На званом ужине присутствуют десять человек: Эдвард, Люси и четыре супружеские пары. Следовательно, каждый может пожать руки максимум девяти человекам – всем, кроме себя самого.
Однако в задаче сказано, что никто не пожимает руку знакомому человеку. Можно предположить, что каждый гость знает своего супруга (супругу), а значит, максимальное количество людей, которым один человек может пожать руки, равно восьми.
Эдвард получил девять разных ответов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
Рассмотрим ответ того, кто назвал число 8. Этот человек пожал руки всем, кроме своего супруга (супруги). Следовательно, каждый человек, за исключением его супруга (супруги), пожал руку как минимум одному человеку. Соответственно, тот, кто назвал число 0, должен быть в паре с тем, кто назвал число 8.
Аналогичным образом проанализируем ответ «7». Этот человек пожал руки всем, кроме своего супруга (супруги) и человека, назвавшего число 0. Значит, все остальные пожали руки как минимум двоим: тому, кто назвал число 8, и тому, кто дал ответ 7. Получается, супруг (супруга) человека, назвавшего число 7, должен был дать ответ 1.
Продолжив рассуждать подобным образом, мы придем к выводу, что третья пара состоит из 6 и 2, а четвертая – из 5 и 3. Осталась только Люси, а она пожала руки четверым.
Начнем с рукопожатий. Все мужчины пожимают друг другу руки. Следовательно, если только один гость – мужчина, то будет всего одно рукопожатие – между ним и Эдвардом. Если среди гостей двое мужчин, будет три рукопожатия: между самими мужчинами из числа гостей, а также между Эдвардом и каждым гостем. А если на ужине четверо гостей мужского пола, рукопожатий будет шесть. Предоставляю вам самим разобраться, кто обменяется рукопожатиями в этом случае.
Итак, нам известно, что три гостя – мужчины.
Женщины целуют всех, кроме своих супругов. Мы знаем, что три гостя – мужчины, значит, у нас уже есть три поцелуя: между Люси и каждым из этих мужчин. Всего двенадцать поцелуев. На скольких гостей пришлись оставшиеся девять поцелуев?
Рассмотрим одну новую гостью – Анну. Если она не замужем, то поцелует Эдварда, Люси и троих мужчин (всего пять поцелуев), если в браке с одним из мужчин, то поцелует только четырех человек. Мы все еще весьма далеки от девяти поцелуев, поэтому подключим еще одну гостью – Беатрис.
Если Беатрис поцелует всех, она поцелует шесть человек. Но если она замужем, поцелуев будет только пять. Могут ли поцелуи Анны и Беатрис дать в сумме девять поцелуев? Да, если обе женщины состоят в браке, поскольку тогда мы насчитаем четыре и пять поцелуев. Мы нашли решение. На ужине присутствовало пять гостей: две пары и один холостяк.
Эта головоломка не такая сложная, как кажется. Решение не требует никаких вычислений или уравнений. Единственная трудность – в выборе подхода, но как только вы его найдете, он окажется изящным и простым.
Итак, 100 человек занимают свои места в театральном зале. Проанализируем ситуацию. Чтобы не запутаться, назовем первого человека в очереди A, а последнего Z. Таким образом, мы можем сформулировать вопрос: какова вероятность того, что Z займет свое место, если A сядет на место, выбранное случайным образом?
На рисунке все места расположены в ряд и обозначены буквами от A до Z, то есть место A… место Z.
Допустим, посетитель A занял либо место A, либо место Z. Если он сядет на место A, все остальные посетители театра также займут правильные места, в том числе и Z. (Так и было бы, если бы A не потерял билет.)
Если же A займет место Z, то, очевидно, Z не займет свое место, поскольку его уже занял A. В этом случае Z сядет на место A.
В задаче сказано, что посетитель A выбирает место случайным образом, а значит, он с равной вероятностью может занять как место A, так и место Z. Если ограничиться в ходе рассуждений только этими двумя местами, то Z займет свое место с вероятностью 50: 50.
А что, если A займет любое другое место. Предположим, место посетителя N, который занимает n-е место в очереди.
Если A сидит на месте N, то все люди, которые стоят в очереди до N, займут места, указанные в их билетах. Первым, кто не сядет на свое место, будет N, поскольку его место уже занял A. В итоге N выберет одно из оставшихся мест.
Теперь N может расположиться на месте A и местах тех, кто стоит в очереди после него, в том числе Z. Следовательно, N займет либо место A (в таком случае Z в итоге сядет на правильное место), либо место Z (в этом случае Z не сядет на свое место). Или же N сядет на место M, где M – зритель, который стоит в очереди после N, но раньше Z.
Если ограничиться размышлениями о том, займет ли N место A или Z, шансы в обоих случаях равны, а значит, Z займет свое место с вероятностью 50 процентов. А что, если N сядет на место M?
Когда наступит очередь посетителя M занять свое место, он столкнется с таким же выбором, что и N: у него есть равные шансы занять либо место A, либо место Z или шанс занять место того посетителя театра, который еще должен войти в зал. Если M займет место еще не вошедшего посетителя, сценарий повторится.
На каждом этапе любой зритель выберет либо место A, либо место Z с равной вероятностью. А если этот зритель выберет чье-то место, то решение о выборе между A и Z откладывается до следующего, кто войдет в зал. В конечном счете мы переберем всех, и кому-то придется сесть либо на место A, либо на место Z.
У любого посетителя театра, вынужденного сесть на случайное место, всегда равные шансы выбрать место A или место Z. В случае выбора места A посетитель Z займет свое место, а при выборе места Z – не свое. Таким образом, вероятность того, что Z сядет на свое место, составляет 50 %.
1. Рим.
2. Мэн, поскольку североатлантическое побережье США простирается на восток дальше, чем кажется.
3. Глазго, Плимут, Эдинбург, Ливерпуль, Манчестер.
4. Париж, Сиэтл, Галифакс, Алжир, Токио.
5. Остров Пасхи, Перт, Кейптаун, Буэнос-Айрес, Монтевидео.
6. Германия. У этой страны девять соседей (по часовой стрелке): Дания, Польша, Чехия, Австрия, Швейцария, Франция, Люксембург, Бельгия, Нидерланды.
7. В порядке возрастания численности населения: Фолклендские острова, Шетландские острова, остров Мэн, Джерси, остров Уайт.
8. Канада.
9. Интересно, что один часовой пояс задекларирован в Китае, хотя протяженность этой страны с востока на запад составляет 4828 километров, причем это расстояние больше, чем расстояние от Лондона до Москвы.
10. Аконкагуа – 6962 метра; Мак-Кинли – 6194 метра; Килиманджаро – 5892 метра; Эльбрус – 5642 метра.
Сначала выложите монеты в форме параллелограмма, как показано на рисунке. Каждое перемещение обозначено стрелкой.
Решение Дьюдени состояло в том, чтобы положить одну монету горизонтально на стол, а затем еще две монеты разместить горизонтально сверху. И еще две монеты расположить так, чтобы они касались друг друга вверху и трех других монет внизу. Сделать это трудно, но возможно! В книге «Токийские головоломки» Кобон Фуджимура говорит, что один из его читателей прислал вариант решения, в котором только одна монета стоит на ребре.
Решение начинается с двух линий, на которых расположено по пять монет; а нужно выстроить пять линий по четыре монеты в каждой.
Вы можете менять положение только четырех монет. Пожалуй, стоит взять одну монету из одной линии с пятью монетами, что дает нам первую линию с четырьмя монетами, а оставшиеся три – из другой линии с пятью монетами.
На рисунке вы видите, что можно выстроить четыре новые линии по четыре монеты, соединив каждую монету на первой линии с четырьмя монетами с одной из двух расположенных напротив монет. В этом решении я переместил среднюю монету из верхнего ряда и три средних монеты из нижнего ряда. Вообще-то я мог бы переместить любую монету из верхнего (или нижнего) ряда и любые три монеты из нижнего (или верхнего) ряда. Вот еще два возможных решения.
Так сколько возможных вариантов решений? Существует пять способов выбрать одну монету из ряда с пятью монетами, а также десять способов выбрать три монеты из ряда с пятью монетами, следовательно, есть 5 × 10 = 50 способов выбрать одну монету из верхней линии и три из нижней, что дает нам 50 решений. К этому можем добавить еще 50 решений в случае выбора одной монеты из нижней линии и трех монет из верхней, что дает нам всего 100 решений.