уа, где l = ya/d. Тогда с ростом ∫d будет уменьшаться в размерах. Однако ∫ означает сумму, a d — разность».
Спустя несколько дней в рукописи, датированной 11 ноября 1675 года, он переместил d в числитель и записал — как dx. В этой же рукописи Лейбниц задается вопросом о равенстве d(xy) и dxdy, а также
Он делает вывод, что равенство между ними не выполняется, однако не приводит верных формул для нахождения дифференциала произведения и частного.
Чтобы увидеть нечто общее среди беспорядочного множества результатов, полученных его предшественниками при решении задач о квадратурах, центрах тяжести, касательных, задач нахождения кривой по заданной касательной и других, и сформулировать понятия интегрирования и дифференцирования, требовался алгебраический язык. Этот язык Лейбниц в совершенстве освоил во время работы над решением уравнений, проведенной за несколько месяцев вплоть до октября 1675 года. Следует отметить, что Лейбниц не преуспел в решении уравнений, однако освоил язык алгебры, без которого не смог бы впоследствии открыть свой метод математического анализа.
Лейбниц сообщил основу своего метода Ньютону в ответ на его письма, переданные через Ольденбурга в июне и октябре 1676 года. Эта переписка Ньютона и Лейбница впоследствии сыграла решающую роль в споре о том, кто же первым создал анализ бесконечно малых. Как мы уже говорили, Ньютон отправил Лейбницу два письма: так называемое Epistolae prior, датированное 13 июня 1676 года, и Espistolae posterior, датированное 24 октября 1676 года. Ответы Лейбница датируются 17 августа 1676 года и 11—12 июня 1677 года. Они не озаглавлены, но их значение не менее масштабно. В своих письмах Ньютон излагает Лейбницу большую часть De analysi и De methodis о разложении в ряд, но почти не упоминает о своей версии анализа бесконечно малых. Лейбниц же в своих письмах излагает свой метод полностью. Ньютону следовало понять, что метод Лейбница столь же полон, как и его собственный, и вовремя опубликовать свои труды, чтобы доказать свое первенство. Вестфолл пишет: «Можно лишь предполагать, каковы были бы возможные последствия этого шага, но можно с уверенностью сказать, что в этом случае обе стороны не запятнали бы себя позорными поступками, которые в итоге совершили». Валлис чрезвычайно проницательно заметил: «По моему мнению, господину Ньютону следует усовершенствовать свою нотацию и незамедлительно опубликовать эти письма [имеются в виду два Epistolae]».
Годы, проведенные в Париже, стали для Лейбница непростыми. После смерти курфюрста Майнца в феврале 1673 года и изменений в ходе военных действий между Францией и Голландией политическая и дипломатическая миссия Лейбница потеряла смысл. Лейбниц опасался, что ему прикажут вернуться в Германию. Однако его новый покровитель предложил ему остаться в Париже и продолжать работу.
Лейбниц предпринял несколько неудачных попыток получить должность во французской столице. Ему не удалось получить пост дипломата (этому помешало его происхождение), а также не удалось занять оплачиваемый пост во Французской академии наук, где он представил свою вычислительную машину в начале 1675 года. (К сожалению для него, оплачиваемые должности уже занимали Гюйгенс и Кассини, и Академия не могла принять еще одного иностранца.) Несмотря на то что Лейбниц в течение всей второй половины того года использовал все свои многочисленные связи, попытка получить должность заведующего кафедрой в Коллеж де Франс после смерти Роберваля также окончилась неудачей. Шло время, но единственное предложение, которое ему поступило, — это приглашение на службу к графу Иоганну Фридриху, курфюрсту Ганновера. Лейбниц в конце концов принял предложение, но это означало, что ему придется вернуться в Ганновер, жить вдали от главных научных центров того времени и полностью зависеть от курфюрста, рискуя потерять должность в любой момент. Ему удалось продлить свое пребывание в Париже, насколько это было возможно — сначала до мая 1676 года, затем до октября. 4 октября он оставил Париж и направился в Германию, где его ждала должность библиотекаря в Ганновере. К работе следовало приступить в январе. Он больше никогда не возвращался в город, где в условиях величайшего давления, обеспокоенный будущей карьерой, он открыл анализ бесконечно малых.
По пути в Ганновер Лейбниц посетил Лондон и Амстердам. В Лондоне он пробыл десять дней и нанес визит Коллинзу. Вестфолл пишет: «Находясь под впечатлением от визитера, Коллинз открыл перед ним свой архив». Лейбниц, помимо прочих трудов, ознакомился с «Анализом» Ньютона и сделал некоторые пометки, касавшиеся разложения в ряд. Вновь приведем цитату Вестфолла: «Он увидел, что в этой области он может многому научиться у британских математиков. Отсутствие пометок, касающихся анализа флюксий, означает, что он не увидел в книге Ньютона ничего такого, о чем не знал бы сам. После отъезда Лейбница Коллинз вернулся к реальности и осознал, насколько опрометчиво поступил. Он никогда не рассказывал Ньютону о том, что показал Лейбницу его труды… Лейбниц, в свою очередь, также предпочел не упоминать об этом».
Позднее Лейбниц предпочел умолчать не только об этом, но и о других вещах, которые он узнал по дороге в Германию. В Амстердаме он в течение месяца несколько раз встретился с философом Бенедиктом Спинозой и ознакомился с частью рукописи его «Этики». Позднее Лейбниц отрицал идеи Спинозы (на момент визита Спинозе, которому оставался всего год до смерти, наскучило всякое общество) и предпочел не упоминать о том, как много он узнал во время бесед с ним, и также отказывался признавать значительное влияние «Этики» на свои философские взгляды.
Когда 25 лет спустя начался спор о том, кто же первым открыл математический анализ, решающую роль сыграло то, что Лейбниц увидел в Лондоне.
В 1677 году, уже будучи в Ганновере, Лейбниц получил правильные формулы для вычисления дифференциала произведений, дробей и степеней. Эти формулы он вывел не без труда, путем проб и ошибок.
В 1680 году он практически завершил работу над своим методом анализа и, в отличие от Ньютона, который не горел желанием отдавать рукописи в печать, опубликовал первую статью по этой теме в 1684 году. Эта статья стала первой в истории публикацией, посвященной анализу бесконечно малых. Она имела внушительное заглавие «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». В этой статье объемом всего в шесть страниц крайне схематично, без доказательств и практически без примеров было изложено дифференциальное исчисление Лейбница. Эта работа была сложной и непонятной, «скорее, загадка, нежели объяснение», как отзывались о ней братья Бернулли, которые первыми изучили математический анализ Лейбница. Сложность статьи усугублялась опечатками, допущенными при публикации.
Особого упоминания заслуживает один из немногих примеров, приведенных в статье, которому Лейбниц посвятил заключительные строки. Речь идет о задаче нахождения кривой по известной касательной, предложенной де Боном: «Я с удовольствием приведу в качестве приложения решение задачи, предложенной де Боном, которую безуспешно пытался решить Декарт. Найти линию такой природы, что проекция любой из ее точек на ось и точка пересечения касательной в этой точке с указанной осью образуют отрезок постоянной длины». Чтобы найти решение с помощью своего метода и тем самым доказать его возможности, Лейбницу понадобилось всего полдюжины строк. Искомой кривой в этой задаче является логарифмическая кривая.
Также следует обратить внимание, насколько своеобразным способом Лейбниц распространял информацию о своем дифференциальном исчислении. Он опубликовал свою работу в научном журнале Acta eruditorum, в создании которого участвовал в 1682 году, ознаменовав тем самым начало новой эпохи в науке.
Приведем вывод формулы производной произведения функций, изложенный Лейбницем, так как в нем ярко отражена недостаточная логическая строгость, которой отличался Лейбниц при работе с бесконечно малыми величинами: «d(xy) — то же, что и разность между двумя смежными xy, из которых одним будет xy, другим — (x + dx) (у + dy). Следовательно, d(xy) — (x + dx) (у + dy) — xy, или xdy + ydx + dxdy, что равно xdy + ydx, если опустить величину dxdy, которая является бесконечно малой по отношению к прочим величинам, так как dx и dy предполагаются бесконечно малыми».
Как видите, четкость этого доказательства оставляет желать лучшего. В нем проявляется наиболее противоречивое свойство бесконечно малых величин: Лейбниц считает величину dxdy равной нулю, несмотря на то что ни dx, ни dy не равны нулю.
Спустя два года, в 1686 году, Лейбниц публикует в Acta eruditorum свою вторую статью, которая на этот раз посвящена интегральному исчислению. Статья носила название «О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин». Лейбниц начал эту статью с оправданий, объясняя, почему его первая статья была столь сложной: «Понимая, что некоторые вещи, опубликованные мной в Acta об открытиях в геометрии, не были в достаточной мере поняты некоторыми учеными людьми и, более того, использованы не совсем верно, будь то по ошибке либо по какой-либо другой причине, я посчитал, что крайне ценно добавить к этой статье все возможное, чтобы прояснить прошлые вопросы».
В этой статье впервые используется обозначение интеграла, хотя из-за сложностей при печати знак ∫, примененный Лейбницем в рукописи, был заменен на