Что происходит в спальне американцев? Исследования говорят о том, что сексом они занимаются не так и часто. Для долгосрочных отношений типично ухудшение сексуальной жизни. Хотя причина этого неизвестна, эксперты нередко возлагают вину за отсутствие страсти на женщину, обвиняя ее в истощении либидо либо в том, что она сосредоточивается на детях, а не на отношениях с партнером. Фармацевтические компании взяли на заметку этот спад и уже готовы выбросить на рынок женские аналоги «Виагры». Но нужны ли лучшей половине человечества медицинские препараты, чтобы «воспылать страстью»? Я так не думаю. Эту проблему можно решить на удивление просто. Я обнаружил решение, взглянув на проблему с точки зрения математической теории игр, – точно так же, как в случае доверия и предательства. Данный подход дал результаты, способные помочь каждой паре вновь разжечь пламя любви, и для этого не обязательно решать алгебраические уравнения.
Ниже я покажу, как именно воспользоваться теорией игр для того, чтобы справиться с дилеммой. Кульминационный же момент таков: чтобы пара часто занималась сексом, ни один из партнеров не должен реагировать на отказы другого гневом, отвержением или любым другим карательным поведением. Если кто-то говорит «нет», его выигрыш не должен быть отрицательным (то есть он не должен оказываться в проигрыше). На самом деле, уклоняющийся партнер должен получать некоторый положительный выигрыш.
Рассмотрим два сценария. Ян в настроении заняться сексом, а Эмми – нет. Он понимает, что вынужден смириться с отказом, но это не доставляет ему радости: Ян убежден, что ему отказывают в том, на что у него есть права. Если он не сможет убедить Эмми изменить решение, будет дуться, вздыхать, спорить, проклинать, критиковать или игнорировать жену. И в любом случае – наказывать, отправлять послание: «С твоей стороны неправильно говорить "нет"». Конечно, ни одна из перечисленных выше реакций не заставит Эмми сказать «да». Они дадут прямо противоположный эффект и усилят трения между партнерами, их взаимные обиды, а возможно, и вызовут снижение интереса к занятиям сексом в следующий раз.
Второй сценарий, когда Эмми отвергает предложение заняться сексом и Ян соглашается с ее решением. Он не затаивает обиду, не считает секс своим правом и не ожидает его. Эмми даже получает маленький выигрыш за свой отказ. Вот пример старого как мир диалога:
Эмми. Не сегодня. У меня болит голова.
Ян. Бедняжка. Понимаю тебя. Я люблю тебя.
Заботливая реакция Яна ничуть не похожа на традиционные мужские сетования: «У тебя всегда болит голова!» И она гораздо эффективнее. Получение выигрыша за отказ от секса не заставит Эмми говорить «нет» чаще в будущем. Наоборот, полученный ею маленький выигрыш – заверение в том, что Ян ее любит и что их сексуальная жизнь, по сути, является выражением любви, не просто увеличит частоту получения сексуальной разрядки. Ведь Эмми просто отказалась заняться сексом, а реакция Яна заставила ее поверить в то, что она любима. Как мы уже знаем, в ситуации любовных выигрышей частота занятий сексом возрастает. В доверительных отношениях он перестает быть эротикой, большая часть времени отводится именно страстным занятиям любовью.
Однако не стоит принимать мои слова на веру. Давайте взглянем на цифры.
Основная идея теории игр заключается в том, что люди оценивают обмен, совершаемый с окружающими, исходя из того, какой выигрыш они от этого получают. Пусть неосознанно, но мы постоянно оцениваем свои отношения. Представим, что пара приступает к соитию после напряженного дня. Мужчина широко улыбается женщине. Она отвечает вялой улыбкой. Каждый оценивает реакцию партнера. Другими словами, они собираются сравнивать эти улыбки с теми, которые посылали им их партнеры или другие люди (даже если «другие» существуют только в воображении). Жена, скорее всего, будет думать так: «Как широко он мне улыбнулся. Не могу себе представить, чтобы другой мужчина был так рад видеть меня». А ее партнер может подумать: «Раньше она улыбалась мне с большей приязнью. Я могу представить себе и более сердечное приветствие от другой женщины».
Если перевести данную оценку в количественные показатели, можно составить табличку наподобие той, которая приведена ниже. Она будет напоминать таблицу, составленную нами в главе 1 для Эла и Дженни и их дилеммы с уборкой. Мы, психологи, называем такие таблицы матрицей выигрышей: они показывают выигрыш каждого от обмена.
Воспользуемся шкалой от -5 до +5. Жена думает, что улыбка ее мужа великолепна, поэтому ставит ему +5. А он оценивает ее улыбку в -3 балла.
С помощью таких таблиц теория игр анализирует поведение. Она формирует разные сценарии, или «игры», а затем подсчитывает относительный выигрыш, который получает каждый игрок в зависимости от выбранной им стратегии. Одна из таких игр называется «Охота на оленя». Это не конкурентная, а командная игра, поэтому она прекрасно подходит для нашего случая.
Эстер и ее муж Виктор приходят в лес. У них есть выбор – ловить кроликов или оленя. Они должны принять решение одновременно и без обсуждения с партнером. Вот как идет подсчет баллов в этой игре. Чтобы выследить оленя, нужны два человека. Если один решает ловить кроликов, а другой – преследовать оленя, охотник на кроликов поймает всех кроликов (+2), а охотник на оленя не получит ничего (0). Если они объединят усилия и станут вдвоем преследовать оленя, сотрудничество принесет каждому по 3 балла. Если они оба отправятся за кроликами, поделят добычу и каждый получит по 1 баллу. Этот расклад показан в матрице выигрышей ниже (первая цифра в скобках – выигрыш Виктора, вторая – Эстер).
Чтобы проанализировать игру, давайте посмотрим на ситуации глазами Виктора. Поскольку в данный момент выигрыши Эстер не имеют для нас значения, я обозначил их в матрице вопросительным знаком.
Олень приносит больше баллов, чем кролики, поэтому мы отмечаем этот выбор звездочкой. На языке теории игр выбор охоты на оленя для Виктора «строго доминирует» над ловлей кроликов. Это явно лучший выбор.
Теперь давайте нарисуем матрицу, которая покажет, какой выигрыш получит Виктор, если Эстер предпочтет ловить кроликов.
При таком сценарии для Виктора кролики строго доминируют над преследованием оленя.
Давайте взглянем на варианты Эстер. Опять-таки, для нее лучшим выбором будет охота на оленя, если Виктор тоже решит поохотиться.
А вот как будет выглядеть ситуация для Эстер, если Виктор решит ловить кроликов:
Если свести все матрицы в одну таблицу, она будет выглядеть следующим образом:
Обратите внимание на то, что есть две ячейки, где обе цифры помечены звездочкой, – это совпадающий лучший выбор обоих игроков. Мы называем такие ячейки «решением игры». Почему? Потому что они показывают сценарии, где ни один из игроков не смог бы сделать лучший выбор. Например, посмотрим на ячейку, в которой оба партнера идут охотиться на оленя (3*, 3*). Если Виктор переключится на кроликов, его выигрыш упадет с 3 баллов до 2, а это не лучший выбор. Эстер получит аналогичный результат. Ячейка (3*, 3*) называется «чистой стратегией» уравнения игры Нэша: ни один из игроков ничего не выиграет, если изменит стратегию.
Другая ячейка решения – (1*, 1*) – тоже считается «чистой стратегией» уравнения игры Нэша, хотя и приносит обоим игрокам меньше баллов. Если Виктор переключится на охоту на оленя, его счет упадет с 1 до 0, а это плохая стратегия. Если Эстер решит сделать то же самое, и для нее это будет плохой выбор.
Теперь, когда мы уяснили основные принципы, давайте посмотрим, что произойдет, если Эстер и Виктор будут многократно играть в эту игру и менять стратегии. Ситуация повторяющейся игры немного напоминает фактические отношения между партнерами, в ходе которых между ними многократно повторяется один и тот же обмен. Например, оба партнера могут выбирать в одной половине случаев охоту на оленя, а в другой – ловлю кроликов. Однако можно найти решение для лучшей повторяющейся стратегии («смешанной стратегии») и с точки зрения каждого игрока.
Предположим, что Виктор решает охотиться на оленя с вероятностью σоленя («σ» – вероятность), а наловить кроликов – с вероятностью (1 – σоленя). Тогда, если Виктор охотится на оленя с вероятностью а и ловит кроликов с вероятностью (1 – σоленя), ожидаемый выигрыш (ЕР) для Эстер, если та решит поохотиться на оленя, будет такой:
ЕР для Эстер, если она охотится на оленя = = (3) (σоленя) + (0) (1 – σоленя).
Если Эстер ловит кроликов:
ЕР для Эстер, если она ловит кроликов = (2) (σоленя) + (1) (1 – σоленя).
Теперь, если мы примем, что EPоленя = EPкроликов, действия Виктора окажутся безразличны для выигрыша Эстер в случае изменения им выбора. Поэтому изменение выбора Виктора для Эстер приемлемо (ее точка безразличия будет достигнута):
(3) (σоленя) + (0) (1 – σоленя) = (2) (σоленя) + (1) (1 – σоленя)
3σоленя = 1 + σоленя
2σоленя = 1
σоленя = 1/2.
Следовательно, Эстер не заботит, будет ли Виктор с вероятностью 1/2 охотиться на оленя или ловить кроликов с вероятностью 1/2. Его выбор не повлияет на ее выигрыш. Поэтому смешанная стратегия Виктора может привести к уравнению Нэша для смешанной, а не для чистой стратегии.
В этом уравнении аналогичные вычисления показывают, что смешанная стратегия работает иначе. Для выигрыша Виктора не имеет значения, предпочтет ли Эстер охотиться на оленя с вероятностью 1/2 или ловить кроликов с такой же вероятностью. Поэтому когда каждый игрок выбирает оленя или кроликов с вероятностью 1/2, его выбор описывает уравнение Нэша для смешанной стратегии.
Игры с нулевым результатом
В игре типа «победитель получает всё» каждая ячейка в матрице выигрышей будет включать и победителя, и побежденного. В приведенном ниже примере два игрока одновременно передвигают покерные фишки по столу.
В этой игре нет уравнения Нэша для чистой стратегии – у игроков нет возможности получить максимальную выгоду одновременно.
Давайте взглянем на уравнения смешанной стратегии, где каждый игрок делает свой выбор с определенной вероятностью (мы снова будем исходить из того, что в этой игре много раундов). Игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз. В результате он случайным образом выбирает то или иное направление в 50 % случаев. Следовательно, ожидаемый выигрыш при передвижении фишки влево составит:
EPвлево = (0,5) (–3) + (0,5) (1) = –1.
При передвижении фишки вправо ее ожидаемый выигрыш будет равен:
EPвправо = (0,5) (2) + (0,5) (0) = 1.
Поэтому, если игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз, он должен выбрать движение фишки вправо в качестве чистой стратегии, потому что в этом случае ожидаемый выигрыш будет выше, чем при передвижении фишки влево. Поскольку он это знает, то не собирается делать рандомизированный выбор, подбрасывая монетку.
Как мы уже видели, анализ с помощью теории игр позволяет воспользоваться алгеброй для создания идеального уравнения Нэша для смешанной стратегии. Снова выявляем точку безразличия соперников среди прочих чистых стратегий. Вероятность того, что игрок («он») передвинет фишку вверх, становится неизвестной величиной σВверх, которую мы должны определить. Если он будет двигать фишку вверх с вероятностью σВверх, которая уже известна, вниз ему придется двигать фишку с вероятностью (1 – σВверх). Поэтому мы вычисляем ожидаемый выигрыш для другого игрока (для «нее») следующим образом:
ЕРвлево = (σВверх) (–3) + (1 – σВверх) (1) = –4σВверх + 1.
ЕРвправо = (σВверх) (2) + (1 – σВверх) (0) = 2σВверх.
Теперь примем, что ЕРвлево = ЕРвправо, чтобы вычислить значение σВверх, которое сделает ее безразличной к сделанному ею выбору. Вот эти вычисления:
ЕРвлево = ЕРвправо
–4σВверх + 1 = 2σВверх
1 = 6σВверх
σВверх = 1/6.
Обобщим все вышесказанное. Если он двигает фишку вверх с вероятностью 1/6 и вниз с вероятностью 5/6, с точки зрения ожидаемых выигрышей она остается безразличной. Более того, она не может сыграть лучше, передвигая свою фишку влево или вправо, когда он пользуется смешанной стратегией.
Теперь давайте посмотрим на ситуацию с точки зрения ее действий и его выигрышей. Вычислим вероятность того, что она передвинет фишку влево, σВлево и вправо, σВправо, чтобы он был безразличен к ее смешанной стратегии. Начнем с вопроса, какими будут его ожидаемые выигрыши.
ЕРВверх = (σВлево) (3) + (1 – σВлево) (–2) = 5σВлево + 2.
ЕРВниз = (σВлево) (–1) + (1 – σВлево) (0) = —σВлево.
Затем находим вероятность равноценности (indifference probability) σВлево с помощью следующего уравнения:
ЕРВверх = ЕРВниз
5σВлево + 2 = —σВлево
6σВлево = 2
σВлево = 1/3.
Мы обнаружили, что он будет оставаться безразличным к ее смешанной стратегии, если она передвинет фишку влево с вероятностью 1/3, а вправо – с вероятностью 2/3.
Если мы соединим смешанные стратегии обоих игроков, получим уравнение Нэша для смешанной стратегии для игры в целом. Следовательно, даже при условии, что у нас нет уравнения Нэша для чистой стратегии, игра позволяет составить уравнение смешанной стратегии.
Эта стратегия работает и в отношениях, когда партнеры обмениваются с некоторой вероятностью различными поведенческими проявлениями: улыбками, совместным поеданием обеда или предложениями заняться сексом. То, что решение уравнения Нэша для игры может существовать, даже когда чистая стратегия невозможна, открывает большие возможности. Мы можем применить это уравнение к принятию и отклонению предложения заняться сексом с партнером.
Согласие или отказ заняться сексом
Давайте вернемся к Эмми и Яну. Каждый день один из них предлагает партнеру заняться сексом. Исходя из того, что они получают одинаковые выигрыши, мы получаем следующую матрицу выигрышей:
Ян и Эмми ставят максимальную оценку (5, 5), соглашаясь на секс. Им нравится секс, и они хотят заниматься им как можно чаще. Они ставят друг другу низкие отметки (0, 0), отказываясь от секса. Это имеет смысл. В смешанных ячейках таблицы, где Эмми соглашается, а Ян отказывается, она чувствует себя несчастной, отверженной, поэтому ее выигрыш составляет -1, а выигрыш Яна – 1. Это указывает на то, что она чувствует себя отвергаемой, а он чувствует себя нормально. Этот результат симметричен – если Эмми отказывается, а Ян соглашается, она получает 1, а он – 1. Что выглядит вполне разумной психологической конфигурацией повторяющегося набора вероятностей. Это соответствует ситуации нашей гипотетической пары.
Прекрасно, но существуют ли уравнения Нэша для чистой стратегии – способы для обоих «игроков» получить наилучший результат? На самом деле, есть только один вариант.
Давайте взглянем на возможные варианты с точки зрения Яна:
Пятерка однозначно получает звездочку. А вот как выглядит таблица, если Ян отказывается заняться сексом:
В данном случае звездочку получает 1.
Вот как выглядит ситуация с точки зрения Эмми:
Здесь звездочку явно получает 5.
Если она отказывается от секса:
На этот раз звездочку получает 1.
Итак, сведем всё воедино:
Следовательно, существует лишь одно уравнение Нэша для чистой стратегии – то, где оба соглашаются на секс. Ничего удивительного!
Все, о чем мы говорили выше, имеет смысл. Но сейчас нам нужно выяснить вероятность того, что каждый партнер согласится на секс, а также ожидаемую частоту занятий сексом для этой пары.
Мы можем вычислить точку безразличия для Яна с помощью приведенных ниже матриц:
И:
ЕР для ЯнаЭмми соглашается = 5σСоглашается + (–1) (1 – σСоглашается).
ЕР для ЯнаЭмми отказывается = 1σСоглашается + (0) (1 – σСоглашается).
Пусть ЕР для ЯнаЭмми соглашается = ЕР для ЯнаЭмми отказывается; точка безразличия Яна.
5σСоглашается – 1 +σСоглашается = σСоглашается.
5σСоглашается = 1.
σСоглашается = 1/5.
Эмми будет соглашаться на секс только в 1/5 всех случаев и отказываться в 4/5 случаев, чтобы Ян был безразличен к ее смешанной стратегии с точки зрения ее ожидаемых выигрышей. А как насчет его смешанной стратегии?
ЕРЯн соглашается = 5σСоглашается + (– 1) (1 – σСоглашается).
ЕРЯн отказывается = 1σСоглашается + (0) (1 – σСоглашается).
Пусть ЕРЯн соглашается = ЕРЯн отказывается; точка безразличия Эмми.
5σСоглашается – 1 + σСоглашается = σСоглашается
σСоглашается = 1/5
Если Ян использует смешанную стратегию, соглашаясь на секс в 1/5 случаев и отказываясь в 4/5, Эмми будет безразлична к этому с точки зрения ее выигрышей. Прекрасно, мы получили уравнение Нэша для смешанной стратегии. Ура!
Но как часто у этой пары на самом деле будет секс, если исходить из этой матрицы выигрышей? Поскольку оба вынуждены соглашаться на занятия сексом, взаимный показатель согласия составит (1/5) × (1/5) = 1/25, то есть 0,04 или 4 %. При том что в году 365 дней, пара будет заниматься сексом 15 дней в году (примерно раз в три недели). Это удивительно низкий показатель для такой пары, потому что они разработали разумную с точки зрения психологии таблицу. Что происходит?
Теперь давайте поговорим о хорошем и иначе взглянем на исходную матрицу, составленную на основе теории игр. Пусть выигрыш за отказ от секса будет варьировать – переменная г.
Уравнения смешанной стратегии для Эмми будут выглядеть так:
5σСоглашается + (r) (1 – σСоглашается) = (r) (σСоглашается) + (0) (1 – σСоглашается)
σСоглашается (5–2r) = r
σСоглашается = r/(5–2r)
Если мы задаем, что σСоглашается = 0,5, то г должна быть – 1,25. Для Яна смешанная стратегия выглядит точно так же, поэтому если мы зададим г = 1,25, у пары будет секс с показателем частоты (1/2) × (1/2) = 0,25, а это значит, что при г = 1,25 партнеры будут заниматься сексом 91 раз в год – примерно 1,8 раза в неделю.
Этот результат очень близок к среднему национальному показателю. Если мы зададим г большее значение (что будет подразумевать больший выигрыш за отказ от секса), пара будет заниматься сексом еще чаще. Например, если г = 1,53, σСоглашается = 0,80: Эмми соглашается на секс в 80 % случаев, поэтому партнеры будут заниматься сексом (0,8) × (0,8) × (365) = 233 дня в году, или примерно 4 раза в неделю. Такой результат для Яна и Эмми выглядит более многообещающим.
Эти результаты позволяют предположить, что, если пара хочет часто заниматься сексом, необходимо давать выигрыш, пусть и небольшой, даже если один из партнеров отказывается от него. Если партнер говорит «нет», он должен получать положительный выигрыш. Этот вывод может показаться удивительным, но он математически обоснован.
Я знаю, что многие люди сочтут эти выкладки запутанными и сложными, но решение, которое мы получили, нельзя назвать сложным. Анализ на основе теории игр предлагает парам, которые столкнулись с угасанием желания, простую стратегию. Если они сделают так, что ответ «не сегодня» будет считаться более приемлемым, их ждет много вечеров, когда оба скажут «да». И не понадобится никакой женской «Виагры». Вполне достаточно немного чуткости.