Хотя математики Возрождения научились решать уравнения третьей и четвертой степеней, их методы, по существу, сводились к ряду трюков. Каждый такой трюк успешно работал, но, как представлялось, скорее из-за серии совпадений, нежели по какой-либо систематической причине. Изучить и окончательно обосновать эту причину около 1770 года удалось двум математикам — Жозефу-Луи Лагранжу, уроженцу Италии, всегда считавшему себя французом, и Александру-Теофилу Вандермонду — французу вне всякого сомнения.
Вандермонд родился в Париже в 1735 году. Отец хотел, чтобы он стал музыкантом, и Вандермонд достиг совершенства в игре на скрипке и ступил на путь музыкальной карьеры, но в 1770 году заинтересовался математикой. Его первая математическая публикация была посвящена симметричным функциям корней многочлена — алгебраическим формулам типа суммы всех корней, которые не меняются, если корни поменять местами. Наиболее оригинальной частью его работы было доказательство, что уравнение xn − 1 = 0, связанное с правильным п-угольником, можно решить в радикалах, если n меньше или равно 10. (На самом деле оно разрешимо в радикалах для любого n.) Великий французский аналитик[23] Огюстен-Луи Коши позднее ссылался на Вандермонда как на первого, кто осознал, что к задаче решения уравнений в радикалах можно применить симметрические функции.
В руках Лагранжа эта идея стала отправной точкой для атаки на все алгебраические уравнения.
Лагранж родился в итальянском городе Турине[24] и был наречен Джузеппе Лодовико Лагранджиа. Семья имела французские корни: прадед сначала был капитаном французской кавалерии, а потом переехал в Италию и поступил на службу к герцогу Савойскому. Еще в ранней молодости Джузеппе начал писать свою фамилию как «Лагранж», в качестве имени при этом используя Лодовико или Луиджи. Его отец был казначеем в Министерстве общественных работ и укреплений в Турине; мать Тереса Гроссо была дочерью врача. Лагранж был первым из их одиннадцати детей, лишь двоим из которых довелось дожить до зрелых лет.
Семья относилась к высшим слоям итальянского общества, однако в результате некоторых неудачных вложений Лагранжи оказались практически разорены. Было решено, что молодой Лагранж будет изучать право, и он поступил в Туринский университет. Ему нравились право и классические предметы, а математические занятия, на которых в основном преподавалась эвклидова геометрия, наводили на юношу тоску. Однако попавшаяся ему как-то раз книга по алгебраическим методам в оптике, написанная английским астрономом Эдмондом Галлеем, самым решительным образом переменила его мнение о математике. Лагранж направился по пути, который и стал определяющим в его ранних исследованиях, — применение математики к механике и в особенности к небесной механике.
Он женился на своей кузине Виттории Конти. «Моя жена, приходящаяся мне кузиной (и даже жившая в течение долгого времени в нашем семействе), — прекрасная хозяйка и совершенно не требовательна», — писал он своему другу, также математику, Жану ле Рон д'Аламберу. Он также доверительно сообщал ему, что вообще не собирается иметь детей — так оно и вышло.
Лагранж занял должность в Берлине, написал много научных статей и несколько раз становился обладателем ежегодной премии Французской академии: в 1772 году он получил награду вместе с Эйлером, в 1774-м был удостоен ее за работу по динамике Луны, а в 1780-м — за работу о влиянии планет на орбиты комет. Другим его пристрастием была теория чисел. В 1770 году он доказал теорему, представляющую собой классику жанра, — теорему о четырех квадратах, согласно которой всякое положительное целое число представимо в виде суммы четырех квадратов. Например, 7 = 22 + 12 + 12 + 12, 8 = 22 + 22 + 02 + 02 и так далее.
Он стал членом Французской академии наук и перебрался в Париж, где и провел всю оставшуюся жизнь. Он полагал, что разумно подчиняться законам страны проживания даже в случае личного с ними несогласия, — точка зрения, которая, возможно, помогла ему избежать участи многих других интеллектуалов во время Французской революции. В 1788 году Лагранж опубликовал свой шедевр — «Аналитическую механику», где переосмыслил механику как ветвь анализа. Он гордился тем, что в его объемистой книге вообще нет рисунков; в его глазах это делало изложение логически более строгим.
В 1792 году Лагранж женился второй раз, на дочери астронома Рене-Франсуазе-Аделаиде ле Моннье. В августе 1793 года, во время Террора, Академию закрыли; единственной ее частью, не прекратившей функционировать, была Комиссия мер и весов. От работы были отстранены многие ведущие ученые — химик Антуан Лавуазье, физик Шарль Огюстен Кулон, а также Пьер Симон Лаплас. Лагранж стал новым председателем Комиссии мер и весов.
К этому моменту у него стали возникать проблемы из-за его итальянского происхождения. Революционное правительство провело закон, требовавший ареста каждого иностранца, родившегося во враждебной стране. Лавуазье, тогда еще сохранявший свое влияние, добился, чтобы Лагранжа исключили из списков тех, кто подпадал под действие нового закона. Вскоре революционный трибунал приговорил Лавуазье к смерти, и на следующий же день его гильотинировали. Лагранж заметил, что «только мгновение потребовалось, чтобы пала его голова, но сотни лет не хватит, чтобы появилась другая такая».
При Наполеоне Лагранж получил целый ряд почестей: он стал кавалером Ордена почетного легиона, в годы Империи, в 1808 году, ему был пожалован титул графа, а в 1813-м он стал кавалером Большого Креста Императорского Ордена Содружества. Через неделю после получения Большого Креста он скончался.
В 1770 году — в год открытия теоремы о четырех квадратах — Лагранж взялся за написание обширного трактата по теории уравнений, говоря при этом: «В данном мемуаре я предполагаю исследовать различные методы, найденные к настоящему моменту для алгебраического решения уравнений, свести их к общим принципам и объяснить a priori