Баше внес еще один важнейший вклад в историю математики: перевел «Арифметику» древнегреческого математика Диофанта на латынь. Именно на одной из страниц этого перевода французский математик Пьер Ферма написал, что нашел чудесное доказательство теоремы, сформулированной под влиянием этого текста, но не может записать его, поскольку поля книги слишком узкие. Доказательство последней теоремы Ферма (уравнение an + bn = cn не имеет решений, выраженных в целых ненулевых числах a, b и c, если n больше 2) ускользало от математиков на протяжении 350 лет, что сделало ее за это время самой знаменитой нерешенной задачей в математике.
Вот вам задача для подготовки:
У вас есть восемь идентичных монет. Девятая монета фальшивая: она выглядит так же, но весит чуть меньше остальных монет. Сможете ли вы найти ее всего за два взвешивания?
Возможно, вы захотите решить эту задачу самостоятельно, в таком случае не читайте написанное далее. Я привожу здесь решение, чтобы вы смогли справиться со следующими головоломками.
Чтобы решить задачу о фальшивой монете, разделите монеты на три группы по три монеты. Если мы обозначим их номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, то первый раз взвешиваем монеты 1, 2, 3 и монеты 4, 5, 6. При этом чаши весов будут либо уравновешены, либо нет.
Если чаши весов уравновешены, как показано на рисунке слева, значит, более легкая монета – это номер 7, 8 или 9. Если одна чаша весов перевешивает другую, как на среднем рисунке, то более легкая монета – это номер 1, 2 или 3. Если же чаши весов расположены как на рисунке справа, значит, это монета номер 4, 5 или 6. Во всех трех случаях мы можем сузить вероятность поиска более легкой монеты с одной из девяти до одной из трех.
Теперь, при втором взвешивании, нам остается только сравнить вес одной из оставшихся монет с другой монетой, отложив третью в сторону. Более тяжелая монета перевесит чашу весов, а если чаши будут уравновешены, то фальшивая монета – та, что вы отложили. Вот и все.
Следующая задача стала широко известной во время Второй мировой войны. Она привела лучшие умы союзников в такое смятение, что кто-то даже предложил подкинуть фальшивую монету на вражескую территорию, чтобы вызвать хаос в мозговом центре немцев.
У вас есть 11 одинаковых монет. Двенадцатая монета – фальшивая. С виду она такая же, как все, но отличается весом. Вам неизвестно, легче она или тяжелее остальных.
Сможете ли вы за три взвешивания найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее других монет?
Кстати, для весов с одной чашей (таких как современные цифровые весы, показывающие вес в килограммах) тоже можно придумать интересные головоломки с фальшивыми монетами.
У вас десять стопок монет, по десять монет достоинством один фунт в каждой. Девять стопок состоят из подлинных однофунтовых монет, а в одной – все монеты фальшивые. Вам известен вес однофунтовой монеты, а также то, что фальшивая монета на 1 грамм тяжелее настоящей. Какое минимальное количество взвешиваний требуется для того, чтобы определить стопку фальшивых монет на весах с одной чашей?
Преемником Клода Гаспара Баше в части придумывания головоломок считается француз Эдуард Люка, чьи труды по занимательной математике появились в конце XIX века. Помимо того что Люка был виднейшим математиком своего времени и добился больших успехов в понимании простых чисел, он изобретал новые головоломки и анализировал классические задачи такого рода. Рассказанная далее история подлинная и взята из французского учебника по математике 1915 года. Автор пишет, что случай произошел на научной конференции много лет назад. Несколько известных математиков, в том числе выдающихся, прохаживались после обеда и беседовали. Люка вступил с ними в разговор и предложил решить представленную далее задачу. Одни математики ответили неправильно, другие промолчали. Задачу так никто и не решил.
Вам слово, дорогой лектор.
Ежедневно в полдень океанский лайнер отправляется из Гавра в Нью-Йорк; в то же самое время из Нью-Йорка в Гавр тоже выходит лайнер. Путь через океан в любом направлении занимает ровно семь дней и семь ночей. Сколько лайнеров до прибытия в Нью-Йорк встретит на своем пути лайнер, вышедший из Гавра сегодня?
Мне нравится эта задача, поскольку притом что речь в ней идет о рядовом событии (корабли отправляются и прибывают в порт), присутствует также интересная математическая изюминка. Существует множество замечательных головоломок о транспорте, которые зачастую касаются того, о чем люди размышляют во время путешествий.
Самолет совершает рейс из пункта А в пункт Б и обратно. В безветренный день полет занимает одинаковое количество времени в обоих направлениях. Но что произойдет, если погода будет ветреной? Полет в два конца займет больше или меньше времени, столько же, как обычно, или это зависит от направления ветра?
Допустим, ветер дует в одном направлении на протяжении всего полета. Очевидно, что при попутном ветре при движении самолета туда и обратно полет в два конца займет меньше времени, чем при полном отсутствии ветра. Можно предположить, что самолет летит из пункта А в пункт Б по прямой линии туда и обратно. Для начала проанализируйте, что произойдет, если самолет летит из пункта А в пункт Б при попутном ветре, ускоряющем его движение на этом участке пути, а возвращается при встречном, замедляющем его перемещение в обратном направлении. Будет ли влияние ветра полностью нейтрализовано в этом случае? Подумайте также о том, как будет лететь самолет, если ветер станет дуть под углом к траектории полета.
Изучение приборной панели во время длинной поездки на автомобиле тоже дает повод для арифметических развлечений.
Обычно в современных автомобилях устанавливают два одометра (измеряют количество оборотов колеса). Первый измеряет общий пробег автомобиля за весь период эксплуатации (его показания не обнуляются), а второй измеряет путь, пройденный автомобилем за одну поездку (его показания можно обнулить). Если показания любого из одометров будут состоять из одних девяток, то следующее число, которое он покажет, будет включать в себя только нули.
Допустим, первые четыре цифры на одометрах одинаковые, как показано на рисунке.
Если не обнулять счетчик пробега за одну поездку, при каком общем пробеге на обоих одометрах снова первые четыре цифры будут одинаковыми?
А теперь задумаемся над тем, как мы передвигаемся благодаря собственным усилиям.
1. Вы принимаете участие в забеге и обгоняете человека, бегущего вторым. Какое место вы занимаете?
2. Вы участвуете в забеге и обгоняете человека, бегущего последним. Какое место вы занимаете теперь?
Констанс и Дафни участвуют в забеге ровно на 26,2 мили. Констанс бежит весь марафон с постоянной скоростью: 1 миля за 8 минут. Дафни бежит с разной скоростью, чередуя рывки с медленным бегом, и покрывает каждую милю за 8 минут и 1 секунду. Другими словами, какую бы милю дистанции вы ни взяли – первую, последнюю или, скажем, отрезок с 13,6 мили до 14,6 мили, – Констанс пробежит ее ровно за 8 минут, а Дафни на секунду больше.
Может ли Дафни выиграть этот забег?
Не предоставляя слишком много информации, хочу отметить, что это возможно, причем главное – найти правильную стратегию. На мой взгляд, задачу можно отнести к разряду парадоксов, а не головоломок. Существуют логические парадоксы – предположения, приводящие к внутренне противоречивым выводам, и шуточные парадоксы – на первый взгляд абсурдные утверждения, которые после внимательного анализа оказываются истинными. Ниже предлагаются две задачи такого типа.
Стокилограммовую кучу картофеля оставили лежать на солнце. Вес картофеля на 99 процентов состоит из воды. После дня пребывания на солнце часть воды испарилась, и теперь 98 процентов веса картофеля приходится на воду. Чему равен новый вес картофеля?
Следующая задача была опубликована в издании 1896 года книги Уолтера Роуза Болла Mathematical Recreations and Essays[23] – первой важной книги по занимательной математике, написанной на английском языке. Впервые увидев свет в 1892 году, эта книга выдержала 14 изданий, причем последние четыре (вышедшие после смерти автора), 1939-го, 1942-го, 1974-го и 1987 годов, включали в себя поправки и дополнительные разделы, написанные известным канадским геометром Гарольдом Коксетером. Помимо всего того, чем Роуз Болл занимался в Кембридже, где он построил свою научную карьеру, он основал одно из старейших в мире сообществ иллюзионистов Pentacle Club. В своем завещании математик распорядился передать деньги Оксфордскому и Кембриджскому университетам, каждый из которых учредил кафедру Роуза Болла по математике.