Генри Дьюдени называет следующую задачу «небольшой головоломкой для юных читателей».
На рисунке изображено 16 спичек, которые образуют равносторонние треугольники.
Уберите четыре спички так, чтобы осталось ровно четыре равносторонних треугольника и не было открытых концов и лишних спичек.
Разложите 12 спичек в форме шестиугольника, состоящего из шести равносторонних треугольников.
Эта головоломка решается за четыре шага.
1. Передвиньте две спички на другие места так, чтобы осталось пять равносторонних треугольников.
2. Теперь передвиньте две спички на другие места так, чтобы осталось четыре равносторонних треугольника. Не разрешается оставлять открытые концы, однако в следующих двух частях головоломки треугольники могут отличаться по размеру.
3. Передвиньте две спички на другие места так, чтобы осталось три равносторонних треугольника.
4. И наконец, проделайте то же самое так, чтобы осталось два равносторонних треугольника.
А теперь пойдем в противоположном направлении и увеличим количество треугольников. Мне очень нравится эта задача, потому что в ней совсем мало спичек.
1. Перед вами два треугольника, составленных из шести спичек. Можете ли вы передвинуть две спички на другие места так, чтобы получилось четыре треугольника? Спички разрешается накладывать друг на друга.
2. Теперь составьте четыре треугольника из шести спичек, не накладывая их друг на друга.
В одной из представленных выше головоломок нужно было разместить пять монет так, чтобы каждая монета соприкасалась со всеми остальными. Предлагаю вам ее другую версию – со спичками.
В вашем распоряжении по-прежнему шесть спичек. Разложите их так, чтобы каждая спичка соприкасалась со всеми остальными. А теперь найдите способ сделать то же самое с семью спичками.
Расположение спичек, при котором они соприкасаются друг с другом только своими концами, можно воспринимать двумя способами: во-первых, как расположение спичек в определенном порядке, а во-вторых, как сеть точек, соединенных спичками, как показано в следующей головоломке.
Найдите такое расположение двенадцати спичек, при котором оба конца каждой спички соприкасаются с концами двух других спичек. Иначе говоря, составьте сеть точек, соединенных спичками, в которой каждая точка связана с тремя другими.
В завершение игр со спичками давайте проанализируем следующий неожиданный аспект этой темы, на который обратил внимание наш старый друг Генри Дьюдени.
На рисунке изображено 20 спичек, из которых построены две прямоугольные ограды, состоящие из 6 и 14 спичек соответственно. Площадь второго прямоугольника в три раза больше площади первого.
Переместите одну спичку из большей ограды в меньшую таким образом, чтобы получилось две группы по 7 и 13 спичек. Можете ли вы построить две новые ограды так, чтобы площадь второго огражденного участка по-прежнему в три раза превышала площадь первого участка?
Когда я читаю книги Дьюдени, меня неизменно поражает его способность находить блестящий материал для головоломок с использованием самых разных предметов, которые можно найти в кармане. Ниже представлена замечательная головоломка, в которой используется блок из восьми марок. Если у вас нет марок, возьмите лист бумаги и разделить его сгибами так, как показано на рисунке.
В любом случае пришло время взять в руки ножницы, поскольку они понадобятся вам для решения оставшихся головоломок.
На рисунке изображен блок марок, в котором они пронумерованы от 1 до 8. Вам нужно сложить их по линиям сгиба так, чтобы марка с номером 1 была расположена лицевой стороной вверх, а все остальные находились под ней.
Можете ли вы сложить марки так, чтобы они располагались в последовательности 1, 5, 6, 4, 8, 7, 3, 2 и (более трудная задача) 1, 3, 7, 5, 6, 8, 4, 2?
«Это очень интересная задача, – убеждал Дьюдени. – Не откладывайте ее в сторону, если сочтете неразрешимой!»
Дьюдени также придумал следующую задачу с использованием блока квадратных марок.
У вас есть набор из 12 квадратных марок в виде блока 3 × 4, как показано на рисунке. Ваш друг просит дать ему четыре марки. Вы решаете оторвать четыре марки, соединенные вместе, – например, номера 1, 2, 3, 4, или 1, 2, 5, 6, или 1, 2, 3, 6, или 1, 2, 3, 7 и т. д. Но есть одно условие: марки не могут крепиться между собой углами, но могут соединяться с другими марками любой стороной.
Сколько существует возможных наборов из четырех марок, соединенных друг с другом?
В ответе на эту задачу в конце книги я нарисовал все возможные фигуры, которые можно составить из соединенных марок. Взгляните на эти рисунки после того, как решите головоломку. Вам они знакомы?
Да, в головоломке Генри Дьюдени есть группа фигур, известных как блоки игры «Тетрис».
Для тех немногих из вас, кто никогда не играл в эту игру, скажу: это очень простая, невероятно увлекательная компьютерная игра, в которой блоки из четырех соединенных квадратов (таких как на рисунке в решении головоломки) выпадают из верхней части экрана. Игрок должен складывать их, передвигая по горизонтали или поворачивая.
Изобретателя «Тетриса» Алексея Пажитнова вдохновила работа Соломона Голомба – американского математика, который опубликовал книгу о фигурах, составленных из соединенных квадратов, в 1965 году. Источником вдохновения для самого Голомба были работы Дьюдени.
Дьюдени не получил формального образования, но у него была поразительная врожденная способность использовать в головоломках идеи, которые впоследствии многие математики считали заслуживающими научного исследования. В первую книгу Дьюдени, «Кентерберийские головоломки», включена его первая головоломка с фигурами, составленными из соединенных квадратов. Она основана на (не совсем достоверной) истории из книги Джона Хейворда о жизни Вильгельма Завоевателя[30], увидевшей свет в 1613 году. Сыновья Вильгельма, Генри и Роберт, нанесли визит Луи[31], наследнику французского престола. Когда Генри выиграл у Луи партию в шахматы, произошла потасовка. «Генри в свою очередь ударил Людовика по голове шахматной доской, в кровь разбив ему лицо, – пишет Хейворд. – Братья тотчас вскочили на коней, и, как уверяют, их шпоры были столь остры, что им удалось добраться до своих владений, хотя французы преследовали их по пятам». О-ля-ля!
Шахматная доска разбита на 13 фрагментов, которые представляют собой все возможные фигуры, составленные из пяти соединенных квадратов, а также один блок из четырех квадратов.
Можете ли вы восстановить шахматную доску, сложив ее из этих фрагментов?
Дьюдени предлагает вырезать фигуры из листа бумаги в клетку и наклеить на картон. «Они могут служить в доме источником постоянного развлечения, – писал он. – Если вам удастся собрать шахматную доску, но вы не зафиксируете расположения клеток на бумаге, то в следующий раз повторить то же самое вам будет нелегко».
Поскольку у вас уже есть бумага и ножницы, предлагаю решить очень интересную головоломку со складыванием бумаги. С ней вы справитесь быстрее, чем с предыдущей.
Вырежьте центральный квадрат из блока 3 × 3, состоящего из квадратов, как показано на рисунке.
Можете ли вы сложить куб из этих восьми расположенных по кругу квадратов? Так как у куба шесть граней, два квадрата будут перекрываться другими.
Если в детстве вы были скаутом и умеете делать зажим для скаутского галстука, детские годы не прошли зря. Наконец-то это знание вам пригодится!
Из пластикового пакета вырежьте полосу и сделайте в ней два длинных разреза, как показано на рисунке А. Теперь сплетите из нее косу так, как на рисунке B.
Решая эту головоломку впервые, я использовал бумагу. Но она рвется, поэтому пластик гораздо удобнее. Если вы были скаутом, можете взять кожу.
Чтобы заплести три полоски в косу, не нужно мыслить нестандартно – достаточно просто выполнить правильные действия. Обратите внимание: три полоски переплетаются друг с другом точно так же, как пряди волос. Они накладываются друг на друга в шести точках, оставаясь при этом в одной плоскости. Попробуйте сами!
Для решения последней задачи из этой главы нам дополнительно понадобятся кусок шнура и картон. Вырежьте из картона два небольших прямоугольника и соедините их шнуром, как показано на рисунке. Обозначьте лицевую сторону на верхней стороне листов картона.