{300}. Сильвер предложил общественности неопределенный результат, но эта неопределенность носила строго научный характер – и общественность приняла это к сведению. Я даже не думал, что это возможно.
Это и есть действие – такая неуверенность!
Проблема избыточной точности
Единственное критическое замечание в адрес Сильвера, которое я в какой-то мере поддерживаю, состоит в том, что утверждения типа «На данный момент шансы Обамы на победу составляют 73,1 %» вводят людей в заблуждение. Десятичное число предполагает такой уровень точности оценок, которого на самом деле нет: вряд ли стоит говорить о том, что произойдет нечто значительное, если модель Сильвера даст значение 73,1 % в один день и 73,0 % на следующий день. Эта критика направлена в адрес подачи информации Сильвером, а не его реальной программы, но она имела большой вес у политических обозревателей, которые считали, что читателям навязывают одобрение того или иного кандидата посредством впечатляюще точных прогнозов.
Существует такая вещь, как избыточная точность. Модели, которые используются для подсчета результатов SAT, позволяют рассчитать средний балл SAT с точностью до нескольких десятичных знаков – если мы решили бы это сделать. Но мы не станем так поступать: ученики и без того волнуются, поэтому не нужно умножать их беспокойство по поводу того, что кто-то из одноклассников опережает их на сотую долю процента.
Преклонение перед абсолютной точностью сказывается и на выборах, причем не только в период лихорадочного отслеживания результатов опросов, но и после их проведения. Если вы помните, в 2000 году выборы в штате Флорида завершились с разницей в несколько сотен голосов между Джорджем Бушем-младшим и Альбертом Гором, что составляло сотую долю процента от общего количества голосов. Согласно нашему законодательству и обычаю было крайне важно определить, кто из кандидатов может претендовать на превосходство в несколько сотен голосов. Однако если нам нужно обсудить тему: кого жители Флориды хотели бы видеть своим президентом, – эти подсчеты не имеют никакого смысла. Возникающая из-за испорченных, потерянных и неправильно подсчитанных избирательных бюллетеней неточность гораздо больше той микроскопической разницы между окончательными результатами голосования. Мы не знаем, кто получит больше голосов во Флориде. Разница между судьями и математиками состоит в том, что судьям приходится постоянно корчить из себя людей знающих, тогда как математики могут говорить правду.
Журналист Чарльз Сейфе включил в свою книгу Proofiness («Доказательность») очень забавный и немного удручающий рассказ об аналогичном случае упорной борьбы между демократом Элом Франкеном и республиканцем Нормом Коулманом за право представлять штат Миннесота в сенате США. Было бы замечательно заявить о том, что Франкен занял пост сенатора благодаря тому, что беспристрастная методика анализа показала, что на 312 больше избирателей Миннесоты хотят видеть его в верхней палате. Однако на самом деле это число представляет собой результат длительной юридической тяжбы по поводу того, можно ли считать поданным бюллетень с отметкой возле фамилии Франкена и надписью «Люди-ящеры». Когда дело доходит до такого, вопрос, кто «на самом деле» получил больше голосов, не имеет смысла. Сигнал потерялся в шуме. Я склонен стать на сторону Сейфе, который утверждает, что выборы с настолько близкими шансами кандидатов на победу можно проводить посредством подбрасывания монеты[333]. Кто-то не примет идею о случайном выборе наших лидеров. Однако в этом и есть самое важное преимущество подбрасывания монеты! Выборы с почти равными шансами на победу и без того зависят от воли случая. Плохая погода в большом городе, взломанная машина для голосования в далеком городке, некорректное оформление избирательного бюллетеня, из-за которого пожилые евреи голосуют за Пэта Бьюкенена, – любое из этих случайных событий может иметь значение, если голоса избирателей разделены примерно 50 на 50. Выбор посредством подбрасывания монеты позволяет не делать вид, будто люди высказались в поддержку кандидата, победившего в упорной борьбе при почти равных шансах. Иногда все, что говорят люди, – это «Я не знаю»{301}.
Вы можете подумать, что я действительно испытываю пристрастие к десятичным знакам. У стереотипа, будто математики всегда во всем уверены, есть неразрывно связанный с ним брат-близнец – это стереотип, будто мы всегда стремимся к максимальной точности, упорно пытаясь вычислять все до как можно большего количества десятичных знаков. Но это не так. Мы стремимся вычислять все до необходимого количества десятичных знаков. В Китае есть молодой человек по имени Лу Чао, который выучил и воспроизвел 67 890 цифр числа π. Это впечатляющее достижение в области запоминания. Но любопытно ли это? Нет, потому что сами по себе цифры числа π не представляют никакого интереса. Насколько нам известно, они ничем не лучше случайных цифр. А вот само число π, вне всякого сомнения, представляет большой интерес. Однако число π – это не его цифры; оно просто определяется цифрами, точно так же как Эйфелеву башню определяют координаты 48,8586 градуса северной широты и 2,2942 градуса восточной долготы. Можете прибавить сколько угодно десятичных знаков к этим числам – они все равно не скажут вам, что делает Эйфелеву башню Эйфелевой башней.
Проблема избыточной точности касается не только цифр. Бенджамин Франклин весьма язвительно писал о члене своей филадельфийской группы Томасе Годфри:
За пределами своей специальности он мало что знал; он не был приятным собеседником в обществе, так как, подобно большинству великих математиков, с которыми я встречался в своей жизни, он требовал во всех случаях чрезвычайной точности выражений и всегда цеплялся к пустякам, что расстраивало всякую беседу[334]{302}.
Это немного задевает за живое, потому что отчасти это несправедливо. Математики могут быть весьма щепетильными в отношении логических деталей. Мы относимся к числу людей, которые считают забавным на вопрос «Что вы хотите, суп или салат?» ответить «Да».
Это нелогично
Тем не менее даже математики, за исключением тех случаев, когда они острят, не пытаются быть исключительно логическими существами. Это было бы просто опасно! Рассмотрим пример. Стоит вам начать рассматривать два противоречащих друг другу факта, то с точки зрения логики – если вы мыслите сугубо дедуктивно – вы обязаны считать, что каждое утверждение является ложным. Вот как это выглядит. Допустим, я считаю, что Париж – столица Франции и что Париж – не столица Франции. На первый взгляд это не имеет никакого отношения к тому, что команда «Портленд Трэйл Блэйзерс»[335] была чемпионом НБА в 1982 году. Но теперь посмотрите на такой фокус. Верно ли, что Париж – столица Франции и что «Портленд» выиграла чемпионат НБА? Нет, потому что я знаю, что Париж не является столицей Франции.
Если не соответствует истине то, что Париж – столица Франции и что «Портленд» стала чемпионом, тогда либо Париж не является столицей Франции, либо «Портленд» не стала чемпионом НБА. Однако я знаю, что Париж – столица Франции, что исключает первую возможность. Следовательно, «Портленд» не выиграла чемпионат НБА 1982 года.
Нетрудно убедиться, что аналогичная аргументация, только поставленная с ног на голову, доказывает истинность каждого утверждения.
Может показаться странным, но с точки зрения логической дедукции это неопровержимо; прибавьте крошечное противоречие в любой фрагмент формальной системы – и вся система рухнет. Философы, связанные с математикой, называют такую уязвимость формальной логики ex falso quodlibet[336], или, исключительно в своем кругу, принципом взрыва. (Помните, как я вам рассказывал, что многие математики любят использовать агрессивную терминологию?)
Принцип ex falso quodlibet – это именно то, что использовал капитан Джеймс Т. Кирк[337], чтобы вывести из строя андроидов-диктаторов. «Поставьте их в парадоксальную ситуацию – и их модули построения логического вывода дают сбой и выходят из строя», – говорит Кирк. «Но это нелогично», – печально отвечают андроиды, прежде чем отключаются их сигнальные лампочки{303}.
Однако хитрость Кирка не работает с людьми. Мы рассуждаем иначе, даже те из нас, кто зарабатывает математикой на жизнь. Мы терпимы к противоречиям – до определенной степени. Фрэнсис Скотт Фицджеральд сказал: «…Подлинная культура духа проверяется способностью одновременно удерживать в сознании две прямо противоположные идеи и при этом не терять другой способности – действовать»[338]{304}.
Математики используют эту способность как основной инструмент мышления. Это важно в случае доказательства от противного, когда необходимо удерживать в уме предположение, которое вы считаете ложным, и рассуждать так, будто оно истинное: допустим, квадратный корень из 2 есть рациональное число, хотя я пытаюсь доказать, что это не так… Всего лишь своего рода систематические осознанные сновидения. И мы можем так делать, не устраивая себе короткого замыкания.
На самом деле существует весьма распространенный совет (я знаю, что слышал его от своего руководителя докторской диссертации, а он от своего и так далее): когда вы упорно пытаетесь доказать теорему, вам следует доказывать ее днем и опровергать ночью. (Периодичность такого переключения не играет роли; говорят, что тополог Руперт Генри Бинг делил каждый месяц на две части: две недели он пытался доказать гипотезу Пуанкаре, а следующие две недели пытался найти контрпример