Шаг 2. Другой рукой положите марку 4 лицевой стороной на лицевую сторону марки 8. Держите марки 4 и 8 вместе указательным и большим пальцами.
Шаг 3. Наклоните марки 4 и 8 и задвиньте их между марками 6 и 7. Теперь марки 6, 4, 8 и 7 расположены в нужной последовательности.
Шаг 4. Выпрямите полоску марок 1, 2, 5 и 6. Положите марку 5 лицевой стороной на лицевую сторону марки 6 – и задача решена.
Дьюдени писал: «Добиться того, чтобы марки расположились в последовательности 1, 3, 7, 5, 6, 8, 4, 2, труднее, и она вполне могла быть упущена, если бы не убеждение в том, что в силу [открытого мной] закона это возможно сделать».
Шаг 1. Сложите блок марок пополам по центральной горизонтальной линии таким образом, чтобы лицевые стороны марок 1, 2, 3 и 4 были видны спереди, а марок 5, 6, 7 и 8 – с обратной стороны.
Шаг 2. Положите марку 5 лицевой стороной на лицевую сторону марки 6.
Шаг 3. Одной рукой держите марки так, чтобы большой палец находился на марке 1, а указательный на марке 2. Второй рукой держите другой конец блока марок, в котором марка 8 повернута лицевой стороной, а марка 4 оборотной. Теперь самое трудное: нужно протиснуть конец блока 8/4 между марками 1 и 5, а затем повернуть его вокруг так, чтобы конец блока 8/4 прошел между марками 6 и 2, оставив только марки 3 и 7 между марками 1 и 5. Задача решена!
Четыре марки можно оторвать от блока следующими способами:
Вы должны внимательно подсчитывать количество фигур, учитывая при этом все возможные варианты ориентации и вращения.
Фигуру A можно составить шестью способами.
Фигуру B можно построить четырьмя способами так, как показано выше, и тремя способами при повороте на угол 90 градусов. Если повернуть ее на 180 градусов вокруг вертикальной оси так, чтобы фигура вроде буквы Z превратилась в фигуру наподобие буквы S, то получим еще четыре способа. Кроме того, еще три способа можно получить, повернув на 90 градусов фигуру, напоминающую букву S. Всего – 14 способов.
Фигуру C можно составить четырьмя способами так, как показано выше, тремя способами в случае поворота на 90 градусов, четырьмя способами при повороте на 180 градусов и еще тремя способами при повороте на 270 градусов, что дает в сумме 14 способов. Повернув фигуру C на 180 градусов вокруг вертикальной оси так же, как и фигуру B, получим еще 14 способов. Всего выходит 28 способов.
Фигуру D можно составить четырьмя способами так, как показано выше, тремя способами в случае поворота на 90 градусов, четырьмя способами при повороте на 180 градусов и еще тремя способами при повороте на 270 градусов, что дает в сумме 14 способов.
Фигуру E можно получить только тремя способами.
Итак, общее количетво 6 + 14 + 28 + 14 + 3 = 65 способов.
Согнув лист бумаги после четвертого и шестого квадратов, вы без труда получите куб.
Эта головоломка решается по-разному. Самый быстрый способ подразумевает скручивание и пропускание полос через самих себя – подобно тому, как скауты делают зажимы. Однако я не буду показывать здесь этот способ, поскольку вы, скорее всего, догадались, как это делается. Если вам интересно, поищите решение в интернете.
В этой головоломке мне по-настоящему нравится то, что косу можно сплести, если руководствоваться общими принципами. Самый легкий способ решения настолько прост, что после того как вы его найдете, задача тут же перестанет быть головоломкой. Для этого достаточно следовать инструкциям.
Надо полагать, все умеют заплетать косу. Нужно провести левую прядь над центральной, затем правую над центральной, затем снова левую и т. д. На рисунке полоса 1 накрывает полосу 2, затем полоса 3 накладывается на полосу 1, которая теперь находится в центре. Далее полоса 2 (слева) накладывается на полосу 3 (в центре) и т. д.
Я уже говорил, что пряди в косе переплетаются шесть раз. Это подсказка. Давайте забудем на минуту, что три полосы соединены у верхних и нижних концов. Начните заплетать косу сверху. Наложите полосу 1 на полосу 2, затем полосу 3 на полосу 1 и сделайте еще четыре переплетения, пока не получите все шесть. (Это достаточно кропотливая работа, поэтому я рекомендую использовать пластиковую полосу, так как бумага может порваться.) Зажав шестое переплетение большим и указательным пальцами, вы получите нечто напоминающее причудливо скрученный узел, как показано на рисунке ниже.
Этот узел получился в результате того, что при каждом переплетении полос в верхней части в нижней происходило их безобразное скручивание. После шести переплетений то, что получилось слева от большого пальца, представляет собой схему нашего решения, а то, что справа, – просто ком пластика.
Что же делать дальше? Попытайтесь распутать свободной рукой тот бесформенный ком, который образовался с правой стороны. Если пропустить правый конец несколько раз через себя, полосы полностью распутаются. Поправьте косу так, чтобы «пряди» были сплетены равномерно. В конечном счете невозможная коса все же возможна.
Хотя это решение не очень изящное, но оно работает. Порой решение задачи сводится к выполнению самого простого действия. В задаче сказано сплести косу – так делайте это!
1. б) 1.
Все эти утверждения противоречат друг другу, а значит, истинным может быть не более чем одно из них. А если одно из утверждений истинно, то оно должно быть вторым, поскольку это действительно так.
2. а) равносторонний треугольник.
Если эта фигура – треугольник, то две из его сторон должны быть смежными сторонами квадрата, один из углов которого будет составлять 90 градусов. Следовательно, равносторонний треугольник, у которого все углы составляют 60 градусов, не может образоваться при наложении двух квадратов. На рисунке показано, какие фигуры могут получиться при разных способах наложения двух одинаковых квадратов.
3. г) 882 + 332 = 8833
Проанализируем цифры разряда единиц с каждой стороны уравнения, так как именно они скажут нам, какое уравнение правильное. Цифра разряда единиц 442 + 772 – 5, поскольку цифра разряда единиц 42 – 6, а цифра разряда единиц 72 – 9. Цифра разряда единиц 552 + 662 и 662 + 552 – 1, а цифра разряда единиц 992 + 222 – 5. Следовательно, все эти утверждения ложные. И наконец, нам необходимо проверить, действительно ли 882 + 332 = 7744 + 1089 = 8833.
4. г) 13.
Очевидно, что как минимум два переключателя должны быть в положении «включен». Два переключателя в положении «включен» и три переключателя в положении «выключен» можно установить только одним способом: выключен, включен, выключен, включен, выключен. Три переключателя в положении «включен» и два переключателя в положении «выключен» можно расположить шестью разными способами. Четыре переключателя в положении «включен» и один переключатель в положении «выключен» могут быть установлены пятью разными способами. И наконец, пять переключателей в положении «включен» могут располагаться одним способом. Итого 1 + 6 + 5 + 1 = 13 способов.
5. д) 42.
Рассмотрим столбец тысяч. Буквами обозначены разные цифры. Поскольку S = 3, M может быть 0, 1 или 2. Мы можем исключить 0 и 1, так как S должно отличаться от М только на 1 перенос из предыдущего разряда. Следовательно, M = 2 при условии переноса 1 из столбца сотен. A = 9, потому что только при этом значении можно перенести 1 в следующий разряд, если из разряда десятков также был сделан перенос 1. Таким образом, U должно обозначать 0. В столбце десятков N должно обозначать 8 с переносом 1; это не может быть 9, поскольку эта цифра уже использовалась. Остается O + Y = 13. Пары чисел, которые подходят для O и Y, – это 4 и 9 (или наоборот), 5 и 8 (или наоборот), а также 6 и 7 (или наоборот). Однако 8 и 9 уже использовались, так что это должен быть последний вариант: 6 × 7 = 7 × 6 = 42.
6. г) 3.
Это происходит только в случаях, когда показания на часах меняются с 09:59:59 на 10:00:00; с 19:59:59 на 20:00:00 и с 23:59:59 на 00:00:00.
7. г) 216.
Первые шесть положительных кубов – это 1, 8, 27, 64, 125 и 216. Очевидно, что 64 не может быть суммой трех положительных кубов, поскольку сумма всех положительных кубов меньших 64 равна 1 + 8 + 27 = 36. Аналогичным образом 125 не может быть суммой трех положительных кубов, поскольку максимальная сумма любых трех положительных кубов меньших 125 равна 8 + 27 + 64 = 99. Однако 27 + 64 + 125 = 216, а значит, 216 – это и есть наименьший куб, представляющий собой сумму трех положительных кубов.
8. в) 13-й.
Если первые три члена последовательности – это −3, 0, 2, то четвертый член – это −3 + 0 + 2 = −1. Следовательно, пятый член – 0 + 2–1 = 1 и т. д. Первые тринадцать членов этой последовательности: –3, 0, 2, –1, 1, 2, 2, 5, 9, 16, 30, 55, 101…