Поэтому если перемена направления может произойти лишь у одного
тела, то она произойдет у обоих, причем A и В отразятся в
противоположном направлении (по изложенному в «Диоптрике»,
гл. 2), но сохранят все свое движение, что и требовалось доказать.
Теорема 25. Второе правило.
Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А ( см.
фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними,
то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с
равной скоростью.
Доказательство. Поскольку А предполагается меньше В, то оно
имеет также меньшую силу, чем В (по т. 21, ч. II). Но так как при
этом предположении, так же как и в предыдущем, противоположны
лишь направления, и потому, как показано в предыдущей теореме,
изменение может касаться только направления, то оно произойдет
только в А, а не в В (по акс. 20); поэтому только А будет отражено
более сильным В в противоположном направлении, не теряя, однако,
нисколько своей скорости, что итребовалось доказать.
Теорема 26
Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости,
именно В вдвое больше А ( см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В,
а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в
противоположном направлении и каждое удержит прежнюю
скорость.
Доказательство. Так как А и В по предположению движутся друг
против друга, то в одном столько же движения, как и в другом (по
кор. к т. 22, ч. II). Поэтому движение одного не противоречит
движению другого (по кор. к т. 19, ч. II) и силы обоих равны (но кор.
2 к т. 22, ч. II). Таким образом, это предположение совер-
247
шенно подобно предположению т. 24, и потому, согласно
предыдущему доказательству, А и В отразятся в противоположном
направлении, и каждое при этом сохранит всю свою скорость, что и
требовалось доказать.
Королларий. Из трех последних теорем очевидно, что
направление тела требует для своей перемены столько же силы, как
изменение движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более
половины своего определения следовать в данном направлении и
более половины своего движения, испытывает большую перемену,
чем тело, теряющее все свое определение.
Теорема 27. Третье правило.
Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А,
то не только А отразится в противоположном направлении, но и В
перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут
продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
Доказательство. А (по допущению) противоположно В не только
по своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя
причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым отражением
в противоположном направлении изменяется только направление, но
не устраняется вся противоположность обоих тел. Следовательно (по
акс. 19), перемена должна наступить как в направлении, так и в
движении, и так как В по допущению движется скорее А, то В (по
т. 22, ч. II) сильнее А, и потому (по акс. 20) перемена в А произойдет
через В, и А будет посредством В отражено в противоположном
направлении. Это первое. Далее, А, пока оно движется медленнее В,
противоположно последнему (по кор. 1 к т. 22, ч II), следовательно,
должна наступить перемена (по акс. 19), по которой А не будет
двигаться медленнее В. Но А не принуждается при этом допущении
никакой достаточно сильной причиной к тому, чтобы двигаться
скорее В.
Таким образом, если А не может двигаться медленнее В, так как
оно сталкивается с В, ни скорее В, то А должно двигаться с такой же
скоростью, как В. Но, если бы В переносило на А менее половины
своего излишка скорости, то А продолжало бы двигаться медленнее
В; а если бы В переносило более половины своего излишка скорости
на
248
А, то А двигалось бы скорее В. Но, как уже показано, то и другое
нелепо. Поэтому перемена будет происходить лишь, пока В не
перенесет на А половину своей большей скорости, которую В должно
потерять (по т. 20, ч. II), и, следовательно, оба будут продолжать
движение с равной скоростью в том же направлении без всякого
противоречия, что и требовалось доказать.
Королларий. Отсюда следует, что, чем скорее движется тело, тем
более оно определено продолжать движение в направлении линии
своего следования, и наоборот, чем оно медленное движется, тем
менее оно склонно к этому.
Схолия. Для того чтобы читатели не смешали здесь силу
направления с силой движения, кажется, неплохо прибавить
несколько замечаний, отчего станет яснее различие обоих. Итак, если
предположить, что тела А и С равной величины и движутся с равной
скоростью прямо друг против друга, то оба (по т. 24, ч. II) отразятся в
противоположном направлении, удержав все свое движение. Если же
тело С находится в B и движется косвенно к А, то, очевидно, оно ужо
менее склонно двигаться в направлении BD или С А (см. фиг. 13).
Поэтому оно, правда, имеет одинаковое движение с А, но сила
направления тела С, если оно движется прямо по направлению к В,
которая тогда одинакова с силой направления А, больше силы
направления С, если оно движется от В к А, а именно настолько
больше, насколько линия В А больше С А. Ибо, чем больше линия С
А, тем более времени (именно, если В и А движутся, как здесь
допущено, с одинаковой скоростью) требует В, чтобы двигаться в
направлении BD или С А, по которому оно движется прямо
противоположно направлению тела А. Итак, если С идет из В
навстречу А косвенно, то оно направляется так, как будто оно
продолжало двигаться в направлении АВ’ к В’ (я предполагаю, что,
когда С находится в точке, где линия АВ’ пересекает продолженную
линию ВС, то эта точка отстоит от С так же далеко, как С от В).
Напротив, А удерживает все свое движение и направление и
продолжает свое движение к С и захватит тело В с собой, так как В,
имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует
больше времени, чем А, для прохождения части линии АС и лишь
постольку противоположно направлению более сильного тела А. Но
сила направления С, движущегося из В к А, поскольку оно совпадает
с линией
249
С А, равна силе направления С, когда оно движется прямо к А (пли,
по допущению, силе самого А). Поэтому В должно иметь настолько
степеней движения больше А,
насколько линия В А больше
линии С А, так что, если С
направляется к А косвенно, А
отразится в противоположном
направлении к А’, а В к В’,
причем каждое тело удержит все
свое движение. Если же излишек
движения В над А больше
излишка линии В А над С А, то В
оттолкнет тело А к А’ и сообщит
ему столько своего движения,
сколько нужно, чтобы движение
В относилось к движению А, как
линия В А к линии С А, а В
потеряет столько движения,
сколько перенесет на А, и будет с остатком его продолжать свое
движение в прежнем направлении. Если, например, линия АС
относится к АВ, как 1 к 2, а движение тела А к движению тола В, как
1 к 5, то В сообщит одну степень своего движения А и оттолкнет его в
противоположном направлении, а В с остальными четырьмя
степенями будет продолжать свое движение в том же направлении,
как прежде.
Теорема 28. Четвертое правило.
Если тело А ( см. фиг. 1) находится в совершенном покое и
немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость,
никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в
противоположном направлении и удержит при этом свое движение
неизменным.
Надо заметить, что противоположность между этими телами
может быть устранена тремя способами: или так, что одно тело
увлечет другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному
направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном
направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно
оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть
своего движения на другой. Четвертого случая
250
не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II)
доказать, что эти тела при нашем предположении испытают
наименьшую перемену.
Доказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали
бы двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20,
ч. II) перенести на