Дьюдени был величайшим новатором по части придумывания головоломок в Великобритании, а возможно, и во всем мире. За сорок лет работы в газетах и журналах он составил больше классических задач по занимательной математике, чем кто-либо. В этом смысле Дьюдени был очень плодовит. Как говорилось в главе 1, задача о Смите, Джонсе и Робинсоне (задача 7) была опубликована в колонке Perplexities, которую Дьюдени много лет вел в журнале Strand, в 1930 году, в том самом месяце, когда он ушел из жизни.
По всей вероятности, призванием Дьюдени обязан своему деду, пастуху из Южного Даунса, который самостоятельно освоил математику и астрономию. Впоследствии он стал школьным учителем, как затем и его сын. Генри Дьюдени родился в 1857 году, но он не был создан для работы в сфере формального образования. Вместо того чтобы учиться в школе, в возрасте 13 лет он поступил работать клерком в государственное учреждение в Лондоне. Со временем жизнь служащего наскучила Дьюдени, и он начал отправлять придуманные им головоломки в редакции национальных изданий. Вскоре Дьюдени бросил работу, чтобы полностью посвятить себя созданию головоломок.
Его работа отличается не только размахом, но и глубиной, что особенно удивительно для самоучки, а живой арифметический ум не имел равных. В одной задаче из его книги The Canterbury Puzzles[26] 1907 года сказано, что куб единицы и куб двойки дают в сумме девять (13 + 23 = 1 + 8 = 9). Далее автор предлагает читателю найти еще два числа, сумма кубов которых равнялась бы девяти. Вот ответ:
и
«Один известный клерк страховой компании и один корреспондент взяли на себя труд возвести в куб эти числа, и оба нашли мой ответ совершенно правильным», – писал Дьюдени. Разум приходит в ужас при мысли о том, что он сумел получить этот результат исключительно с помощью бумаги и карандаша.
Дьюдени – автор многих головоломок с монетами. Следующая взята из его книги Amusements in Mathematics («Математические развлечения»), опубликованной в 1917 году.
Это очень сложная задача, хотя ее условия до смешного просты. Каждый читатель знает, как разместить четыре монеты по 1 пенни так, чтобы они были равноудалены друг от друга. Для этого нужно всего лишь положить их горизонтально на стол таким образом, чтобы они, соприкасаясь друг с другом, образовали треугольник, а четвертую монету поместить сверху, в центре. В этом случае каждое пенни соприкасается со всеми остальными, поэтому все монеты находятся на равном расстоянии друг от друга. Теперь попытайтесь сделать то же самое с пятью пенни. Разместите их так, чтобы каждая монета соприкасалась со всеми остальными, – вы обнаружите, что это совсем другое дело.
Вам будет проще решить головоломку (во всяком случае, мне было проще) с самыми большими монетами, которые сможете найти. Дьюдени предложил только одно решение, но их на самом деле два.
В книге Rational Amusement for Winter Evenings («Умственные развлечения для зимних вечеров»), написанной американским математиком Джоном Джексоном в 1821 году, есть следующие строки.
Your aid I want, nine trees to plant
In rows just half a score;
And let there be in each row three.
Solve this: I ask no more.[27]
Их можно перефразировать в виде вопроса: сможете ли вы посадить девять деревьев в десять рядов, по три дерева в одном ряду? Вот как решается эта задача:
В книге «Математические развлечения» Дьюдени пишет, что авторство этой задачи приписывают Исааку Ньютону, хотя нет никаких доказательств ее существования до публикации Джексоном в своей книге. Задачи о посадке деревьев, по условиям которых необходимо расположить определенное количество деревьев в определенном числе рядов, состоящих из определенного количества деревьев, удобнее всего решать с помощью монет. Ниже представлена одна из таких задач, придуманная Дьюдени.
Разместите десять монет на большом листе бумаги так, как показано на рисунке. Можете ли вы передвинуть четыре монеты, расположив их в других местах таким образом, чтобы все десять монет образовали пять прямых линий по четыре монеты в каждой линии?
Если вам удалось это сделать (а Дьюдени утверждает, что это не так уж трудно), определите, сколькими способами можно решить эту задачу при условии, что каждый раз вы начинаете с одной и той же позиции?
При решении этой головоломки, если монеты немного сдвинутся, может возникнуть путаница, поэтому я рекомендую отмечать их исходное положение на бумаге.
Дьюдени составил несколько задач с участием десяти точек, или «деревьев», расположенных на пяти линиях по четыре точки на каждой линии. Если исключить из задачи условие о том, что можно передвигать только четыре монеты, чтобы вы могли передвигать столько монет, сколько хотите, то можно составить еще пять схем расположения десяти монет в виде пяти прямых линий по четыре монеты в каждой. Дьюдени назвал эти схемы: «звезда», «стрела», «циркуль», «воронка» и «коготь». (Решение предыдущей задачи он называл «ножницами».) Схема в виде звезды показана на рисунке ниже. Удастся ли вам составить остальные четыре схемы?
А теперь отгадайте загадку: почему в начале ХХ столетия была известна женщина по имени Генри Дьюдени?
Элис Виффин было восемнадцать, когда она вышла замуж за Генри Дьюдени. Впоследствии она стала успешной писательницей, ее благосклонно сравнивали с Томасом Харди и Эдит Уортон. На обложках своих книг Элис предпочитала ставить свою фамилию в замужестве: миссис Генри Дьюдени. Она написала около пятидесяти романов; многие из них посвящены жизни провинциального юго-востока. Чета Дьюдени построила загородный дом, они также вращались в лондонских литературных кругах. Элис была наперсницей сэра Филипа Сассуна, чрезвычайно богатого человека, члена парламента и светского льва, который устраивал приемы в своем особняке в Кенте.
Отношения этой пары были бурными. После того как Элис завела роман, супруги расстались, но в 1916 году снова поселились вместе в городке Льюис. В их доме у каждого был свой кабинет; они располагались один над другим. Элис вела подробный дневник о жизни с Эрнестом[28], или, как она его называла, Льюисом. В 1998 году дневник был опубликован; это задушевное, но при этом колкое повествование о жизни с величайшим изобретателем головоломок. В дневнике так много интимных подробностей, что порой становится неловко. Эрнест боготворил жену, но был склонен к ревности. «У Эрнеста отвратительный характер, но он не может ничего с этим поделать, поскольку даже не знает об этой проблеме, по-моему. Кроме того, он весьма изысканно пытается загладить свою вину, – писала Элис. – Как бы там ни было, если твой муж гений, а ты сама тоже относишься к числу одаренных людей, конфликты неизбежны…»
Одним из исключительных талантов Дьюдени была его способность сделать головоломку из любого обычного предмета. Ниже приведена задача о сигарах, которую он придумал в своем лондонском клубе. «[Эта задача] надолго завладела вниманием членов клуба, – писал Дьюдени. – Они никак не могли разобраться в ней и считали неразрешимой. Однако я продемонстрирую, что ответ на удивление прост».
В головоломке речь идет о сигарах, но мне кажется, что найти решение легче, если работать с монетами, поэтому я сформулировал ее иначе. (Если вы хотите знать оригинальный текст, просто замените в условии слово «монета» на слово «сигара».)
Два игрока сидят за квадратным столом. Сначала первый кладет монету на стол, затем второй, после чего они продолжают делать это по очереди. По условию задачи, монеты не должны соприкасаться. Победителем становится тот, кто положит монету на последнее свободное место.
Кроме того, размер стола должен быть больше одной монеты, иначе игра окончится после первого же хода; все монеты одинаковые.
Один игрок непременно выиграет. Кто именно – тот, кто начинает игру, или тот, кто ходит вторым? И какова его стратегия?
К рассказу о Дьюдени мы вернемся немного позже, а сейчас, пока монеты лежат на столе, я хотел бы еще немного позабавиться с ними.
Во вступительной речи перед Эдинбургским математическим обществом в 1883 году шотландский математический физик Питер Гатри Тэйт, в частности, заявил, что узнал о представленной ниже головоломке во время путешествия на поезде. Меня очень радует то, что головоломки с монетами занимают пассажиров на протяжении всего периода существования железных дорог.
Вклад Тэйта в науку носил широкий и разноплановый характер. Например, он немало потрудился над развитием теории узлов[29], был страстным экспериментатором и плодовитым автором, написал классический учебник по физике в соавторстве с Уильямом Томсоном – лордом Кельвином. Студенты его обожали за поразительные научные демонстрации с применением огромных магнитов, струй воды и электрических искр, которые наполняли аудиторию. Однако любимым предметом ученого была клюшка для гольфа. Его страстная увлеченность гольфом привела к написанию работ о траекториях движения мячей для гольфа, или о «вращении сферических снарядов». Сын Тэйта, Фредди, был известным игроком в гольф и дважды выигрывал Британский любительский чемпионат.
Считается, что следующая головоломка пришла к нам из Японии, однако именно Тэйт способствовал ее распространению на Западе.