Аналогичные рассуждения позволяют сделать вывод, что номер последней словарной статьи должен начинаться с цифры 2, поскольку из всех перечисленных выше слов two – последнее по алфавиту. Однако это неправильный ответ, так как числа, начинающиеся с 2, но не являющиеся этим числом, будут расположены в словаре после числа 2. Существуют такие варианты для следующего обозначения искомого числа: trillion (1 000 000 000 000), billion (1 000 000 000), million (1 000 000), thousand (1000) и hundred (100). Слово trillion (1 000 000 000 000) последнее по алфавиту, а значит, первые два слова искомого числа – two trillion (2 000 000 000 000). Следующее слово в этом числе также должно быть two. Далее идут слова thousand (1000), two (2), hundred (100), two (2). Ответ – 2 000 000 002 202.
Первая нечетная словарная статья должна начинаться с 8, но, очевидно, это не 8, поскольку число четное. Варианты для следующего слова, обозначающего искомое число, – снова trillion (1 000 000 000 000), billion (1 000 000 000), million (1 000 000), thousand (1000) и hundred (100); ближе всего к началу алфавита находится слово billion (1 000 000 000). Следующие пять букв должны быть eight, а значит, возможны только такие варианты: eighteen (18), eighty (80), eight million (8 000 000), eight thousand (8000) или eight hundred (800). Побеждает eighteen (18). Продолжив, получим: million (1 000 000), eighteen (18), thousand (1000), eight (8), hundred (100), eighty (80). На этот момент наше число – 801 801 888 х, где х – последняя цифра. Число нечетное, значит, мы должны выбрать один из вариантов one (1), three (3), five (5), seven (7) и nine (90). Побеждает five (5).
Следовательно, ответ – 8 018 018 885.
Для того чтобы определить последнюю словарную статью, соответствующую нечетному числу, необходимо проделать то же самое. В итоге будет получено число 2 000 000 002 203.
ЗАДАЧА В ПРИДАЧУ: SEND MORE MONEY
Мы получили следующий результат:
Если в разряде тысяч есть перенос, то 1 + 9 + 1 = 1O (где О – заглавная буква «о»). Однако в этом случае О = 1, что невозможно, поскольку М = 1. Следовательно, в разряде тысяч нет переноса, а значит, О = 0.
Это нам только на пользу, потому что путаница между нолем и буквой «о» только мешает! Однако должен быть перенос в разряде сотен, так как в противном случае E + 0 = N, а значит, E = N, что невозможно, ввиду того что две буквы не могут быть обозначены одним и тем же числом. Теперь сумма выглядит так:
Я прибавил также х там, где должен быть перенос в столбце десятков. Если перенос есть, то х = 1, иначе х = 0. Я прибавил х, потому что это позволяет записать следующие три уравнения, соответствующие оставшимся столбцам.
Столбец сотен: E + 1 = N.
Столбец десятков: + N + R = 10 + E (10 представляет перенос).
Столбец единиц: D + E = Y + 10 х.
Если х = 0, то, подставив E + 1 вместо N во втором уравнении, получим:
E + 1 + R = 10 + E, что можно упростить до R = 9.
Этот результат невозможен, поскольку S = 9. Следовательно, х = 1, что дает нам три уравнения:
E + 1 = N
N + R = 9 + E
D + E = Y + 10
Подставив E + 1 вместо N во втором уравнении, получим E +1 + R = 9 + E и упростим выражение до R = 8.
У нас остается:
E + 1 = N
D + E = Y + 10
Цифры 0 и 1 уже использовались, значит, Y должно быть равным 2 или больше. Следовательно, D + E ≥ 12. Поскольку 9 и 8 уже задействованы, единственно возможные цифры для D и E – либо 6 и 7 (или наоборот), либо 5 и 7 (или наоборот).
Предположим, что это 6 и 7. E – это или 6, или 7. Но мы пришли к противоречию, так как E + 1 = N, а значит, N тоже равно 7, а разные буквы, по условиям задачи, не могут обозначаться одной цифрой. С другой стороны, если E = 7, то уравнение E + 1 = N говорит нам о том, что N = 8, но 8 уже занято буквой R.
Таким образом, D и E – это либо 5 и 7, либо 7 и 5.
Но E не может быть равным 7 по той же причине, что и выше, иначе это означало бы, что N = 8, а это невозможно. Получается, D = 7, E = 5, Y = 2 и N = 6.
Шаг 1. Буква T должна обозначать 1, поскольку сумма двух шестизначных чисел равна семизначному числу, которое начинается с 1. (Здесь мы можем не принимать во внимание роль четырехзначного числа, так как оно не может превратить общую сумму в семизначное число, начинающееся с цифры 2 или больше. Учитывая, что каждая буква представляет отдельную цифру, максимальное значение для DOUBLE + DOUBLE + TOIL – 987 543 + 987 543 + 6824 = 1 981 910.)
Шаг 2. Решение головоломок из разряда альфаметики требует повышенного внимания к переносу чисел. В каждом столбце может быть цифра 1, перенесенная из столбца справа. А при сложении в каждом столбце может получиться цифра 1, которую следует перенести в столбец слева.
Рассмотрим столбец, соответствующий разряду тысяч. Нам нужно сложить U + U + 1 (вместе с возможным переносом из суммы в столбце сотен), а ответ должен равняться числу, в котором есть буква U в столбце единиц.
Методом исключения можно сделать вывод, что буква U может обозначать только 8, если есть перенос, поскольку 8 + 8 + 1 + 1 = 18, или 9 – если переноса нет, так как 9 + 9 + 1 = 19. В обоих случаях 1 переносится в столбец 10 тысяч.
Шаг 3. Теперь проанализируем столбец 10 тысяч. Мы знаем, что сумма O + O + 1 равна числу, в столбце единиц которого есть О. Единственно возможное значение – О = 9, притом что 1 переносится в столбец сотен. А поскольку цифра 9 теперь занята, U = 8; согласно нашим вычислениям, перенос требуется и в столбце тысяч.
Шаг 4. В столбце сотен в ответе есть буква В в разряде единиц. И есть две возможные суммы – либо B + B + 9, либо (если в этом столбце есть перенос) B + B + 9 + 1. В первом случае В – это 1, а во втором В – 0. Поскольку буква T представляет 1, буква В должна иметь значение 0, и в этом столбце есть перенос 1.
Шаг 5. Значение D должно быть больше 5, но это не может быть 5, иначе R = 1, а это число уже занято. Следовательно, D и R могут иметь только такие значения: D = 6 и R = 3 или D = 7 и R = 5.
Аналогичным образом мы можем сократить возможные варианты значений E, L и I.
Остается шесть цифр, которые еще не выбраны: 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Буква E не может обозначать цифру 2, так как тогда L = 8, а цифра 8 уже занята; E также не может иметь значение 5, поскольку оно может быть у L.
Если E = 3, то L = 7, но эта комбинация невозможна при любом наборе значений D и R.
Если E = 7, L = 3 – у нас возникает та же проблема.
Если E = 6, то L = 4 и I = 5, но эта комбинация также невозможна при любом наборе значений D и R.
Однако если E = 4, L = 6 и I = 3, то D = 7 и R = 5. Вот и все.
Мы решим этот пример на умножение в столбик, разделив его на две части:
[1] EEO × O = EOEO и [2] EEO × O = EOO.
Начнем со второй. Согласно уравнению, произведение трехзначного числа EEO (множимое) на нечетное число О (множитель) равно трехзначному числу. Множитель не может составлять 1, потому что тогда множимое было бы таким же, как и ответ, а это не так. Множимое начинается с четного числа, а значит, оно должно иметь значение минимум 201. Следовательно, множитель не может быть равен 5 или большему числу, потому что 201 × 5 = 1005, а это четырехзначное число, тогда как наш ответ содержит только три цифры. И мы можем сделать вывод, что множитель равен 3. В этом случае первой цифрой множимого должна быть цифра 2, поскольку если бы это была цифра 4 или больше, то ответ снова был бы четырехзначным. Итак, теперь имеем:
[2] 2EO × 3 = EOO.
Цифра в разряде десятков множимого – четная, а цифра в разряде десятков ответа – нечетная. Умножение четной цифры на 3 дает четное число. Следовательно, эти расчеты имеют смысл только тогда, когда нечетное число переносится в результате умножения цифры в разряде единиц множителя на 3. Теперь для цифры единиц множимого возможны только варианты 5, 7 и 9, потому что 1 и 3 не дают переноса при умножении на 3. Если цифра в разряде единиц – 5, то переносится цифра 1 (поскольку 5 × 3 =15), а если цифра в разряде единиц – 7 или 9, перенести нужно цифру 2 (так как 7 × 3 = 21, а 9 × 3 = 27). Мы знаем, что перенесенное число должно быть нечетным, стало быть, цифра в разряде единиц множимого – 5. Итак:
[2] 2E5 × 3 = EOO.
Возможные варианты цифры в разряде десятков множимого – 0, 2, 4, 6 или 8. Но мы можем исключить 4 и 6, поскольку 245 × 3 = 735 и 265 × 3 = 795, а это противоречит тому, что ответ начинается с четной цифры. Следовательно, в качестве множимого могут выступать 205, 225 или 285.
Теперь проанализируем уравнение [1] с учетом того, что нам известно.
[1] Должно быть верным одно из следующих уравнений:
[a] 205 × O = EOEO;
[b] 225 × O = EOEO;
[c] 285 × O = EOEO.
Первая цифра ответа четная, а значит, это число должно быть больше 2000. Однако если множитель – 1, 3, 5 или 7, ответ в случаях [a], [b] и [c] меньше 2000. Таким образом, множитель – это 9. И тогда единственным вариантом, соответствующим уравнению, может быть вариант [c], поскольку ответ в случае [a] меньше 2000, а ответ в случае [b] – 2025, что противоречит условию, что вторая цифра должна быть нечетной. Итак:
[1] 285 × 9 = 2565.
Теперь можем подставить все цифры в пример:
Для начала целесообразно составить список названий чисел по количеству букв, из которых они состоят.