Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии.
Математики продолжали изучать пятый постулат. Особенно много сил отдали этому ал-Хорезми и персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Работа последнего, переведенная на латынь, вдохновила иезуита и математика Джироламо Саккери (1667–1733). В последний год своей жизни Саккери издал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен», в котором он попытался доказать постулат о параллельности, опровергая как абсурд все другие постулаты. Он построил то, что теперь известно как «четырехугольник Саккери», с двумя парами «параллельных» сторон. Он выдвинул три различные гипотезы о сумме внутренних углов четырехугольника — что сумма меньше, равна или больше суммы четырех прямых углов или 360°. Если бы он смог показать, что первая и третья гипотезы приводят к логической несогласованности, то доказал бы, что средняя гипотеза, эквивалентная постулату о параллельности прямых, и есть единственно верная.
Я еще не сделал открытие, но путь, которым я иду, почти наверняка приведет меня к цели, поскольку показывает, что она достижима. Я еще не дошел до конца, но то, что мне удалось обнаружить, оказалось настолько великолепным, что я был просто поражен. Было бы невероятно жаль, если бы это оказалось отброшенным как Вы, мой дорогой отец, сочли необходимым допустить, когда увидели это. Все, что я могу сказать сейчас, — то, что я создал из ничего новый и совершенно иной мир. Все, что я отправил Вам к настоящему времени похоже на карточный домик рядом с каменной башней.
Саккери легко отверг третью гипотезу как приводящую к логическим противоречиям. Однако первая гипотеза не создавала никаких логических проблем. Используя этот новый постулат, он мог доказывать теорему за теоремой. Саккери выстроил самую первую неевклидову геометрию, но отказался поверить этому. Как мы помним, его главная цель — опровергнуть истинность этой гипотезы, а не создать новую геометрию. Вновь обратившись к церковному учению, он отверг новую геометрию на ошибочных теологических основаниях. Однако математики, жившие после него, оказались более доверчивыми.
Навязчивая идея о пятом постулате имела более глубокое значение, чем просто чистота логики. Под угрозой оказалась сама природа физического пространства. Евклидова геометрия была не только последовательной и разумной математической системой, но и принципом, по которому структурировалось пространство — самая короткая линия между двумя точками была прямой линией не только в теории, но и на практике. Казалось бы, уже существовала хорошо сформулированная геометрия, в которой даже это не было истинным, — классическая сферическая геометрия. Самая короткая линия между двумя точками на сфере — это дуга, часть большого круга, соединяющая две точки. Кроме того, сумма углов любого треугольника на сфере в целом больше 180°. Так из-за чего вся эта суета? Все сводилось к различию между тем, что называли внутренними и внешними свойствами геометрии. Внешние свойства — те, которые можно вывести вне системы; внутренние — те, которые выводятся из самой системы. Например, правила сферической геометрии могут быть выведены из наблюдения сферы извне, скажем, за шаром в руке, но как мы можем сказать с геометрической точки зрения, живем мы на сфере или нет? Как геометрически определить, живем мы на плоской Земле или на сферической? Или, иначе говоря, есть ли какие-то внутренние свойства, отличающие плоскость от сферы? Эти относительно простые понятия важны для изучения истинной природы трехмерного пространства, в котором мы имеем доступ только ко внутренним свойствам.
Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) изучал лишь небольшой раздел общей неевклидовой геометрии. В своей книге «Теория параллельных» (1786, издана посмертно) он использовал метод, похожий на тот, который применил Саккери. Ламберт взял треугольник и предположил, что сумма его углов меньше, равна или больше 180°. Он также показал, что сферическая геометрия соответствует третьему из этих предположений, и рассуждал, что первый случай мог бы соответствовать геометрии на сфере с мнимым радиусом. Замена реального радиуса на мнимый приводила к теоремам и формулам, объединенным в то, что позднее стало называться гиперболической геометрией. В ней знакомые sin х и cos х были заменены на sinh х и cosh х. Хотя идея кажется физически неправдоподобной, математически это звучит вполне разумно. Впоследствии рассуждения Ламберта показали, чтобы он был недалек от истины.
К началу XIX века, когда все попытки доказать пятый постулат закончились поражением, математики поняли, что возможны другие непротиворечивые геометрии, кроме евклидовой. И вот на сцену выходят два неизвестных математика, совершающих одновременное открытие.
Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) был сыном мелкого российского чиновника, который умер, когда Николаю было всего семь лет, оставив в тяжелом финансовом положении вдову и трех сыновей. Семья переехала в Казань, где все дети отлично учились, но Николай Лобачевский проявил себя ярче других. В четырнадцать лет он поступил в недавно основанный Казанский университет и там познакомился с выдающимися профессорами, многие из них были родом из Германии. В возрасте двадцати одного года Лобачевский начал преподавать, а два года спустя был утвержден экстраординарным профессором. Будучи терпеливым, методичным и трудолюбивым человеком, он заслужил уважение других ученых, которые взвалили на него множество неблагодарных административных задач. Он стал университетским библиотекарем, а также хранителем плохо организованного университетского музея. Он сам, без помощников, выполнил всю работу, внеся в организацию музея и библиотеки некоторый порядок.
В 1825 году правительство наконец назначило в университет профессионального хранителя, который впоследствии использовал свое политическое влияние для того, чтобы утвердить Лобачевского на высокий пост. В 1827 году Лобачевский стал ректором университета. Со свойственной ему энергией он приступил к реорганизации штата, либерализовав обучение и создав новую инфраструктуру. Кроме этого он основал обсерваторию. Университет был его жизнью. В 1830 году, когда в Казань пришла холера, Лобачевский разрешил всем студентам, сотрудникам и их семьям укрыться в стенах университета. Поскольку там действовали строгие санитарные правила, из 660 человек умерло только 16. В 1846 году, несмотря на его неутомимый труд на благо Казанского университета, правительство, не объясняя причин, уволило Лобачевского с поста ректора и профессора. Его коллеги и друзья умоляли власти сменить гнев на милость, но все было напрасно. У Лобачевского сильно упало зрение, но, несмотря на это, ученый продолжал свои математические исследования. Последнюю публикацию Лобачевскому пришлось надиктовывать, поскольку к тому времени он окончательно ослеп.
В 1826 году Лобачевский представил для напечатания в «Записках физико-математического отделения» сочинение под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке), в котором высказал некоторые свои геометрические идеи. Издание не состоялось. Потребовалось три года, чтобы «Казанский вестник» опубликовал работу Лобачевского «О началах геометрии». Но в любом случае 1826 год — официальная дата рождения неевклидовой геометрии в том виде, в каком ее сформулировал Лобачевский. В своей работе он утверждал, что пятый постулат не может быть доказан, и выстроил новую геометрию, заменив этот постулат другим. Он сумел оценить смутные догадки Саккери и Ламберта, выстроив геометрию, которая была в каждой своей части такой же прочной и логичной, как геометрия Евклида. Даже самому Лобачевскому казалось, что некоторые из выведенных им теорем противоречат здравому смыслу. Он назвал свое открытие «воображаемой геометрией». Ученый не тешил себя иллюзиями о важности собственной работы. В 1835–1838 годах его «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» появились на русском языке, а в 1840 году «Геометрические исследования по теории параллельных линий» вышли на немецком. Именно на основании этой книги Гаусс рекомендовал Лобачевского Научному обществу Геттингена, в которое тот был избран в 1842 году. Однако Гаусс отказался похвалить его работу в печати, тем самым замедлив понимание этих революционных идей математическим сообществом. Этот факт больше всего разочаровал Лобачевского, даже больше, чем его изгнание из университета и слепота. В 1855 году вышла последняя книга Лобачевского, «Пангеометрия», она была издана одновременно на французском и русском языках. На следующий год Лобачевский — «Коперник геометрии» — умер. Физическая интерпретация неевклидовой геометрии была выполнена итальянским математиком Эудженио Бельтрами (1835–1900), который показал, что геометрии Лобачевского и более ранней работе Ламберта соответствует поверхность псевдосферы.
Новый постулат Лобачевского можно объяснить следующим образом. Вообразите себе бесконечную прямую и выберите точку, не лежащую на этой линии. Согласно постулату Евклида, через эту точку можно провести одну и только одну линию, параллельную первой. Лобачевский заявил, что через эту точку можно провести больше одной линии и