В этом разделе мы выводим закон Хаббла, предположив изотропию и однородность Вселенной.
Рассмотрим точки 1, 2 и 3 где-то во Вселенной, образующие треугольник, как показано на рис. 2.1. Длины сторон треугольника являются r21, r31 и r32. Длина r31 зависит не только от длины двух других сторон, но и от угла между ними. Изменяя угол, мы можем получить любое значение r31 в диапазоне от |r21 – r32 | до r21 + r32.
Из-за космологического расширения точки удаляются друг от друга. Рассмотрим движение частиц в двух других точках, наблюдаемых из определенной точки: скажем, из точки 1. Каждая из точек 2 и 3 может смещаться только в радиальном направлении от точки 1, в противном случае Вселенная была бы анизотропной. В изотропной Вселенной попросту нет никаких выделенных направлений, за исключением радиального. Скорости удаления всех частиц на расстоянии r от наблюдателя должны быть одинаковыми независимо от их направления, в противном случае Вселенная тоже была бы анизотропной. Таким образом, условие изотропии фиксирует скорость расширения в видегде f (r) – некоторая пока неизвестная функция.
Скорость точки 2 по отношению к наблюдателю в точке 1 равнаТочка 3 движется со скоростьюотносительно точки 2. Сложив эти скорости, мы получаем, что точка 3 движется со скоростьюотносительно точки 1. Это дает нам условие:
Так как векторымогут иметь разные направления, это возможно, только если
f (r21) = f (r31) = f (r32) = const. (2.3)
Таким образом, функция f (r) сводится к постоянной, которую мы называем постоянной Хаббла H. Следовательно, в однородной и изотропной Вселенной в любой момент времени единственно возможным законом расширения является закон Хаббла (2.1).
Обратите внимание, что при выводе закона Хаббла мы игнорировали релятивистские эффекты, связанные с конечностью скорости света. В релятивистском случае мы больше не можем просто складывать скорости, формулы становятся более сложными.
Выведем их. Согласно СТО, если тело движется со скоростью v относительно неподвижного наблюдателя, а второе тело движется в том же направлении со скоростью w относительно первого, то скорость второго тела относительно неподвижного наблюдателя равна:
Используя обратные гиперболические функции, это уравнение можно переписать в виде:
Гиперболический арктангенс может быть сведен к натуральным логарифмам как
Если бы постоянная Хаббла H была действительно постоянной, то мы должны были бы использовать функцию c×arth (v/c) вместо v в законе Хаббла (2.1) и получить (здесь буквы th обозначают гиперболический тангенс):
Тем не менее для скоростей намного меньше скорости света закон Хаббла в виде (2.1) хорошо работает.
Обратите внимание, что скорость v разбегания галактик и других космических объектов не может достичь скорости света с, и это никак не противоречит СТО. Расстояние r = c/H, таким образом, не является границей наблюдаемой части Вселенной, как многие ошибочно полагают. В разделе 3.4 мы обсудим космологический горизонт, который является настоящей границей видимой части Вселенной, но существование этой границы вызвано совершенно другой причиной.
Как бы то ни было, зависимость постоянной Хаббла от времени приводит к тому, что ученые используют закон Хаббла в простой форме (2.1) только для объектов, расположенных не слишком далеко, т. е. при v << c. Более отдаленные объекты характеризуются их красными смещениями z. Их свет был излучен давно, когда значение постоянной Хаббла отличалось от нынешнего параметра. Еще одна причина связана с неоднозначностью определения расстояния до удаленных объектов.
Вопрос: Почему галактики удаляются именно от нас? Неужели мы находимся в центре Вселенной?
Ответ: Любая точка во Вселенной ничуть не хуже и не лучше других. Пусть наблюдатель в точке 1 видит, что галактика 3, имеющая относительно него радиус-векторудаляется от него со скоростьюНаблюдатель в точке 2 сдвинут от точки 1 на вектори удаляется от наблюдателя 1 со скоростьюОтносительно него радиус-вектор галактики 3 равена скорость движения галактики 3 равнаТаким образом, закон Хаббла выполняется независимо от расположения точки, в которую помещено начало координат.
Вопрос: Как с помощью закона Хаббла можно оценить возраст Вселенной?
Ответ: Две галактики, находящиеся на расстоянии r друг от друга, разбегаются со скоростью v = Hr. Оценим время, прошедшее с того момента, когда расстояние между ними было равно нулю. Разделив расстояние на скорость, получим T = r/v = H–1. Обратите внимание, что это время не зависит от того, какую пару галактик мы выберем. Результат получается не точный, а оценочный, потому что величина H меняется со временем, а скорость v меняется с расстоянием.
Вопрос: Почему меняющуюся со временем величину H продолжают называть постоянной?
Ответ: Обратим полученное соотношение для возраста Вселенной T: H = T–1. Оценим относительное изменение постоянной Хаббла за 1 год как: 1 год / 13,8×109 лет = 7,25×10–11. Таким образом, за 72 года, прошедших с открытия закона Хаббла, эта величина изменилась примерно на 5 миллиардных долей. На самом деле эта оценка верна лишь по порядку величины, поскольку, как будет показано дальше, постоянная Хаббла сейчас изменяется с другой скоростью из-за действия космологической постоянной или темной энергии.
2.4. Модели Фридмана
Закон Хаббла имел столь важное значение для космологии, поскольку эта зависимость следовала из теоретических предсказаний, сделанных незадолго до его открытия.
В 1922 г. в Петрограде (ныне Санкт-Петербург) русский физик Александр Фридман получил решение уравнения Эйнштейна, описывающее всю Вселенную, но не содержащее космологической постоянной. Особенность этого решения состояла в том, что Вселенная была динамической, т. е. вначале расширялась, а затем в зависимости от своей первоначальной плотности либо продолжала вечно расширяться, либо расширение сменялось сжатием. В 1927 г. это же решение было получено бельгийцем Жоржем Леметром, а в 1935 г. – американцем Говардом Робертсоном и британцем Артуром Уокером. В англоязычной литературе это решение часто называют решение FLRW по их инициалам (в старых книгах иногда встречается аббревиатура FRW, из которой несправедливо исключен Леметр). Мы в этой книге называем его решением Фридмана, признавая приоритет ученого.
Это решение является чрезвычайно важным, поскольку лежит в основе всех современных космологических теорий, которые комбинируют его идею с идеей космологической постоянной. Хотя сегодня известно, что исходное решение Фридмана не описывает реальную Вселенную, оно очень важно для понимания современных космологических моделей. Поэтому стоит знать его основные свойства. По этой причине мы даем его подробное описание в разделах повышенной сложности.
Фридман и его последователи применили уравнения ОТО Эйнштейна для описания однородной и изотропной Вселенной. Напомним, что в таком мире нет избранного места или предпочтительного направления, каждая точка не лучше и не хуже любой другой, как и каждое направление. Этих требований достаточно для того, чтобы получить, например, закон Хаббла как наиболее общее решение для скорости разбегания галактик, что мы и сделали в разделе 2.3.
Решение Фридмана описывает три физически различные ситуации, отличающиеся величиной отношения плотности материи Вселенной к так называемой критической плотности, зависящей от постоянной Хаббла. Точная формула для критической плотности (2.11) будет дана чуть позже в «продвинутом» разделе. Это отношение называется параметром плотности вещества и обозначается Ωm. Если этот параметр меньше единицы, Вселенная имеет бесконечный объем и расширяется вечно, причем скорость разбегания любой галактики стремится к положительному значению. Такая ситуация называется открытой моделью, или открытой Вселенной Фридмана.
Когда параметр плотности равен единице, Вселенная так же бесконечна и вечно расширяется, но скорость разбегания любой галактики стремится к нулю. Такая ситуация называется плоской моделью, или плоской Вселенной Фридмана, и отличается от открытой модели ее асимптотическим поведением в будущем. Открытая Вселенная расширяется быстрее, чем плоская Вселенная.
Совершенно иная ситуация возникает тогда, когда параметр плотности больше единицы. В этом случае, который называется закрытой, или замкнутой моделью Фридмана, Вселенная имеет конечный объем, но не имеет границ или краев. Чтобы понять, как такое возможно, представьте себе земной шар или любую другую сферу. Площадь земной поверхности конечна, но нигде нет «края света». Закрытая Вселенная выглядит точно так же, но в трех измерениях[30]. В какой-то момент она перестает расширяться и начинает сжиматься, что сопровождается изменением знака постоянной Хаббла, а через некоторое время снова сжимается в точку, точнее в сингулярность, называемую Большой хрусть[31].
Все три модели начинаются с начальной сингулярности, называемой Большим взрывом, которую можно рассматривать как возникновение Вселенной.
Следует отметить, что, хотя и плотность вещества и критическая плотность изменятся с течением времени, отношение Ωm не может пересечь граничное значение, равное единице. Другими словами, тип модели – открытая, плоская или закрытая – фиксирован и не может измениться.
Проиллюстрируем свойства этих моделей рис. 2.2, на котором показано, как их основные параметры (масштабный фактор и постоянная Хаббла) изменяются со временем. Сразу после Большого взрыва постоянная Хаббла была бесконечно большой, а масштабный фактор бесконечно малым. В закрытой модели непосредственно перед Большим хрустом постоянная Хаббла стремится к значению, равному минус бесконечности, а масштабный фактор вновь становится бесконечно малым. Естественно, постоянная Хаббла обращается в ноль, когда замкнутая Вселенная достигает своего максимального размера.
Из того факта, что Вселенная сейчас расширяется, мы приходим к выводу, что она описывается либо открытой, либо плоской моделями, либо закрытой моделью в фазе расширения. В любом случае ее масштабный фактор до сих пор рос монотонно. График его изменения от Большого взрыва до текущей эпохи показан на рис. 2.2. Длина волны фотона, излученного давно, когда Вселенная была меньше, увеличилась с тех пор в 1/u раз, где u – относительный масштабный фактор в ту эпоху, когда был излучен свет. Поэтому красное смещение фотона, т. е. его z-фактор, равно z = 1/u – 1. Чем старше свет, излученный объектом, тем дальше объект и тем больше его красное смещение. Именно поэтому красное смещение является хорошим индикатором расстояния.
Вопрос: Как смещался бы спектр, если бы мы жили в сжимающейся замкнутой Вселенной?
Ответ: Начнем с построения графика зависимости относительного масштабного фактора от времени для этого случая, охватив период от Большого взрыва до современной эпохи. Это, естественно, часть графика, приведенного на рис. 2.3. Мы видим, что масштабный фактор сначала растет от нуля в момент Большого взрыва до некоторого значения amax, большего единицы, а затем уменьшается до единицы в современную эпоху. Естественно, что в некоторой точке B во время фазы расширения масштабный коэффициент тоже равен единице. Длина волны света, испускаемого в точке В, вначале увеличивается в amax раз, а затем уменьшается в amax раз, и свет приходит к нам сейчас с точно такой же длиной волны, с какой он был испущен. Таким образом, любой свет, испущенный до момента времени B, наблюдался бы нами с точно такой же длиной волны, какую он имел в точке В. Это означает, что спектр любого объекта, излучившего свет между Большим взрывом и точкой В, будет иметь красное смещение. Таким образом, для любого света, испущенного до момента B, мы можем использовать те же формулы, что и в случае расширяющейся Вселенной.
Длина волны любого света, излучаемого после точки B, будет увеличиваться меньше, чем она станет уменьшаться впоследствии на этапе сжатия. Это означает, что его наблюдаемая длина волны будет короче, чем излучаемая, т. е. его спектр будет смещен в фиолетовую область. Достаточно очевидно, что максимальное синее смещение будет наблюдаться для света, излучаемого в тот момент времени, когда Вселенная имела максимальный масштабный фактор. Если формально применять формулу для красного смещения в расширяющейся Вселенной, мы получим отрицательную величину z. Более того, любое такое значение z будет соответствовать двум различным моментам времени и, следовательно, двум различным расстояниям. Это вызвано тем фактом, что Вселенная обретает соответствующий масштабный фактор дважды: во время расширения от точки В до максимального размера и при сжатии от максимального размера до современной эпохи.
Астрономы, живущие в этом мире, наблюдали бы объекты, у которых синее смещение увеличивается с расстоянием, затем при дальнейшем увеличении расстояния до объектов синее смещение уменьшается до нуля и сменяется красным смещением. Эти астрономы, несомненно, имели бы массу проблем при определении расстояний до удаленных объектов. К счастью, в соответствии с современными ограничениями на значения космологических параметров наша Вселенная никогда не будет сжиматься.
2.4.1. Стрела времени
Одна из философских проблем, связанных с моделями Фридмана, – это так называемая «стрела времени» – термин, введенный Артуром Эддингтоном. Время отличается от пространственных координат тем, что любой объект, в том числе и мы сами, должен двигаться по оси времени в определенном направлении независимо от его воли. Стрела времени направлена из прошлого в будущее. Отличить прошлое от будущего мы можем исходя из принципа причинности. Принцип причинности, вообще говоря, – философский принцип, но он очень важен для физики. Он заключается в том, что причина всегда должна предшествовать следствию.
Направление стрелы времени, связанной с принципом причинности, иногда называют психологической стрелой времени. Различие прошлого и будущего для человека ясно видно из того, что он помнит прошлое, но не знает будущего. Естественно, это является следствием принципа причинности. Поэтому, на наш взгляд, предпочтительнее говорить о стреле времени, связанной с принципом причинности, не привлекая явно вторичные понятия из психологии.
Всегда ли существует стрела времени? В ОТО существуют решения, допускающие замкнутые времениподобные линии. Путешествуя вдоль такой линии, можно вернуться в исходную точку пространства и времени, по пути побывав в своем прошлом. Исходя из принципа причинности, физики отбрасывают такие решения, считая их нефизическими. Таким образом, в реальном физическом мире стрела времени всегда существует.
Как проявляет себя стрела времени в различных разделах физики? В механике законы движения тел симметричны относительно смены знака времени до тех пор, пока не появляется трение или другие диссипативные силы. В термодинамике все процессы делятся на обратимые, для которых не важен знак времени, и необратимые, для которых направление стрелы времени определяется возрастанием энтропии. Интересно проявляет себя стрела времени в электродинамике. Уравнения Максвелла полностью симметричны относительно изменения знака времени. Асимметрия заключена не в уравнениях, а в выделенных начальных условиях.
Покажем это на примере. Мы выстрелили заряженным шариком из рогатки, в результате чего он улетел с постоянной скоростью. В течение времени, когда он двигался ускоренно под действием сил натяжения резинки, он испускал электромагнитные волны, уходящие в бесконечность. Теперь посмотрим на этот процесс с другой стороны. Заряженный шарик двигается с постоянной скоростью, после чего на него сходятся из бесконечности электромагнитные волны с тщательно подобранными фазой, амплитудой и частотой, которые его замедляют, а импульс шарика передается резинке. Не очень правдоподобная картина. Разница состоит в том, что в первом случае у нас имеются вполне естественные начальные условия, а во втором они должны быть специально подобраны с ювелирной точностью. Естественно, что эта временна́я асимметрия связана исключительно с причинностью. Мы рассматриваем именно начальные, а не конечные условия для того, чтобы обеспечить возможность корректно сформулировать задачу[32]. Поэтому электродинамика не вводит свою дополнительную стрелу времени, а использует стрелу времени, связанную с принципом причинности.
Перейдем в микромир. Достаточно убедительные теоретические соображения демонстрируют, что мир должен быть инвариантным относительно CPT-преобразования[33], когда одновременно меняют знак времени, всех пространственных координат (при этом происходит зеркальное отражение) и электрических зарядов. Поскольку экспериментально доказано, что CP-инвариантность нарушается, это должно обозначать нарушение T-инвариантности.
В космологии некоторые вводят свою стрелу времени – такое направление времени, при котором Вселенная расширяется. Пока было неизвестно, какой моделью описывается наша Вселенная и будет ли она расширяться вечно или начнет сжиматься, была выдвинута гипотеза, что с началом сжатия поменяется направление не только космологической стрелы времени, но и всех остальных. Другими словами, время пойдет вспять.
Одним из сторонников этой гипотезы одно время был выдающийся физик Стивен Хокинг (Хокинг, 1990), но впоследствии он отказался от идеи о том, что энтропия начнет уменьшаться при сжатии Вселенной. Тем не менее он взялся доказать, исходя из слабого антропного принципа[34], что все три стрелы времени (термодинамическая, психологическая и космологическая) направлены одинаково. Однако мы не можем признать это убедительным доказательством, ведь ничто не мешает представить себе Вселенную с немного другими космологическими параметрами, допускающими существование разумной жизни на стадии ее сжатия. Эти разумные существа вполне могут наблюдать смену знака постоянной Хаббла. Почему для них должно поменяться направление термодинамической и психологической стрелы времени – совершенно непонятно.
Абсолютно по-другому описан этот вопрос в известной книге Якова Зельдовича и Игоря Новикова «Строение и эволюция Вселенной» (Зельдович, 1975). Без излишних философских изысков расширение Вселенной сравнивается с движением камня, подброшенного вверх. Вначале он удаляется от земли, потом приближается. В момент его остановки нет никаких оснований считать, что стрела времени изменит свое направление. Так же следует трактовать и смену знака постоянной Хаббла. Автор разделяет эту точку зрения. Впрочем, в последнее время этот вопрос стал чисто умозрительным, так как существующие ограничения на космологические параметры исключают возможность коллапса Вселенной.