движении ничего, кроме того, что оно есть перенесение части
материи из соседства одних в соседство других и пр. Если мы не
представим этого перенесения простейшим, т.е. по прямой линии, то
мы должны присоединить к движению нечто, не содержащееся в его
определении или сущности и потому не принадлежащее к его
природе.
К
оролларий. Из этой теоремы следует, что всякое тело, движущееся
по кривой, постоянно отклоняется от линии, по которой оно
двигалось бы само по себе, а именно в силу какой-либо внешней
причины (по т. 14, ч. II).
Теорема 16
В
сякое тело, движущееся по кругу, как, например, камень в праще, постоянно определяется к движению в направлении касательной.
Д
оказательство. Тело, движущееся по кругу, постоянно удерживается
внешней силой от дальнейшего движения по прямой линии (по
предыдущему королларию), а если эта сила прекращается, то тело
само по себе начинает двигаться по прямой (по т. 15). Я говорю
далее, что тело, движущееся по кругу, определяется внешней
причиной к дальнейшему движению в направлении касательной.
Оспаривая это, надо предположить, что, например, камень пращи в B
определяется не в направлении касательной BD, но в другом
направлении, которое представляется от этой точки внутри или вне
круга, например по BF, когда праща представляется идущей из части
L к В, или по ВС (о которой я предполагаю, что она образует с
диаметром ВН угол, равный FBH), когда предполагается обратное
движение пращи от С к В. Если же предположить, что в точке В
камень пращи, движущейся по кругу от L к В, определяется к
дальнейшему движению к F, то при дви-
2
40
женил пращи в обратном направлении от С к В камень необходимо
должен (по акс. 18) продолжать движение в направлении, противоположном линии BF, и потому будет
стремиться к K, а не к С, что противно
допущению. Но так как * кроме касательной
через точку В нельзя провести линии,
образующей с линией Н с обеих сторон
равные углы, подобно DBH и АВH, то лишь
одна касательная в состоянии не
противоречить одному и тому же
допущению, как бы ни двигалась праща, от
L к В или от С к В, и, следовательно, можно
принять лишь касательную как линию, по
которой камень стремится двигаться, что и
требовалось доказать.
Д
ругое доказательство. Возьмем вместо круга шестиугольник, вписанный в круг АВН, и пусть тело С на одной стороне АВ
находится в покое, затем представим себе
линейку DBE (один конец которой укреплен в
центре D, а другой подвижен), которая
движется вокруг центра и притом постоянно
пересекает линию АВ. Очевидно, что при
таком движении линейки DBE она встретит
тело С в то мгновение, когда она пересечет
линию АВ под прямым углом, и что своим
толчком она заставит тело С двигаться по
прямой линии FBAC по направлению к С, т.е.
по стороне
АВ,
продолженной в
бесконечность. Но мы взяли здесь
шестиугольник совершенно произвольно, то
же верно и для всякой иной фигуры, которую можно себе
представить вписанной в круг. Именно, если тело С, находящееся в
покое на одной стороне фигуры, получит толчок от линейки DBE в
то мгновение, когда она пересекает эту сторону под прямым углом, то тело будет приведено
__________________
*
Это очевидно из т. 18 и 19, кн. III «Элементов» Эвклида, 2
41
линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной
в бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим
себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т.е.
круг, по определению Архимеда), то очевидно, что линейка DBE, где
бы она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она
пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому
она никогда не встретит тела С, не приведя его одновременно в
движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но
так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям, всегда должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно
продолженная сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т.е.
круга, будет всегда касательной. Если же представить себе вместо
линейки пращу, движущуюся в круге, то она постоянно будет
приводить камень в движение в направлении касательной, что и
требовалось доказать.
С
ледует заметить, что оба доказательства можно отнести к
любой криволинейной фигуре.
Теорема 17
В
сякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от центра
круга, который оно описывает.
Д
оказательство. Пока тело движется по кругу, оно приводится в
движение внешней причиной, с
прекращением которой оно продолжает
двигаться в направлении касательной (по
предыдущей теореме), все точки
которой, кроме той, где она касается
круга, лежат вне круга (по т. 16, кн. II
«Элементов» Эвклида) и потому дальше
отстоят от него. Поэтому камень,
находящийся в праще ЕА и движущийся
по кругу, когда он находится в точке А,
стремится двигаться по прямой, все
точки которой отстоят от центра Е
дальше, чем все точки окружности LAB,
т.е. он стремится удалиться от центра описываемого им круга, что и
требовалось доказать.
2
42
Теорема 18
Е
сли тело, например А, движется к покоящемуся телу В, а В, несмотря на толчок А, не теряет своего покоя, то и В не потеряет
ничего из своего движения, но удержит вполне то же количество
движения, какое оно имело раньше.
Д
оказательство. Если кто оспаривает это, то допустим, что тело А
теряет нечто из своего движения, не перенося потерянного движения
на другое тело, например В. Тогда в природе окажется меньшее
количество движения, чем прежде, что нелепо (по т. 13, ч. II). Таково
же доказательство в отношении к покою тела В. Поэтому если ни
одно из обоих тел ничего не переносит на другое, то В сохранит весь
свой покой, а A все свое движение, что и требовалось доказать.
Теорема 19
Д
вижение, рассматриваемое само по себе, отлично от своего
определения следовать в том или другом направлении к
определенному месту, и вовсе не необходимо, чтобы тело, движущееся или отталкиваемое в противоположную сторону, некоторое время покоилось.
Д
оказательство. Предположим, как в предыдущей теореме, что тело
А движется по прямой линии к телу В и удерживается от
дальнейшего движения телом В. При этом оно (по предыдущему) сохранит все свое движение и ни минуты не будет в покое. Но при
продолжении своего движения оно не может удержать прежнего
направления, так как, по допущению, оно задержано телом
В. Поэтому оно, не уменьшая своего движения, но лишь изменяя
свое направление, будет двигаться в противоположном направлении
(согласно сказанному в гл. 2 «Диоптрики») 12. Поэтому (по акс. 2) направление не принадлежит сущности движения, но отлично от нее, и движущееся тело, отталкиваясь таким образом, ни минуты не
остается в покое, что и требовалось доказать.
К
оролларий. Отсюда следует, что ни одно движение не противоречит
другому.
2
43
Теорема 20
Е
сли тело А встречает тело В и увлекает его за собой, то А
потеряет столько движения, сколько В при этой встрече получит
от А.
Д
оказательство (см. фиг. 1). Если кто-нибудь оспаривает это, то он
тем самым допускает, что В получает больше или меньше движения, чем А теряет, тогда вся эта разница должна увеличить или
уменьшить количество движения всей природы, что (по т. 13, ч. II) нелепо. Таким образом, если тело В не может получить ни меньше, ни больше, то оно может получить лишь столько, сколько А теряет, что и требовалось доказать.
Теорема 21
Е
сли тело А вдвое больше тела В и движется с такой же скоростью