Таблица 4. Бинарные числа. У вас есть 1011 хороших причин изучить таблицу
Да, мы осознаем тот факт, что это заметно меньше, чем в случае с предыдущей таблицей. Ведь 1011 при базе 2 равняется 8 + 2 + 1, или 11.
Как вы уже наверняка догадались, та же самая последовательность разрядов может представлять различные числа при использовании различных баз. Если бы мы не сказали, что 1011 считается по базе 2, вы бы наверняка прочли его по базе 10, где оно представляет «тысячу одиннадцать». При базе в 5 это будет 131, при базе 7 – 351, при базе в 31 вы смотрите на число, представляющее 29 823.
Эксперименты в других временных линиях показали, что построение системы цифр вокруг странного числа вроде 31 – не очень хорошая идея, но знаете что: вы заперты в прошлом, и никто из нас не сможет остановить вас.
Ну а теперь, когда мы установили основания написания чисел, можно привести грустный факт: изобретение всего остального, со всеми элементами, которые мы принимаем как должное, потребовало у человечества примерно 40 тысячелетий. Бо́льшая часть этого времени ушла на то, чтобы придумать дроби, вещь настолько фундаментальную, что в школе ее довольно рано проходят дети.
Поэтому следующая таблица (табл. 5), в которой изложены элементы вашей численной системы, на самом деле является наиболее времясберегающей таблицей в истории.
Таблица 5. Homo sapiens sapiens, виду, который считает себя таким умным, что поместил слово «разумный» в собственное название дважды, да еще и на латыни, понадобилось 40 тысяч лет, чтобы заполнить эту таблицу
Видите все эти идеи?
Мы свели их в одну таблицу, на которую вы потратили несколько минут, и это максимум. Вы можете представить их другим за один вечер, сэкономив тысячи и тысячи лет, которые человечество растратило, даже не зная, что такое «ноль». И не благодарите. Всегда пожалуйста.
Что до других вещей, которые вы можете проделать с системой чисел, все это на ваше усмотрение. Существует большое количество полезных математических формул, для их разработки человечеству потребовалось много времени, и некоторые из них разбросаны по нашему руководству, но вот вам самый глубокий и темный секрет математики: вы можете построить основания математики так, как вам будет угодно.
Это может прозвучать для вас удивительным образом, но математика на самом деле базируется на положениях, которые мы не можем доказать, а лишь принимаем как истинные. Мы называем их аксиомами и рассматриваем как надежные предположения, но в конечном счете они опираются только на веру, а не на рациональные доказательства.
Среди аксиом есть идеи вроде того, что 2 + 1 дает тот же результат, что 1 + 2, и если a равно b, а b равно с, то а равно с.
Эти предположения полезны, поскольку они соответствуют реальности – а конструирование математики, основываясь на положениях, которые соответствуют реальности, выглядит достаточно практичным – и ничто не может остановить вас от выдумывания различных математических систем. И пусть мы настойчиво рекомендуем формировать систему вычислений, исходя в первую очередь из практики, может быть достаточно занятным разобраться, как будет работать умножение во вселенной, где a + b не будет являться эквивалентом b + a[7].
Всем известно[8], что на ноль делить нельзя.
Причина не в том, что при попытке осуществления такой операции возникает черная дыра, а в том, это обнажает противоречие, лежащее в центре нашей математической системы.
Возьмем число (для простоты 1) и будем делить его на все более и более малые числа, которые будут приближаться к нулю, но никогда не достигнут его. Ноль отмечает то место, где заканчиваются отрицательные числа и начинаются положительные. Если мы пытаемся добраться до него с положительной стороны, то увидим, что 1 разделить на 1 будет 1, 1 разделить на 0,1 будет 10, а 1 разделить на 0,001 будет 1000.
Чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получаем в результате.
Следовательно, 1 разделить на 0 будет равняться бесконечности.
Но существует проблема, если мы пытаемся добраться до нуля с противоположной стороны, точно так же деля число (ту же единицу) на все более и более маленькие отрицательные числа, подходя все ближе и ближе к цели. Тут мы видим, что 1 делить на –1 даст –1, 1 на –0,1 даст –10 и 1, разделенное на –0,001, даст –1000.
То есть чем меньше число, на которое мы делим, тем ближе мы к отрицательной бесконечности, и по этой логике 1/0 должно равняться отрицательной бесконечности. Только одно число не может одновременно равняться и бесконечности и отрицательной бесконечности. Это фактически две максимально неравные величины, которые могут существовать.
Таким образом, мы приходим к противоречию.
И именно это противоречие заставляет нас сказать: «Вы не можете делить на ноль, поскольку ответ не имеет смысла и никто не знает пока, как с этим справиться».
Теперь, когда вы придума ли клевые цифры и основания математики, чтобы с этими цифрами управляться, вы получили доступ к немалому количеству возможностей. Числа позволяют вам описывать мир вокруг, используя количественные характеристики, а это служит основанием для много чего, от книг рецептов и бухгалтерского учета до науки.
Материальные ресурсы, такие как овцы и деревья, и абстрактные ресурсы вроде денег, популярности или даже самого времени управляются, понимаются и соотносятся друг с другом именно с помощью чисел. Еще более универсально они работают как облегчающий сортировку набор ярлыков: страница 123 в книге почти наверняка будет между страницами 122 и 124, и если вы в целом представляете, сколько всего в книге страниц, то можете уверенно прикинуть, где именно находится данная страница. Контекст, создаваемый упорядоченными наборами чисел, окажется очень полезным для людей из вашей цивилизации, когда однажды в будущем они решат пронумеровать часы в сутках, дни в неделе, дома вдоль улицы или этажи в одном из них. Числа можно использовать, чтобы отмечать температуру, частоту радиоволн, витамины и, может быть, если ваша цивилизация окажется крайне везучей, силу нестабильных мостов Эйнштейна – Розена, соединяющих далеко отстоящие друг от друга участки пространства-времени.
3.4Научный метод
Даже примитивный научный подход является колоссальным шагом вперед.
B Люди, создающие машины времени, обычно относятся к науке с любовью, поскольку большей частью они ученые-профессионалы или по меньшей мере любители с хорошими намерениями, у которых нет представления о том, какие именно силы они собираются спустить с цепи, вплоть до того момента, когда куча их двойников из будущего является к ним с предупреждениями.
Но важно помнить, что даже наука имеет свои ограничения, она не оракул и не обладатель абсолютной истины.
Фактически наука всего лишь:
1) дает временные знания;
2) условна;
3) и все, что у нас есть на данный момент.
Сначала плохие новости: даже научный метод может выдавать ошибочные знания. А теперь хорошие новости: научный метод все еще является нашей лучшей технологией для того, чтобы получать, проверять и уточнять корректные знания, поскольку он позволяет нам постепенно делать ошибочные знания все более и более корректными.
Обычно уточнение проявляется в создании все более и более аккуратных теорий: классическая физика приходит к теории относительности, затем к квантовой физике, за той следует метаквантовая ультрафизика. Но иногда хороший результат появляется, если отбросить в сторону целую могучую теорию.
Например, в 1700-х н. э. мы думали, что вещи горят, поскольку в них содержится флогистон, невидимая и неощутимая субстанция, которую, само собой, нельзя увидеть, пощупать или дистиллировать, но которая требуется для процесса горения. Объекты, где флогистона много – подобно дереву, – горели быстро, ну а те, где флогистона содержалось меньше, горели похуже, ну а пепел – уже почти полностью дефлогистоненный – вообще не горел.
Эта теория даже объясняла, почему вещи становятся легче в процессе горения: флогистон испарялся в атмосферу. Также теория предсказывала, что спичка, помещенная в запечатанный стеклянный сосуд, в конечном счете прекратит гореть: воздух в сосуде абсорбирует весь флогистон, какой только возможно, и на этом процесс завершится. Действительно, спички в запечатанном сосуде гасли, так что все выглядело замечательно.
Сделано! Спасибо, наука! Теперь мы знаем, что такое огонь на самом деле!
Флогистонная теория начала разваливаться после новых экспериментов, когда появились результаты, не имеющие с ее точки зрения смысла. Да, само собой, дерево становится легче, если его сжечь (остающийся пепел очевидно весит меньше, чем дрова), но некоторые металлы (вроде магния) на самом деле становятся тяжелее в процессе горения. И вот мы столкнулись с проблемой: результаты не соответствуют теории.
Срочно требуется больше науки!
Некоторые ученые попытались пересмотреть теорию флогистона, чтобы она соответствовала результатам: может быть, флогистон иногда обладает негативной массой, так что чем меньше его находится в каком-нибудь объекте, тем больше тот должен весить? Но это оказалось слишком большой натяжкой, особенно с учетом того, что материя с негативной массой выглядела чем-то совершенно новым, изобретенным специально для того, чтобы устранить проблему.
Другие ученые попытались разобраться во всем более консервативными методами, и кислородная теория окисления стала результатом именно этого подхода: идея того, что огонь – вовсе не флогистон, покидающий материю, а скорее химическая реакция между материей и кислородом, такая, что производит одновременно и тепло, и свет. Эта теория также предсказала, что спичка в запечатанном стеклянном сосуде постепенно затухнет, но по иной причине: кислород внутри сосуда закончится, и горение, нуждающееся в кислороде, прекратится.