На другой стороне этого спектра находятся специалисты в области когнитивной нейробиологии и психологи, такие как Джордж Лакофф и Рафаэль Нуньес, которые почти единогласно отвергают платоновское видение математики. Вместо этого они уверенно и на большом количестве экспериментального материала доказывают, что математика — лишь очередное порождение человеческого ума. Они считают, что вся математика зародилась в нашем разуме и лишь затем стала использоваться для описания природных явлений, происходящих в окружающем мире, и даже для предсказания будущих событий. Во вступлении к книге «Откуда пришла математика. Как воплощенный разум воплощает математику в жизнь» Лакофф и Нуньес пишут: «Человеческое существо может понять математику только в терминах, постижимых для человеческого мозга и разума. Единственное возможное для нас осмысление математики — это человеческое осмысление. Следовательно, математика в том виде, в котором мы ее знаем и преподаем, может быть только созданной человеком и осмысленной человеком математикой». Они продолжают: «Если вы изучаете природу математики в качестве научной проблемы, тогда математика — это математика, осмысленная человеческими существами с помощью когнитивных механизмов мозга».
Поэтому, задавшись важнейшим вопросом о том, почему математикам и физикам во все времена удавалось использовать математику для формулировки понятных и точных теорий о вселенной, Лакофф и Нуньес, не колеблясь, отвечают: «Любое совпадение между математикой и природой имеет место в головах ученых, которые пристально анализировали мир, хорошо изучили (или изобрели) соответствующую математику и сопоставили их (часто удачно) с помощью своего человеческого разума и мозга». В соответствии с такой точкой зрения нет сомнений в источнике происхождения математики: математика происходит от нас, точнее, от того типа мозга и разума, которым мы обладаем.
Как обсуждал Марио Ливио в книге «Был ли Бог математиком?», со временем многие видные математики вышли из рядов своего братства, чтобы публично заявить о том, что математика — творение человека, сваренное и упакованное внутри нашего мозга. Например, известный британско-египетский математик Майкл Атья, удостоенный Филдсовской премии и медали Копли, писал: «Если рассмотреть мозг в эволюционном контексте, удивительная успешность математики в физических науках хотя бы отчасти объясняется. Мозг эволюционировал, чтобы общаться с физическим миром, поэтому не стоит сильно удивляться, что он изобрел язык математики, который хорошо подходит для этой цели». Атья не боялся открыто признавать, что «даже такие базовые понятия, как натуральные числа, были созданы людьми путем отвлеченного анализа элементов физического мира».
Интересно, что точка зрения, защищающая идею зарождения математики в человеческом мозге, прямо противоречит знаменитому изречению Альберта Эйнштейна: «Самое удивительное во вселенной — это то, что она познаваема». Если исходить из того, что математика создана человеческим мозгом в ходе эволюции, получается, что Эйнштейн удивлялся зря. На самом деле, как указывает специалист по компьютерным наукам Джеф Раскин, «основы математики были заложены нашими предками давным-давно, вероятно, за миллионы поколений до нас».
Как сказано в книге Ливио, Раскин полагал, что математика была призвана согласовываться с физическим миром и в таком качестве является созданным человеком инструментом для описания вселенной, существующей за пределами нашего мозга. Следовательно, нет ничего загадочного в том, что математика так хорошо описывает окружающий мир: просто именно этот мир и все его особенности привели к встраиванию в наш мозг базовых понятий, из которых уже позднее появились математика и логика.
Эволюционную природу математики подкрепляют наблюдения за другими животными, включая позвоночных, млекопитающих и наших ближайших родственников обезьян и человекообразных обезьян, которые также демонстрируют рудиментарные способности к математике, особенно к основам арифметики. Лакофф и Нуньес приводят ряд удивительных примеров, накопленных за шесть последних десятилетий. Например, крыс можно научить нажимать на рычаг определенное число раз, чтобы получить в награду лакомство. Грызуны также обучаются распознавать небольшое количество сигналов, воспринимаемых как последовательность звуков или световых импульсов, что указывает на не зависящую от сенсорной модальности общую способность их мозга оценивать количество.
Экспериментальные данные показывают, что приматы обладают лучшими способностями к математике, чем грызуны. Например, дикие макаки-резусы, по-видимому, обладают уровнем арифметических способностей, сопоставимым с уровнем маленьких детей. В других исследованиях выяснилось, что шимпанзе могут выполнять операцию сложения с использованием долей, таких как четверть, половина и три четверти; если им показать четверть фрукта (яблока) и стакан, наполовину заполненный окрашенной жидкостью, в качестве ответа на эту математическую задачку шимпанзе неизменно выбирают три четверти.
Но в целом все сходятся во мнении, что мозг грызунов и приматов, в отличие от мозга человека, не предназначен для проявления математических навыков, выходящих за рамки некоторых элементарных действий. И по этой причине они не могут создавать абстрактного описания мира природы так, как это делаем мы.
Уже более половины столетия назад нейробиологи осознали, что отдельные нейроны в первичной зрительной коре млекопитающих и приматов обладают удивительным свойством достигать максимального возбуждения, когда в рецептивное поле зрительного нейрона попадают по-разному ориентированные линии света или движущиеся полосы. Как мне кажется, это явно указывает на то, что базовые понятия геометрии, такие как прямые линии, были встроены в мозг животных в ходе эволюционного процесса в результате взаимодействия с внешним миром. И поскольку это свойство дало значительное эволюционное преимущество, оно передавалось от поколения к поколению и от вида к виду, пока не укоренилось в глубинах зрительной коры человеческого мозга.
До сих пор я говорил о млекопитающих и приматах. Однако несколько лет назад Рональд Сикурел попросил меня обратить внимание на одно видео, которое ему показали во время научной конференции. На видео был заснят брачный ритуал, который самцы рыбы фугу исполняют на дне океана для привлечения самок. Эти небольшие рыбы, обычно почти невидимые в голубоватой океанской воде, целую неделю готовятся к единственному свиданию, без перерыва работая в режиме 24/7, чтобы сотворить свой геометрический шедевр. Используя шаблон, отпечатанный эволюцией в их примитивном мозге, с помощью плавников эти рыбы роют морское дно, создавая из морского песка и математического инстинкта великолепные трехмерные «призывные сигналы спаривания». Как сказал британский натуралист и комментатор Дэвид Аттенборо, если уж рыбы фугу не смогут убедить вас в том, что основы математики и геометрии были встроены в мозг животных, включая нас, давным-давно в ходе эволюции за счет взаимодействия с окружающим миром, убедить вас в этом не сможет уже ничто. Действительно, комментируя это видео про рыб фугу, Рональд прямо указал на важнейший момент: «Эволюция отбирала нас не для того, чтобы наблюдать или испытывать реальность, но чтобы максимально повысить возможность выживания в большинстве ситуаций, возникающих в окружающем нас мире. Это разные вещи. Ощущение реальности такой, какая она есть, вовсе не гарантирует адаптации к ней; оно даже может быть недостатком. Поэтому нашему мозгу для объяснения мира не нужно быть „реалистом“. Его функция заключается в том, чтобы предвидеть и сглаживать возможный риск, с которым может быть сопряжено наше внедрение в этот мир, даже если мы никогда не переживаем его в реальности, но лишь с точки зрения, созданной и предлагаемой нашим мозгом».
Лакофф и Нуньес поддерживают эту идею, представляя длинный список исследований, показывающих, что некоторые наши математические способности являются врожденными и проявляются у маленьких детей на очень ранних постнатальных фазах развития. Авторы подчеркивают, что все люди, вне зависимости от уровня культуры или образования, способны сообщить, видят ли они один, два или три предмета. Все экспериментальные доказательства показывают, что эта способность, называемая субитизацией, является врожденной. Некоторые базовые арифметические операции, такие как группировка, сложение и вычитание, а также некоторые простейшие геометрические понятия также являются врожденными, если речь идет о человеке.
В последние годы методы нейрофизиологии и визуализации помогли установить, какие отделы мозга вовлечены в математические вычисления. Одно из самых необычных открытий в этом направлении исследований заключалось в том, что нейрофизиологам удалось обнаружить несколько пациентов, у которых эпилептические приступы начинались в тот момент, когда они делали арифметические вычисления. Эти эпилептические приступы, получившие название epilepsia arithmetices, зарождаются в нижнем отделе теменной коры. Дальнейшие исследования с применением методов визуализации показали, что в осуществлении более сложных арифметических действий участвует префронтальная кора. Интересно, что механическая память, которую мы используем, например, для заучивания таблицы умножения, требует вовлечения субкортикальных структур, таких как базальные ганглии. Аналогичным образом алгебраические упражнения, по-видимому, требуют вовлечения иных мозговых цепей, чем те, что задействованы в арифметических вычислениях.
Лакофф и Нуньес выдвигают идею о том, что ключевая причина, позволившая людям расширить врожденные математические способности, заключается в нашем умении строить то, что мы называем «концептуальными метафорами». Эта концепция очень напоминает мое представление о математике как о еще одном типе сложной человеческой ментальной абстракции. Лакофф и Нуньес считают исключительной ментальной способностью нашего вида умение превращать то, что изначально было лишь абстрактной концепцией, в гораздо более ощутимую проекцию. В поддержку этой идеи авторы высказывают мнение о том, что ментальные корни арифметики, ставшей реальным инструментом в жизни людей, кроются в аналогии со сбором предметов. Рассуждая в том же ключе, они предполагают, что более абстрактная алгебра, характеризующая логику Буля, могла возникнуть из метафоры, связывающей классы с числами.