Исаак Ньютон родился в год смерти Галилея. Ему выпало свести все разрозненные элементы в единую теорию. Чтобы понять, какой беспорядок царил в то время в науке, следует представить, что в то время еще существовало две отдельные науки — земная и астрономическая механика. По мнению Кеплера, планеты перемещались по эллиптическим орбитам, их двигала таинственная магнитная сила, исходящая от Солнца, при этом инерция планет замедляла их движение относительно скорости вращения самого Солнца. По мнению Галилея, планеты перемещались по кругам, потому что такое движение идеально и присуще их природе, а инерция поддерживала движение планет. Все еще сильнее запуталось, когда Декарт, уточняя модель Кеплера, объявил, что инерция заставляет тела двигаться по прямой линии, а пути планет изогнуты вихрями, бушующими в Солнечной системе. Новаторская работа Галилея в области ускорения и земной механики, казалось, не могла иметь никакого отношения к механике небесной. Согласования в определениях ключевых физических понятий — таких, как масса и вес, инерция и импульс, сила и энергия, магнетизм и гравитация, не существовало.
В 1687 году после долгих уговоров и при финансовой поддержке со стороны Эдмунда Галлея (1656–1742) Ньютон издал свой труд «Математические начала натуральной философии», более известный под сокращенным названием «Начала». Он стал широко известен только в 1720-е годы, после двух последующих переизданий. В этой главе я коснусь лишь механики, об исчислении же поговорим позже. В «Началах» приводятся три закона движения, выведенные Ньютоном. Согласно традиционно принятому порядку (хотя появились они в иной последовательности), первый закон гласит: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Это согласуется с представлениями Декарта и учитывает как статическое, так и динамическое равновесие сил. Второй закон звучит так: «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Теперь он записывается следующим образом: F = та. А третий закон говорит о том, что «действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Затем Ньютон рассуждает о различных типах силовых полей и законе тяготения. Его мастерский ход заключался в том, что он уравнял в правах силы Кеплера и силы Галилея. В третьей книге «Начал», носящей название «О системе мира», изложены ключевые моменты его теории, приравнивающей силу, которая действует на падающее тело, и силу, которая действует на движущиеся по орбитам планеты. Итак, две механики внезапно стали единой наукой — земная и небесная разновидности, оказывается, подчиняются одним и тем же законам. Невидимым клеем, соединившим их, оказалась тогда еще загадочная сила гравитации.
Ньютон прославился изобретением (или со-изобретением, если можно так сказать) дифференциального и интегрального исчислений, но доказательства в «Началах» все еще геометрические, хотя чертежи часто отображают бесконечно малые изменения силы и перемещения, показывая, что получающееся движение должно считаться гладким. Но в космологии Ньютона все еще оставались нерешенные проблемы. Например, он не смог объяснить, что все планеты вращаются в одном и том же направлении, и не знал, почему они движутся именно по тем орбитам, на которых их наблюдают. Что касается силы гравитации, Ньютона беспокоила столь мощная сила, действующая на огромном расстоянии без посредства какой-либо передающей среды. Он не считал возможным действие на расстоянии в космическом вакууме. Скорее, ученый полагал, что есть некая среда (эфир), через которую передается сила, хотя вопрос, была ли она материальна, оставался нерешенным. Образ ангелов, двигающих планеты, заменили на универсальный дух. Кроме того, если бы тяготение было столь всепроникающим, то все объекты стремились бы притянуться друг к другу и Вселенная погибла бы. Ньютон обратился к Богу, назвав его защитником Вселенной от этой силы Судного дня. Теорию тяготения можно было бы легко отвергнуть, если бы математическая модель тяготения не соответствовала наблюдаемым фактам, но все было как раз наоборот: физическая реальность полностью совпадала с научным анализом этой самой реальности. Вихри Декарта были в конечном счете отвергнуты, потому что тяготение работало лучше. Математика действительно отлично «отражала явление». Новая механика шла в ногу с очередной ветвью математики — дифференциальным и интегральным исчислениями. Сейчас мы узнаем историю их изобретения.
Я, Галилео Галилей, сын покойного Винченцо Галилея из Флоренции, 70 лет, самолично поставленный перед судом, преклонив колена перед их эминенциями, досточтимыми кардиналами генерал-инквизиторами против еретической злобы во всем христианском мире, имея пред глазами Святое Евангелие, коего касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда веровал, ныне верую и с помощью Божьею впредь веровать буду во все, что Святая Католическая и Апостольская Римская церковь за истинное приемлет, что проповедует и чему учит. Но так как я — после того, как мне от сего судилища сообщено было повеление, чтобы совсем оставил ложное мнение, будто Солнце есть центр мира и недвижно, Земля же не центр и движется, и чтобы не смел держаться того ложного мнения, не защищал его, не преподавал каким-либо способом или писанием и после того, как мне указано было, что учение это противно Священному Писанию, — написал и напечатал книгу, в которой излагаю это осужденное уже учение и привожу с настойчивостью аргументы в его пользу, не давая опровержения оных, то посему подвергся суду, как сильно заподозренный в ереси, а именно, что держусь мнения и верю, будто Солнце центр мира и недвижно, Земля же движется. Желая изъять из умов ваших эминенций и всякого христианина католика сие сильное возникшее против меня подозрение, я с чистым сердцем и верою неложною отрекаюсь от упомянутых заблуждений и ересей, проклинаю их и отвращаюсь от них и вообще от всяких заблуждений и сект, противных сказанной Святой Церкви. Клянусь, что в будущем ни устно, ни письменно не выскажу чего-либо, способного возбудить против меня подобное подозрение. И если узнаю какого-либо еретика или внушающего подозрение в ереси, не премину донести о нем сему священному судилищу или инквизитору или ординарию того места, где буду находиться. Клянусь, кроме того, и обещаю все эпитимии, наложенные на меня, или кои будут наложены, с точностью исполнять и соблюдать. А если, сохрани Боже, совершу что-либо противное сим моим обещаниям, протестациям и клятвам, то подлежу всем наказаниям и казням, кои Священными Канонами и другими общими и частными постановлениями установлены и обнародованы против такого, рода нарушителей. Да поможет мне Бог и Святое Его Евангелие, коего касаюсь руками.
В удостоверение того, что я, Галилео Галилей, как выше приведено, отрекся, поклялся, обещал и обязал себя, я собственноручно подписал сей акт и от слова до слова прочел его в Риме в монастыре Минервы сего 22-го июня 1633 года.
13. Математика в движении
Мы уже упоминали, что Ньютон и Кеплер моделировали орбиты планет исключительно геометрически. Однако в космическом пространстве не существует реальных эллипсов, они — лишь невидимые пути, по которым движутся планеты. Поэтому, чтобы больше не строить орбиты геометрически, по точкам, было бы очень полезно найти математический инструмент для описания движения планет. Те, кто пытался перейти от последовательности прямолинейных движений к действительно плавному пути, снова столкнулись с проблемой бесконечности и бесконечно малых величин.
Прежде чем обратиться к изобретению дифференциального и интегрального исчислений, стоит вспомнить более ранние попытки решить общие задачи с площадями и тангенсами. Это «до-дифференциальное и до-интегральное счисление» можно найти уже у Архимеда, разработавшего два метода определения площадей, ограниченных кривыми линиями. Их нередко называли геометрическим и механическим методами. Одна из самых известных задач, доставшихся нам от древних, — вычисление площади круга, так называемой квадратуры круга. В коротком трактате «Об измерении круга» Архимед приводит доказательства двух важных результатов. Во-первых, площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно окружности круга, а высота — радиусу круга, что эквивалентно нашей формуле πr2, но без необходимости вводить собственно число π. Второй важный результат — доказательство, что числовое значение π находится между 3 1/7 и 3 10/71. В обоих случаях использовался геометрический метод: строились описанные и вписанные в круг многоугольники; затем, последовательным удвоением числа сторон каждого многоугольника они постепенно приближались к окружности. Помимо всего прочего, эти два многоугольника постепенно сближаются, в некотором смысле получается бутерброд из многоугольников с окружностью, прослоенной между ними, так что, если процесс продолжить до бесконечности (то, что математики называют «в пределе»), площади многоугольников постепенно сближаются с площадью круга. Чтобы найти значение π, Архимед начал с описанного и вписанного шестиугольников и закончил процесс, когда достиг 96-стороннего многоугольника, хотя мог бы продолжать до тех пор, пока бы не достиг любого задуманного уровня точности. Архимед использовал метод последовательных элиминаций, за который мы должны благодарить Евдокса (см. Главу 4), но старался не заявлять, что многоугольники постепенно становятся кругом, приходя к результату посредством длинной логической аргументации. Это умалчивание понятно, поскольку, с точки зрения греков, многоугольник и круг были совершенно р