е решить задачу.
Найдите пропущенное число.
8809 = 6 5555 = 0
7111 = 0 8193 = 3
2172 = 0 8096 = 5
6666 = 4 1012 = 1
1111 = 0 7777 = 0
3213 = 0 9999 = 4
7662 = 2 7756 = 1
9313 = 1 6855 = 3
0000 = 4 9881 = 5
2222 = 0 5531 = 0
3333 = 0 2581 =?
Числа могут означать количество – например, один абзац, шесть слов или три предложения. Однако представленные в виде списка они могут означать последовательность.
В трех представленных ниже задачах содержатся последовательности чисел. Найдите в каждой из них закономерность и вычислите следующее число.
77 → 49 → 36 → 18 →?
Автор следующей головоломки – Ноб Йошигахара; он же придумал задачу, представленную в самом начале книги. Найти последовательность, образующую такой цикл, – это настоящее чудо.
10 → 9 → 60 → 90 → 70 → 66 →?
Я пишу о математике, а значит, люблю и числа, и слова. Разумеется, мне очень нравятся головоломки, в которых числа и слова связаны.
В основе следующей головоломки лежит удивительно простая идея: нужно представить, что получится, если расположить числа в алфавитном порядке.
В словаре перечислены все целые числа от единицы до одного квадриллиона (от 1 до 1 000 000 000 000 000) в алфавитном порядке. Вам нужно найти:
• первую словарную статью;
• последнюю словарную статью;
• первую словарную статью, соответствующую нечетному числу;
• последнюю словарную статью, соответствующую нечетному числу.
Словарь построен по таким правилам: во-первых, в нем используется американский вариант написания числительных, в котором слово and опускается. Иными словами, число 2001 записывается как two thousand one, а не two thousand and one. Во-вторых, для представления в алфавитном порядке число 100 записывается как one hundred, 1000 – one thousand и т. д. для больших чисел. В-третьих, пробелы и дефисы не учитываются: так, например, fourteen стоит в словаре перед four trillion.
Сэм Лойд одним из первых изобрел головоломки, в которых буквы обозначают числа. Его задача об универсальном магазине выглядит следующим образом:
Используйте десять букв словосочетания PEACH BLOWS (разновидность картофеля) в качестве ключа, который указывает на десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Иными словами, P – это 1, E – 2, A – 3, C – 4, H – 5 и т. д. Таким образом, слово CHESS превращается в 45 200, а слово CASH – в 4305. Если приведенный выше список из 15 слов представить как сумму чисел, обозначающих эти слова, то правильным ответом будет сумма в виде слова ALLWOOL, или 3 779 887.
Головоломка Лойда хоть и хорошо продумана, но несколько запутанная: в ней слишком много чисел для того, чтобы воспринимать ее как развлечение. Впрочем, Генри Дьюдени усовершенствовал формат задач, в которых осмысленные фразы можно составить путем использования букв вместо цифр; в наше время они известны как альфаметика, криптарифма и вербальная арифметика.
В 1924 году Дьюдени опубликовал головоломку, которая до сих пор остается одной из лучших задач такого типа:
Для ее решения необходимо найти цифры, которые дают правильную сумму, – при условии, что каждая буква обозначает определенную цифру, а крайние буквы слева – не 0.
Лойд был на 16 лет старше Дьюдени. Он единственный современник математика из числа составителей головоломок, которого можно поставить с ним в один ряд по количеству работ и их оригинальности. Эти двое вели переписку через Атлантический океан, однако, узнав, что Лойд выдает его головоломки за свои, Дьюдени разорвал дружеские отношения. Фактически в характерах этих двух людей выражался национальный стереотип: Лойд, невероятно энергичный человек – машина по производству головоломок, был предпринимателем, патентовал свои лучшие идеи, предлагал денежные призы тем, кто решит ту или иную головоломку, и приукрашивал свою биографию ради укрепления репутации. Дьюдени же был ворчливым, курящим сигару провинциальным британцем.
Головоломка SEND MORE MONEY настолько хорошо известна, что я предлагаю ее здесь в качестве утешительного приза. Вот с чего следует начинать ее решать. Буква М должна обозначать 1, поскольку при сложении двух четырехзначных чисел образуется пятизначное число, и оно может начинаться только с цифры 1. Далее возьмем самое большое четырехзначное число – 9999. Если сложить его с самим собой, то получится 19 998, которое начинается с 1. Следовательно, сумма двух четырехзначных чисел не может начинаться с цифры 2 или больше.
Для того чтобы S + 1 = 1O (где O – это заглавная буква «о», а не ноль), необходимо, чтобы S = 9 или S = 8 и чтобы был перенос 1 из разряда сотен. Предположим, S = 8 и есть перенос; следовательно, О заглавная будет иметь значение 0. Теперь сумма выглядит так:
Для ясности я поставил знак переноса рядом с цифрой 8. Если эта сумма правильная, то столбец, соответствующий разряду сотен, говорит нам, что либо E + 0 = 10 + N, либо есть перенос из разряда десятков и 1 + E + 0 = 10 + N. (В этих уравнениях 10 представляет собой перенос в разряд тысяч.) Первый из вариантов означает, что разность между E и N равна 10, что невозможно, поскольку значения E и N меньше 10. Второй вариант также невозможен, потому что в этом случае E – N = 9. Это верно при единственных двух значениях: E = 9 и N = 0. Однако О заглавная уже имеет значение 0, а две разные буквы не могут быть одной и той же цифрой. Следовательно, S = 9, а оставшуюся часть решения я предлагаю вам найти самостоятельно. (Ответ можно посмотреть во второй части книги.)
Существует множество замечательных арифметических головоломок, но представленная ниже – одна из моих любимых, поскольку в ней зашифрована почти точная цитата из трагедии Шекспира «Макбет». Отсутствует только слово and, разделяющее слова toil и trouble[36]. Хотя, если правильно поставить знак сложения…
Найдите цифры, при которых следующая сумма правильна.
А вот еще одна головоломка с интереснейшим поворотом из разряда альфаметики.
В операции умножения в столбик на рисунке каждая буква E (even) – четная цифра, а каждая буква O (odd) – нечетная. Другими словами, каждая буква E может обозначать 0, 2, 4, 6 или 8, а каждая буква O – 1, 3, 5, 7 или 9. Если две цифры представлены буквами E, это не означает, что они обязательно должны быть одинаковыми, хотя в некоторых случаях такое возможно. Можете ли вы восстановить цифры в этом примере на умножение?
(Пробел в разряде единиц в этой позиции обозначает цифру ноль. Этот символ не отображается здесь, чтобы не перепутать его с буквой О. Кроме того, в этой позиции в умножении в столбик всегда находится ноль, что не влияет на результат.)
Предыдущая задача, придуманная в начале 1960-х профессором математики и иллюзионистом Уильямом Фитчем Чейни, впервые была опубликована в колонке Мартина Гарднера Mathematical Games в журнале Scientific American. Если Сэм Лойд был величайшим изобретателем математических головоломок в США, то Гарднер – их величайший популяризатор. Благодаря своей колонке в Scientific American, которая выходила на протяжении более чем двадцати лет, а также десяткам книг, Гарднер собрал не имеющую себе равных коллекцию математических головоломок. Он стал центром обширной неформальной сети их любителей (таких как Фитч Чейни), чьи лучшие идеи впервые публиковались в его колонке.
Следующую головоломку придумал Ли Сэллоус, мастер математических головоломок со словами, чьи работы также стали известны широкой аудитории благодаря Мартину Гарднеру. Я считаю этот невероятно изобретательный, подсчитывающий сам себя кроссворд настоящим произведением искусства.
Каждая строка в представленном ниже кроссворде имеет такой вид:
[слово, обозначающее число][пробел][буква][S]
В строке содержится точная информация о том, сколько раз та или иная буква встречается в кроссворде.
Например, если бы в кроссворде была одна буква Q, то одна из строк выглядела бы как: ONE Q («Один Q»). Если бы в кроссворде было пять букв P и семнадцать букв E, то эти две строки были бы такими: FIVE PS («Пять PS») и SEVENTEEN ES («Семнадцать ES»).
Другими словами, каждая строка представлена в следующем виде: слово, обозначающее число, затем пробел, далее буква, после которой идет S, – при условии, что эта буква встречается более одного раза. В каждой подобной строке указано правильное количество появлений соответствующей буквы в кроссворде.
Заполните кроссворд, используя только логику.
Этот кроссворд на удивление самодостаточен: в нем задействованы всего 10 букв, каждой из которых соответствует своя строка.