требовалось доказать.
К
оролларий. Из трех последних теорем очевидно, что направление
тела требует для своей перемены столько же силы, как изменение
движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более половины
своего определения следовать в данном направлении и более
половины своего движения, испытывает большую перемену, чем
тело, теряющее все свое определение.
Теорема 27. Третье правило.
Е
сли два тела равны по массе, но В движется немного скорее А, то
не только А отразится в противоположном направлении, но и В
перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут
продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
Д
оказательство. А (по допущению) противоположно В не только по
своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя
причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым
отражением в противоположном направлении изменяется только
направление, но не устраняется вся противоположность обоих тел.
Следовательно (по акс. 19), перемена должна наступить как в
направлении, так и в движении, и так как В по допущению движется
скорее А, то В (по т. 22, ч. II) сильнее А, и потому (по
акс. 20) перемена в А произойдет через В, и А будет посредством В
отражено в противоположном направлении. Это первое. Далее, А, пока оно движется медленнее В, противоположно последнему (по
кор. 1 к т. 22, ч. II), следовательно, должна наступить перемена (по
акс. 19), по которой А не будет двигаться медленнее В. Но А не
принуждается при этом допущении никакой достаточно сильной
причиной к тому, чтобы двигаться скорее В.
Т
аким образом, если А не может двигаться медленнее В, так как оно
сталкивается с В, ни скорее В, то А должно двигаться с такой же
скоростью, как В. Но, если бы В переносило на А менее половины
своего излишка скорости, то А продолжало бы двигаться медленнее
В; а если бы В переносило более половины своего излишка скорости
на
2
48
А, то А двигалось бы скорее В. Но, как уже показано, то и другое
нелепо. Поэтому перемена будет происходить лишь, пока В не
перенесет на А половину своей большей скорости, которую В должно
потерять (по т. 20, ч. II), и, следовательно, оба будут продолжать
движение с равной скоростью в том же направлении без всякого
противоречия, что и требовалось доказать.
К
оролларий. Отсюда следует, что, чем скорее движется тело, тем
более оно определено продолжать движение в направлении линии
своего следования, и наоборот, чем оно медленное движется, тем
менее оно склонно к этому.
С
холия. Для того чтобы читатели не смешали здесь силу направления
с силой движения, кажется, неплохо прибавить несколько замечаний, отчего станет яснее различие обоих. Итак, если предположить, что
тела А и С равной величины и движутся с равной скоростью прямо
друг против друга, то оба (по т. 24, ч. II) отразятся в
противоположном направлении, удержав все свое движение. Если же
тело С находится в B и движется косвенно к А, то, очевидно, оно уже
менее склонно двигаться в направлении BD или С А (см. фиг. 13).
Поэтому оно, правда, имеет одинаковое движение с А, но сила
направления тела С, если оно движется прямо по направлению к В, которая тогда одинакова с силой направления А, больше силы
направления С, если оно движется от В к А, а именно настолько
больше, насколько линия В А больше С А. Ибо, чем больше линия С
А, тем более времени (именно, если В и А движутся, как здесь
допущено, с одинаковой скоростью) требует В, чтобы двигаться в
направлении BD или С А, по которому оно движется прямо
противоположно направлению тела А. Итак, если С идет из В
навстречу А косвенно, то оно направляется так, как будто оно
продолжало двигаться в направлении АВ’ к В’ (я предполагаю, что, когда С находится в точке, где линия АВ’ пересекает продолженную
линию ВС, то эта точка отстоит от С так же далеко, как С от В).
Напротив, А удерживает все свое движение и направление и
продолжает свое движение к С и захватит тело В с собой, так как В, имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует
больше времени, чем А, для прохождения части линии АС и лишь
постольку противоположно направлению более сильного тела А. Но
сила направления С, движущегося из В к А, поскольку оно совпадает
с линией
2
49
С А, равна силе направления С, когда оно движется прямо к А (пли, по допущению, силе самого А). Поэтому В должно иметь настолько
степеней движения больше А,
насколько линия В А больше
линии С А, так что, если С
направляется к А косвенно, А
отразится в противоположном
направлении к А’, а В к В’, причем каждое тело удержит все
свое движение. Если же излишек
движения В над А больше
излишка линии В А над С А, то В
оттолкнет тело А к А’ и сообщит
ему столько своего движения,
сколько нужно, чтобы движение
В относилось к движению А, как
линия В А к линии С А, а В
потеряет столько движения,
сколько перенесет на А, и будет
с остатком его продолжать свое движение в прежнем направлении.
Если, например, линия АС относится к АВ, как 1 к 2, а движение тела
А к движению тела В, как 1 к 5, то В сообщит одну степень своего
движения А и оттолкнет его в противоположном направлении, а В с
остальными четырьмя степенями будет продолжать свое движение в
том же направлении, как прежде.
Теорема 28. Четвертое правило.
Е
сли тело А ( см. фиг. 1) находится в совершенном покое и немного
больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость, никогда
не приведет тела А в движение, но будет им отражено в
противоположном направлении и удержит при этом свое движение
неизменным.
Н
адо заметить, что противоположность между этими телами может
быть устранена тремя способами: или так, что одно тело увлечет
другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному
направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном
направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно
оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть
своего движения на другой. Четвертого случая
2
50
не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II) доказать, что эти тела при нашем предположении испытают
наименьшую перемену.
Д
оказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали бы
двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20, ч. II) перенести на А столько своего движения, сколько А приобретает, и
(по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять больше половины
своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II) потерять больше
половины своего направления. Таким образом, оно (по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы оно потеряло
только свое направление. А если бы А потеряло часть своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со скоростью, равной В, то противоположность между обоими телами не была бы
устранена. В самом деле, А своей медленностью, поскольку оно
причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II), противостояло бы скорости
В, следовательно, В также должно бы отразиться в противоположном
направлении, причем В потеряло бы все свое направление и часть
своего движения, перенесенную на А; эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем предположении и касающаяся только
направления, будет наименее возможной для этого тела, так что (по
т. 23, ч. II) никакой другой не может произойти, что и требовалось