А столько своего движения, сколько А
приобретает, и (по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять
больше половины своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II)
потерять больше половины своего направления. Таким образом, оно
(по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы
оно потеряло только свое направление. А если бы А потеряло часть
своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со
скоростью, равной В, то противоположность между обоими телами
не была бы устранена. В самом деле, А своей медленностью,
поскольку оно причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II),
противостояло бы скорости В, следовательно, В также должно бы
отразиться в противоположном направлении, причем В потеряло бы
все свое направление и часть своего движения, перенесенную на А;
эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое
направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем
предположении и касающаяся только направления, будет наименее
возможной для этого тела, так что (по т. 23, ч. II) никакой другой не
может произойти, что и требовалось доказать.
Надо заметить при доказательстве этой теоремы, что то же
самое имеет место и в других случаях, именно мы не привели т. 19,
ч. II, в которой доказывается, что направление может полностью
измениться, причем само движение ничего не теряет. Однако на это
надо обратить внимание, чтобы правильно понять силу
доказательства. Ибо в т. 23, ч. II мы не сказали, что перемена
безусловно всегда будет наименьшей, но лишь возможно
наименьшей. Но то, что возможна перемена только в одном
направлении, как предполагается в этом доказательстве, очевидно
из т. 18 и 19, ч. II с кор.
Теорема 29. Пятое правило.
Если покоящееся тело А ( см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы
медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет
часть своего движения на А, а именно столько,
251
что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью ( см. § 50,
ч. II « Начал»).
Для этого правила, как и в предыдущем случае, также можно
представить лишь три случая, в которых устраняется настоящая
противоположность. Но мы докажем, что при моем предположении
происходит наименьшая перемена в телах, и потому (по т. 23, ч. II) они
должны измениться таким образом.
Доказательство. По нашему предположению, В переносит на А
(по т. 21, ч. II) менее половины своего движения и (но кор. к т. 17,
ч. II) менее половины своего направления. Но если бы В но
захватывало за собой А, но отталкивало его в противоположном
направлении, то оно потеряло бы все свое направление и перемена
была бы больше (по кор. к т. 26, ч. II); она была бы гораздо больше,
если бы В потеряло все свое направление и, кроме того, еще часть
своего движения, как предполагается в третьем случае. Поэтому
предположенная мною перемена будет наименьшая, что и
требовалось доказать.
Теорема 30. Шестое правило.
Если покоящееся тело А совершенно равно движущемуся к нему
телу В, то оно частью будет увлекаться им, частью тело В будет
отталкиваться телом А в противоположном направлении.
И здесь, как в предыдущем случае, можно представить себе лишь
три возможности, и потому я должен доказать, что при нашем
предположении имеет место возможно меньшая перемена.
Доказательство. Если тело В увлекает за собою тело А так, что
оба начинают двигаться с равной скоростью, то в одном будет
столько же движения, сколько в другом (по т. 22, ч. II и по кор. к т. 27,
ч. II). Тело В в этом случае должно потерять половину своего
направления, а также (по т. 20, ч. II) половину своего движения. Если
же В отталкивается телом А в противоположную сторону, то оно
потеряет все свое направление, но удержит все свое движение (по
т. 18, ч. II): но эта перемена равна предыдущей (но кор. к т. 26, ч. II).
Но ни то, ни другое не может произойти, ибо если бы А удерживало
свое состояние и могло изменить направление В, то А должно быть
(по акс. 20) сильнее В, что было бы противно пред-
252
положению. Если же В увлекло бы с собой А, пока оба нестали бы
двигаться с равной скоростью, то В было бы сильнее А, что также
противоречит допущению. Но так как ни одно из двух не может
иметь места, то остается лишь третье, именно, что В подвигает тело
А немного далее и само немного отталкивается им, что и требовалось
доказать (см. § 51, ч. II «Начал»).
Теорема 31. Седьмое правило.
Если В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В,
следуя за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если
при этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка
величины А, то В перенесет на А столько своего движения, что
после этого оба тела будут двигаться с равной скоростью и в том
же направлении. Ио если бы излишек величины А был больше
излишка скорости В, то В было бы отражено телом А в
противоположном направлении, но удержало бы при этом все свое
движение.
Прочти § 52, ч. II «Начал». Здесь, как и раньше, можно себе
представить лишь три случая.
Доказательство первой части. Тело В не может отталкиваться
телом А в противоположном направлении, так как В предполагается
сильнее А (по т. 21 и 22, ч. II и акс. 20), следовательно В, будучи
сильнее, увлечет с собой А, притом так, что оба тела будут двигаться
с равной скоростью. Ибо тогда наступит возможно меньшая
перемена, как это очевидно из вышесказанного.
Доказательство второй части. Тело В в этом случае не может
увлечь А, так как оно (по т. 21 и 22, ч. II) предполагается слабое (по
акс. 20); оно не может также сообщить ему части своего движения.
Поэтому В (по кор. к т. 14, ч. II) сохранит все свое движение, но не в
том же направлении, так как предполагается, что оно в этом
встречает препятствие со стороны А. Таким образом, В отразится (по
сказанному в гл. 2 «Диоптрики») в противоположном направлении,
но удержит при этом все свое движение (по т. 18, ч. II), что и
требовалось доказать.
Надо заметить, что и здесь, и в предыдущих теоремах мы
считали доказанным, что всякое тело, встречающее по прямой
линии другое, которое безусловно препятствует
253
ему продолжать движение в том же направлении, должно
двигаться в противоположном и ни в каком ином направлении.
Чтобы убедиться в этом, прочти гл. 2 « Диоптрики».
Схолия. До сих пор для объяснения перемен, испытываемых
телами при столкновении, я рассматривал лишь два тела, как будто
они полностью отделены от всех других тел, и я не обращал
внимания на окружающие их тела. Теперь я намерен исследовать их
состояние и их перемены, принимая в расчет окружающие их тела.
Теорема 32
Если тело В окружено малыми движущимися телами,
толкающими его по всем направлениям с равной силой, то оно будет
оставаться неподвижно на одном и том же месте, пока не
присоединится еще другая причина.
Доказательство. Эта теорема очевидна само собой, ибо если бы
тело от толчка телец, движущихся с одной стороны, двигалось в
одном направлении, то движущие его тельца должны бы были
толкать его с большей силой, чем толкающие его одновременно
тельца с другой стороны, которые не могут устранить своего
действия (по акс. 20), что шло бы против допущения.
Теорема 33
При вышеизложенных условиях от приложения малейшей силы
тело В может двигаться по всякому направлению.
Доказательство. Все тела, непосредственно прилегающие к В,
будучи подвижны (по допущению), а В неподвижно (по т. 32), тотчас
при соприкосновении с В отразятся в другую сторону, не теряя своего
движения (по т. 28, ч. II). Поэтому В будет постоянно само
оставляемо непосредственно прикасающимися телами, и, как бы
велико ни было В, не нужно никакой силы для отделения его от
непосредственно соприкасающихся тел (согласно четвертому из
наших замечаний к опр. 8). Поэтому даже малейшая внешняя сила,
могущая сообщиться телу В, всегда больше той, которая стремится
удержать его на своем месте (ибо мы уже доказали, что ему не при-
254
суща никакая сила, которая могла бы удержать его у непосредственно
касающихся тел). Вместе с тем сила телец, толкающих В в том же
направлении, больше силы других телец, толкающих В в
противоположном направлении (так как сила и тех и этих
предполагается одинаковой, если не прилагается никакая внешняя
сила). Таким образом, тело В (по акс. 20) будет приводиться в
движение этой внешней силой, как бы она ни была мала, притом в