A до C меньше чем или равно сумме расстояний от A до B и от B до C. Это — «неравенство треугольника», называемое так потому, что в эвклидовой геометрии оно утверждает: любая сторона треугольника короче, чем сумма двух других его сторон.
Пифагорова формула выполнена в эвклидовой геометрии, то есть там, где пространство является «плоским». Так что когда метрика отличается от эвклидовой, можно приписать это различие некоторой «кривизне» пространства. Это можно представлять себе как изгибание пространства, но на самом деле это не идеальная картина, потому что тогда потребуется большее пространство, в котором исходному предстоит изогнуться. Лучше думать о «кривизне» таким образом, как будто области пространства или сжаты, или растянуты, так что изнутри кажется, что они вмещают меньше (или больше), чем снаружи. (Фанаты британского телесериала Doctor Who вспомнят Тардис — космический корабль и машину времени, которая изнутри больше, чем снаружи.) Блестящий ученик Гаусса Риман обобщил идею метрики с размерности два на любое число измерений и модифицировал идею таким образом, что расстояния стало возможно определять локально — для точек, расположенных очень близко друг к другу. Такая геометрия называется Римановым многообразием, и она представляет собой наиболее общий вид искривленного пространства.
Физика происходит не в пространстве, а в пространстве-времени, где, согласно Эйнштейну, естественная «плоская» геометрия есть не геометрия Эвклида, а геометрия Минковского. Время входит в формулу для «расстояния» иначе, нежели пространство. Такое геометрическое устройство представляет собой искривленное пространство-время. Оно оказалось именно тем, что заказывал патентный служащий.
Эйнштейн долго бился, изобретая свои уравнения общей теории относительности. Сначала он исследовал, как свет распространяется в гравитационном поле, и это привело его к мысли положить в основу единый фундаментальный принцип — принцип эквивалентности. В ньютоновской механике гравитация проявляет себя как сила, притягивающая все тела друг к другу. Силы вызывают ускорение. Принцип эквивалентности утверждает, что ускорение всегда неотличимо от эффектов, вызванных подходящим гравитационным полем. Другими словами, способ включить гравитацию в теорию относительности состоит в том, чтобы понять ускорение.
К 1912 году Эйнштейн убедился, что теория гравитации не может быть симметричной относительно всех преобразований Лоренца; симметрия такого вида применима точно и повсюду, только когда отсутствует материя, гравитация нулевая, а пространство-время является пространством-временем Минковского. Отбросив это требование «лоренцевой инвариантности», он избежал массы бесплодных усилий. «Единственная вещь, в которую я твердо верил, — писал он в 1950 году, — состояла в том, что в фундаментальные уравнения надо было включить принцип эквивалентности». Но он осознавал и пределы этого принципа: он должен быть верен только локально, как некое инфинитезимальное приближение к истинной теории[62].
В 1907 году друг Эйнштейна Гроссманн стал профессором геометрии в ETH, и Альберт также согласился занять там пост. Ненадолго — через год он уехал в Берлин, а позднее в Прагу. Но он не прерывал контакта с Гроссманном, и это принесло щедрые плоды. В 1912 году Гроссманн помог Эйнштейну осознать, какого типа математику ему следовало искать: «Эта задача оставалась для меня неразрешимой, пока я внезапно не понял, что Гауссова теория поверхностей содержит ключевой элемент для разгадки тайны… Однако я в то время не знал, что Риман исследовал основания геометрии даже на еще более глубоком уровне. Когда я вернулся из Праги в Цюрих, там был мой дорогой друг математик Гроссман. От него я впервые узнал о Риччи, а затем о Римане. Так что я спросил своего друга, можно ли решить мою задачу, применяя теорию Римана».
Риччи — это Грегорио Риччи-Курбастро, который вместе со своим студентом Туллио Леви-Чивитой изобрел анализ на римановых многообразиях. Тензор Риччи дает более простую меру кривизны, чем исходная концепция Римана.
Согласно другим источникам, Эйнштейн сказал Гроссманну: «Ты должен мне помочь, а не то я сойду с ума!» — и Гроссманн исполнил это требование. Как позднее писал Эйнштейн, он «не только избавил меня от изучения соответствующей математической литературы, но и поддержал меня в моем поиске полевых уравнений гравитации». В 1913 году Эйнштейн и Гроссманн опубликовали первые результаты своих совместных усилий, закончив гипотезой о виде искомых полевых уравнений: тензор энергии-импульса должен быть пропорционален… чему-то.
Чему?
Ответа на этот вопрос они пока не знали. Там должен был стоять некий другой тензор, дающий другое измерение кривизны.
Здесь они оба сделали математические ошибки, которые увели их в долгую погоню за несбыточным. И Эйнштейн, и Гроссман были убеждены (вполне справедливо), что их теория должна давать ньютоновскую гравитацию в соответствующем предельном случае — случае плоского пространства-времени, слабой гравитации. Отсюда они получили некоторые технические требования на искомые уравнения, т.е. требования к природе этого самого «чего-то». Но их аргументация была ошибочной, и эти требования на самом деле не следовало предъявлять.
Эйнштейн был уверен, что правильные полевые уравнения должны определять математический вид метрики — формулы для расстояния в пространстве-времени, которая определяет все его геометрические свойства — единственным образом, однозначно. Это было попросту неверно: изменения системы координат могут изменить данную формулу, не оказывая при этом никакого влияния на внутреннюю кривизну пространства. Но Эйнштейн не знал о так называемых тождествах Бьянки, которые проясняют отсутствие единственности; по-видимому, не знал о них и Гроссманн.
Такое состояние — сущий кошмар для каждого ученого: по видимости неопровержимая идея, которая вроде бы ведет в правильном направлении, на деле заводит в ужасные дебри. Устранить такую ошибку отчаянно трудно, ведь вы уверены, что никакой ошибки нет. Часто даже не удается понять, какие именно допущения вы незаметно сделали.
К концу 1914 года Эйнштейн наконец осознал, что полевые уравнения не могут определять метрику единственным образом, потому что имеется возможность выбора различных систем координат: это не влияет на физику, но меняет формулу для метрики. Он все еще не знал о тождествах Бьянки, но теперь они ему были не нужны. Он наконец понял, что имеется свобода в выборе любых координат из соображений удобства.
18 ноября 1914 года Эйнштейн открыл новый фронт в войне с уравнениями гравитационного поля. Он подобрался достаточно близко к окончательной формулировке, чтобы сделать два предсказания. Одно из них — на самом деле скорее «послесказание», в том смысле, что оно было сделано после события. Оно состояло в объяснении тончайших изменений, к тому времени уже наблюдавшихся в орбите Меркурия. Положение перигелия — ближайшего к Солнцу положения планеты — медленно изменяется. Из новой теории гравитации Эйнштейн смог вывести, насколько быстро должен двигаться перигелий, — и результат его вычисления совпал с результатами наблюдений.
Второе предсказание требовало для своего подтверждения или опровержения новых наблюдений; то была прекрасная новость, поскольку новые наблюдения — это лучшая проверка новых теорий. Согласно теории Эйнштейна, гравитация должна изгибать свет.
Геометрия этого эффекта проста и имеет дело с геодезическими — кратчайшими — путями между двумя точками. Если растянуть струну и приподнять ее, она примет вид прямой линии; это происходит потому, что в эвклидовом пространстве прямая линия является геодезической. Если, однако, два конца струны прижать к поверхности футбольного мяча, сильно ее при этом натянув, то она примет форму кривой, лежащей на поверхности мяча. Геодезические линии на искривленном пространстве — мяче — сами искривлены. То же происходит и в искривленном пространстве-времени, хотя подробности слегка отличны.
Физические обстоятельства, в которых этот эффект может проявиться, также «прямолинейны». Звезда, подобная Солнцу, будет изгибать любой свет, проходящий мимо нее. Единственным в то время способом наблюдать этот эффект было дождаться солнечного затмения, когда свет Солнца более не забивает свет от звезды, расположенной на небосводе близко к краю солнечного диска. Если Эйнштейн был прав, то кажущиеся положения таких звезд должны были слегка сдвинуться по сравнению с их положениями, когда они не находятся на одной линии с Солнцем.
Количественный анализ этого явления куда менее прямолинеен. Первая попытка Эйнштейна, предпринятая в 1911 году, предсказывала сдвиг в пределах угловой секунды. Ньютон предсказал бы близкое число, основываясь на своем убеждении, что свет состоит из мельчайших частиц: сила гравитации должна притягивать частицы, вызывая изгиб их траектории. Но в 1915 году Эйнштейн получил результат, в соответствии с которым в его новой теории свет должен отклониться на вдвое больший угол — на 1,74 угловой секунды.
Перспектива выбора между Ньютоном и Эйнштейном стала реальностью. 25 ноября 1914 года Эйнштейн записал свои полевые уравнения в их окончательном виде. Эти уравнения Эйнштейна составляют основу общей теории относительности — релятивистской теории гравитации. Они записываются в математическом формализме, известном как тензоры (некоторым образом нагроможденные друг на друга матрицы). Уравнения Эйнштейна говорят нам, что тензор Эйнштейна пропорционален скорости изменения тензора энергии-импульса[63]. Другими словами, кривизна пространства-времени пропорциональна степени присутствия материи. Эти уравнения подчиняются некоторому принципу симметрии, но он сугубо локален. В малых областях пространства-времени у них те же симметрии, что в специальной теории относительности, при условии, что во внимание принимается локальное влияние кривизны.