зделен на две равные части. Поэтому Архимед и его последователи в механике более подробно рассмотрели это положение и установили разницу между точкой подвеса и центром тяжести»[289].
Эта фраза дала повод некоторым ученым (в Англии — Т. Л. Хиту, у нас — С. Я. Лурье) утверждать, что в своем первоначальном виде понятие центра тяжести было сформулировано неким стоиком начала III в. до н. э. Посидонием, которого, однако, не следует путать со знаменитым Посидонием Родосским, жившим в I в. до н. э. Однако о таком стоике мы больше ниоткуда ничего не знаем. Единственным стоиком начала III в. до п. э., имя которого нам известно, был основатель стоической школы Зенон из Китиона. Гораздо разумнее будет предположить, что в тексте Герона мы имеем дело с обычной для авторов поздней античности путаницей в порядке изложения, из-за которой создается впечатление, что Посидоний жил раньше Архимеда.
Точное определение центра тяжести приводится Паппом. Можно не сомневаться, что это определение принадлежит самому Архимеду (хотя Папп этого прямо и не указывает).
«Центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение»[290].
Имея это определение, Архимед мог сформулировать понятие момента силы, установить условия равновесия рычага и на этой основе дать теорию рычажных весов. Каким образом это было у него первоначально сделано и пользовался ли он при этом аксиоматическим методом, применявшимся им в позднейших его работах, мы не знаем. Наиболее ранняя из целиком дошедших до нас работ Архимеда — «О квадратуре параболы» — предполагает теорию рычага уже известной.
Важное значение для Архимеда имела поездка в Александрию, оказавшая, вне всякого сомнения, стимулирующее влияние на его дальнейшее творчество. Мы считаем совершенно неубедительным предположение И. Н. Веселовского, что эта поездка была совершена, когда Архимеду было уже под пятьдесят лет, и что лишь после этого он занялся проблемами чистой математики[291]. Ничто не мешает нам допустить, что пребывание Архимеда в Александрии совпало со временем первой Пунической войны (264–241 гг. до н. э.), в которой Сиракузы не участвовали, занимая выгодную нейтральную позицию. В столице Египта Архимед познакомился с выдающимся ученым александрийской школы Кононом, занимавшим положение придворного астронома при царе Птолемее III Эвергете. Конон был лет на двадцать старше Архимеда; будучи прекрасным геометром, он ввел молодого сиракузца в круг проблем, находившихся в центре внимания александрийских математиков. По возвращении в Сиракузы Архимед продолжал поддерживать связь с Кононом, сообщая ему в письмах о результатах своих научных исследований. К сожалению, ни работы Архимеда александрийского периода, ни его письма к Конону до нас не дошли. Когда Конон умер (около 240 г. до н. э.), Архимед стал переписываться с учеником Конона Досифеем. Сохранились четыре письма Архимеда к Досифею («Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях»), которые можно причислить к числу важнейших математических работ Архимеда зрелого периода: в них величайший ученый древности предвосхищает идеи интегрального и дифференциального исчисления нового времени.
Другим александрийским ученым, с которым Архимед продолжал сохранять контакт по возвращении на родину, был знаменитый Эратосфен из Кирены, впоследствии (с 234 г. до н. э.) ставший руководителем александрийской Библиотеки. О дошедшем до нас письме Архимеда к Эратосфену (так называемый «Эфод») будет сказано несколько ниже.
Следует отметить, что, находясь в Александрии, Архимед не прекратил и своей инженерной деятельности. Об этом свидетельствует изобретенная Архимедом машина для поливки египетских полей: это так называемый архимедов винт или «улитка», получившая в дальнейшем широкое распространение в античном земледелии.
Сейчас мы обратимся к тем работам Архимеда, в которых он устанавливает связь между математикой и механикой, доказывая чисто математические положения с помощью механических методов. Это была процедура, ранее неведомая греческой математике и впервые изобретенная Архимедом: она стала возможной на основе работ Архимеда по статике и, прежде всего, по теории рычага, в которых эта область механики была превращена в точную математическую науку. Прежде всего рассмотрим одно из наиболее ранних среди дошедших до нас сочинений Архимеда (хотя по времени написания оно было далеко не ранним), а именно «Квадратуру параболы». Как уже указывалось выше, сочинение это было написано в форме письма к Досифею, ученику Конона. Вот его начало: «Архимед Досифею желает благоденствия! Узнавши о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге, и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем — доказаны также и геометрически… Предварительно излагаются основные свойства конических сечений, необходимые для доказательства»[292].
Теоремы теории параболы, которыми пользуется Архимед в этом сочинении, были, по-видимому, доказаны Эвклидом или другим, менее известным математиком того же времени— Аристеем. Оба они написали не дошедшие до нас сочинения о свойствах конических сечений; позднее полученные ими результаты вошли в знаменитый труд-Аполлония Пергского (Κωνικά). Мы видим, что Архимед был прекрасно знаком с математическими работами своих предшественников.
Далее решается задача нахождения площади сегмента, ограниченного параболой и прямой. Как явствует из приведенной выше цитаты, Архимед решает эту задачу двумя методами, причем лишь второй, геометрический, метод он считает удовлетворяющим требованиям строгой математики. Но нас, в первую очередь, интересует первый, по сути дела эвристический, метод, который сам Архимед назвал механическим, ибо он действительно показывает характерную для мышления Архимеда органическую связь математики и механики. Будучи инженером, Архимед сделал механику точной математической наукой, в то же время, будучи математиком, он мыслил с помощью образов и понятий, взятых из сферы механики.
Не повторяя буквально Архимеда, проследим основные стадии вывода формулы для площади параболического сегмента с помощью механического метода.
Рассмотрим параболический сегмент, ограниченный куском параболы αβγ и отрезком αγ (рис. 6). Ставится задача: выразить площадь этого сегмента через площадь вписанного в него треугольника αβγ.
Рис. 6. Определение площади параболы механическим методом
Имеем:
δβ — ось параболы
γζ — касательная к параболе в точке γ
αζ — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через точку α.
γϑ — прямая, проходящая через точку γ и вершину параболы β, причем γκ=κϑ,
ξν — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через произвольную точку ξ, лежащую на отрезке αγ.
Одно из свойств параболы, доказываемых в теории конических сечений, состоит в том, что:
ξο/ον = αξ/ξγ или ξο/ξν = αξ/αγ
откуда, между прочим, следует:
δβ = βε
(следовательно, γκ — медиана треугольника αγζ). Далее:
ξο/ξν = αξ/αγ = κμ/κγ = κμ/κϑ
Т. е.:
ξο/ξν = κμ/κϑ
До сих пор идет чистая геометрия, но с этого момента начинается механика. Архимед предлагает представить параболический сегмент αβγ и треугольник αζγ как две материальные пластинки, наложенные одна на другую и веса которых определяются их площадями. Отрезок ξ0 будем рассматривать как бесконечно тонкую полоску сегмента, а ξν как такую же полоску треугольника. Веса этих полосок будут определяться их длинами. Перенесем полоску ξ0 в точку ϑ таким образом, чтобы она приняла положение τη, а ее середина (и, следовательно, ее центр тяжести) совпала бы с точкой ϑ. Тогда уравнение (1) можно будет трактовать как условие равновесия рычага, плечи которого равны κϑ и κμ и к концам которого подвешены грузы τη и ξν.
Это же справедливо и для всех прочих, накладывающихся друг на друга полосок сегмента αβγ и треугольника αςγ. Перенеся все полоски, из которых состоит сегмент, в точку ϑ, мы можем заключить, что общий вес параболического сегмента будет уравновешен весом треугольника, если считать, что центр тяжести последнего совпадает с концом правого плеча нашего рычага. В своих предыдущих работах Архимед показал, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Пусть этой точкой будет κ. Тогда условие равновесия сегмента и треугольника можно будет записать следующим образом:
вес сегм. 2βγ/вес треуг. αζγ = площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κχ/κϑ
Из геометрии мы знаем, что κχ = 1/3 κγ. Отсюда·: площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κγ/ζκϑ = 1/3
Площадь треугольника αζγ = 1/2 * αζ * αγ,
Из чертежа, однако, явствует, что αζ = 2δε = 4δβ. В результате приходим к окончательному ответу:
площадь сегм. αβγ = 4/3 (1/2 * δβ * αγ) = 4/3 площ. треуг. αβγ
Несмотря на недостаточную строгость механического метода, полученное соотношение оказывается абсолютно точным. Тем не менее во второй части трактата Архимед дает второе (геометрическое) доказательство, где тот же результат получается с помощью метода исчерпывания Эвдокса (рис. 7). При этом Архимед указывает, что в ходе доказательства он пользуется следующим предположением:
«Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади»