Пусть задана система переменных r1, r2, …, rn, где ri – доходность по i-ой ценной бумаге в определенный момент времени. Представим исходную информацию в виде столбца R = (rit) размерности n. Предположим, что каждый элемент столбца R является результатом воздействия некоторого числа t гипотетических общих факторов и одного специфического (характерного) фактора. Тогда (rit) можно представить в виде следующего выражения:
tit = bi1 * f1t + bi1 * f2t + ... + bim * fmt + di * vit + εit
, где
tit – доходность ценной бумаги за период t;
f1t – j-ый фактор, оказывающий влияние на доход по всем ценным бумагам за период t;
bij – чувствительность i-ой ценной бумаги к изменению j-ого фактора;
di – весовой коэффициент i-ой ценной бумаги к изменению специфического (характерного) фактора;
vit – значение специфического (характерного фактора) для i-ой бумаги за период t;
εit – случайная ошибка.
Для оценок факторных моделей используется много различных методов, в общем случае их можно классифицировать по трем основным группам моделей:
• Методы временных рядов;
• Методы пространственной выборки;
• Методы факторного анализа.
Рассмотрим общие положения каждого из этих методов.
• Методы временных рядов
Предположим, что инвестор заранее знает, какие факторы влияют на доходность ценных бумаг. Идентификация соответствующих факторов обычно происходит на основе экономического анализа фирм, включаемых в модель, при этом главную роль играют аспекты макроэкономики, макроэкономики, организации промышленности и фундаментальный анализ ценных бумаг. Например, можно ожидать, что некоторые макроэкономические переменные значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в частности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки, цены на нефть. После выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации об их значениях и доходности ценных бумаг от периода к периоду. Затем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам, специфических факторов (собственной доходности ценных бумаг), а также стандартных отклонений факторов и их корреляций. В этом подходе решающим моментом является точное измерение значений факторов, что на практике может составить нетривиальную задачу.
• Методы пространственной выборки
Метод пространственной выборки (gross-sectional approaches) менее распространен, чем метод временных рядов, но часто оказывается не менее мощным средством. Построение модели начинается с оценки чувствительности ценных бумаг к определенным факторам. Затем для некоторого периода времени оцениваются значения этих факторов на основе анализа доходностей ценных бумаг и их чувствительности к факторам. Этот процесс повторяется для большого числа временных интервалов, что позволяет дать оценки для стандартных отклонений факторов и их корреляций. Таким образом, из известных чувствительностей оцениваются значения факторов. В этом методе чувствительности ценных бумаг к факторам иногда называют атрибутивными (attribиte). Анализ в этом методе проводится для одного временного интервала и группы ценных бумаг, затем для другого временного интервала и той же группы бумаг и т.д.
• Факторный анализ
В рамках факторно-аналитического метода построения факторной модели неизвестны ни значения факторов, ни чувствительности ценных бумаг к этим факторам. Для определения числа факторов и чувствительнотсей к данным о доходностях ценных бумаг в прошлом применяется статистический метод, называемый факторным анализом (factor analysis). При использовании этого метода доходности некоторой выборки ценных бумаг рассматриваются за большое число временных периодов в целях установления одного или нескольких статистически значимых факторов, которые могли бы привести к ковариации доходностей, наблюдаемых в этой выборке. По сути дела, в этом подходе данные по доходности сами указывают на структуру факторной модели. К сожалению, факторный анализ не конкретизирует, какие экономические переменные представлены полученными факторами.
Одной из главных причин новых исследований и разработок в финансовом анализе стала прокатившаяся в различных странах за последние 30 лет серия финансовых катастроф. Она разорила множество банков и инвестиционных фондов, в том числе и знаменитый LTCТ, активно использующий идеи количественного анализа. В результате новейших исследований оказалось, что те очень редкие и очень сильные колебания, которые ранее считались несущественными и отбрасывались при проверке распределений на нормальность, на самом деле являются очень важными. Отсюда следовало, что те положения, на которых базируется количественная теория финансов, являются неверными. Возможно, именно с кризисом классической теории связано возрождение в последние десятилетия интереса к техническому анализу (анализу графиков поведения цен). В бестселлере Петерса «Хаос и порядок на рынках капитала» приведено множество примеров, на которых ясно показаны отклонения реального поведения цен от логнормального распределения, принятого классической теорией. Этот факт связан с тем, что на цены оказывает влияние множество дополнительных факторов (в т. ч. связанных с психологией инвесторов), которые весьма сложно отделить друг от друга. Их совместное влияние и определяет отклонения распределения реальных цен от логнормального распределения. Пионерами в исследованиях динамических систем «третьего рода» были американский метеоролог Эдвард Лоренц и франко-американский математик Бенуа Мандельброт. В середине 60-х Лоренц задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию достоверных среднесрочных прогнозов погоды? Лоренц предложил упрощенную модель процессов, происходящих в атмосфере. Компьютерный анализ модели Лоренца привел к принципиальному результату: для «динамического хаоса» возможен весьма ограниченный горизонт прогноза. С точки зрения математики любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывается движением точек в фазовом пространстве (координатами такого пространства служат степени свободы системы), вернее их траекториями, которые в классической динамике однозначно определены для сколь угодно большого промежутка времени. Но динамическому хаосу соответствует «клубок» расходящихся траекторий, причем от скорости их расходимости зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз (более подробно «кубок» траекторий мы рассмотрим в разделе Статьи). Благодаря анализу модели Лоренца метеорологи были вынуждены признать, что их «пророческие способности» ограничены максимум тремя неделями и даже новейшие компьютерные погодные модели пока не в состоянии преодолеть этот барьер. Бурно развивающаяся с середины прошлого века нелинейная динамика окончательно развеяла иллюзию «глобальной предсказуемости»: выяснилось, что начиная с какого-то горизонта прогноза мы в принципе не можем предсказать поведение многих даже достаточно простых систем. Однако нелинейная динамика дала исследователям помимо очередной демонстрации принципиальной ограниченности человеческого знания будущего достаточно мощный инструментарий для анализа разнообразных процессов с ограниченным горизонтом прогноза. Нелинейная динамика позволяет устанавливать, сколько переменных необходимо для их описания, сколько переменных нужно для прогнозирования, каким должен быть их мониторинг, т.е. пытается вычленить те элементы, которые оказывают определяющее воздействие на динамические процессы в подобных системах. Ученые принялись за разработку новых поколений моделей и алгоритмов, оперирующих массивами этих переменных, и прогностическая деятельность постепенно стала переходить из разряда любительской в профессиональную: быстрыми темпами пошло развитие «индустрии прогноза». В центре внимания прогнозистов сейчас прежде всего находятся описание и предсказание редких катастрофических событий не только в природе, но и в обществе. Философы и социологи часто называют современную цивилизацию «обществом риска». А в дальнейшем, с развитием научно-технического прогресса, повсеместным внедрением био-, инфо– и прочих неотехнологий, спектр рисков и возможные масштабы катастроф будут только увеличиваться. В этой связи все более актуальной становится задача управления рисками – прогнозирования и предупреждения всякого рода катаклизмов. Связь между идеями нелинейной динамики и управлением рисками стала ясна недавно. Осознать ее помогла парадоксальная статистика техногенных катастроф. С помощью математического аппарата нелинейной динамики было показано, что все образчики «чудовищного невезения», сопутствующего прогрессирующему человечеству, вроде аварии на комбинате «Маяк», чернобыльского взрыва или гибели «Конкорда» зачастую подчиняются неким универсальным сценариям возникновения хаоса из упорядоченного состояния, т.е. представляют из себя вариации на тему вышеописанного третьего класса процессов с ограниченной предсказуемостью. Еще в начале XIX века Карл Гаусс установил, что вероятность распределения случайных величин достаточно часто описывается одним и тем же математическим выражением, получившим позже его имя. Соответствующая распределению Гаусса кривая показывает, что большие отклонения от средних величин редки, ими можно пренебречь. Однако существует и множество других вероятностных распределений, в том числе степенные. «Хвосты» этих распределений убывают гораздо медленнее, за что они получили название «распределений с тяжелыми хвостами». В этом случае вероятности отклонений от средних величин уже существенно больше по сравнению с распределением Гаусса. Если бы человеческий рост был распределен по такому закону, мы бы жили в мире сказок братьев Гримм, регулярно сталкиваясь на улицах с великанами и карликами. Еще в середине 30-х