Королларий. Из трех последних теорем очевидно, что направление тела требует для своей перемены столько же силы, как изменение движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более половины своего определения следовать в данном направлении и более половины своего движения, испытывает большую перемену, чем тело, теряющее все свое определение.
Теорема 27. Третье правило.
Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А, то не только А отразится в противоположном направлении, но и В перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
Доказательство.А (по допущению) противоположно В не только по своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым отражением в противоположном направлении изменяется только направление, но не устраняется вся противоположность обоих тел. Следовательно (по акс. 19), перемена должна наступить как в направлении, так и в движении, и так как В по допущению движется скорее А, то В (по т. 22, ч. II) сильнее А, и потому (по акс. 20) перемена в А произойдет через В, и А будет посредством В отражено в противоположном направлении. Это первое. Далее, А, пока оно движется медленнее В, противоположно последнему (по кор. 1 к т. 22, ч II), следовательно, должна наступить перемена (по акс. 19), по которой А не будет двигаться медленнее В.Но А не принуждается при этом допущении никакой достаточно сильной причиной к тому, чтобы двигаться скорее В.
Таким образом, если А не может двигаться медленнее В, так как оно сталкивается с В, ни скорее В, то А должно двигаться с такой же скоростью, как В.Но, если бы В переносило на А менее половины своего излишка скорости, то А продолжало бы двигаться медленнее В; а если бы В переносило более половины своего излишка скорости наА, то А двигалось бы скорее В.Но, как уже показано, то и другое нелепо. Поэтому перемена будет происходить лишь, пока В не перенесет на А половину своей большей скорости, которую В должно потерять (по т. 20, ч. II), и, следовательно, оба будут продолжать движение с равной скоростью в том же направлении без всякого противоречия, что и требовалось доказать.
Королларий. Отсюда следует, что, чем скорее движется тело, тем более оно определено продолжать движение в направлении линии своего следования, и наоборот, чем оно медленное движется, тем менее оно склонно к этому.
Схолия. Для того чтобы читатели не смешали здесь силу направления с силой движения, кажется, неплохо прибавить несколько замечаний, отчего станет яснее различие обоих. Итак, если предположить, что тела А и С равной величины и движутся с равной скоростью прямо друг против друга, то оба (по т. 24, ч. II) отразятся в противоположном направлении, удержав все свое движение. Если же тело С находится в B и движется косвенно к А, то, очевидно, оно ужо менее склонно двигаться в направлении BD или С А (см. фиг. 13). Поэтому оно, правда, имеет одинаковое движение с А, но сила направления тела С, если оно движется прямо по направлению к В, которая тогда одинакова с силой направления А, больше силы направления С, если оно движется от В к А, а именно настолько больше, насколько линия В А больше С А.Ибо, чем больше линия С А, тем более времени (именно, если В и А движутся, как здесь допущено, с одинаковой скоростью) требует В, чтобы двигаться в направлении BD или С А, по которому оно движется прямо противоположно направлению тела А.Итак, если С идет из В навстречу А косвенно, то оно направляется так, как будто оно продолжало двигаться в направлении АВ’ к В’ (я предполагаю, что, когда С находится в точке, где линия АВ’ пересекает продолженную линию ВС, то эта точка отстоит от С так же далеко, как С от В). Напротив, А удерживает все свое движение и направление и продолжает свое движение к С и захватит тело В с собой, так как В, имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует больше времени, чем А, для прохождения части линии АС и лишь постольку противоположно направлению более сильного тела А.Но сила направления С, движущегося из В к А, поскольку оно совпадает с линией
С А, равна силе направления С, когда оно движется прямо к А (пли, по допущению, силе самого А). Поэтому В должно иметь настолько степеней движения больше А, насколько линия В А больше линии С А, так что, если С направляется к А косвенно, А отразится в противоположном направлении к А’, а В к В’, причем каждое тело удержит все свое движение. Если же излишек движения В над А больше излишка линии В А над С А, то В оттолкнет тело А к А’ и сообщит ему столько своего движения, сколько нужно, чтобы движение В относилось к движению А, как линия В А к линии С А, а В потеряет столько движения, сколько перенесет на А, и будет с остатком его продолжать свое движение в прежнем направлении. Если, например, линия АС относится к АВ, как 1 к 2, а движение тела А к движению тола В, как 1 к 5, то В сообщит одну степень своего движения А и оттолкнет его в противоположном направлении, а В с остальными четырьмя степенями будет продолжать свое движение в том же направлении, как прежде.
Теорема 28. Четвертое правило.
Если тело А (см. фиг. 1) находится в совершенном покое и немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость, никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в противоположном направлении и удержит при этом свое движение неизменным.
Надо заметить, что противоположность между этими телами может быть устранена тремя способами: или так, что одно тело увлечет другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть своего движения на другой. Четвертого случая не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II) доказать, что эти тела при нашем предположении испытают наименьшую перемену.
Доказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали бы двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20, ч. II) перенести на А столько своего движения, сколько А приобретает, и (по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять больше половины своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II) потерять больше половины своего направления. Таким образом, оно (по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы оно потеряло только свое направление. А если бы А потеряло часть своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со скоростью, равной В, то противоположность между обоими телами не была бы устранена. В самом деле, А своей медленностью, поскольку оно причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II), противостояло бы скорости В, следовательно, В также должно бы отразиться в противоположном направлении, причем В потеряло бы все свое направление и часть своего движения, перенесенную на А; эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем предположении и касающаяся только направления, будет наименее возможной для этого тела, так что (по т. 23, ч. II) никакой другой не может произойти, что и требовалось доказать.
Надо заметить при доказательстве этой теоремы, что то же самое имеет место и в других случаях, именно мы не привели т. 19, ч. II, в которой доказывается, что направление может полностью измениться, причем само движение ничего не теряет. Однако на это надо обратить внимание, чтобы правильно понять силу доказательства. Ибо в т. 23, ч. II мы не сказали, что перемена безусловно всегда будет наименьшей, но лишь возможно наименьшей. Но то, что возможна перемена только в одном направлении, как предполагается в этом доказательстве, очевидно из т. 18 и 19, ч. II с кор.
Теорема 29. Пятое правило.
Если покоящееся тело А (см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет часть своего движения на А, а именно столько, что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью (см. § 50, ч. II «Начал»).
Для этого правила, как и в предыдущем случае, также можно представить лишь три случая, в которых устраняется настоящая противоположность. Но мы докажем, что при моем предположении происходит наименьшая перемена в телах, и потому (по т. 23, ч. II) они должны измениться таким образом.
Доказательство. По нашему предположению, В переносит на А (по т. 21, ч. II) менее половины своего движения и (но кор. к т. 17, ч. II) менее половины своего направления. Но если бы В но захватывало за собой А, но отталкивало его в противоположном направлении, то оно потеряло бы все свое направление и перемена была бы больше (по кор. к т. 26, ч. II); она была бы гораздо больше, если бы В потеряло все свое направление и, кроме того, еще часть своего движения, как предполагается в третьем случае. Поэтому предположенная мною перемена будет наименьшая, что и требовалось доказать.