математического планирования эксперимента.
В 1926 году российский генетик С. Четвериков, основываясь на методах математической статистики, заложил основы популяционной генетики.
В настоящее время весь мощный аппарат математической статистики и теории вероятностей используется как в экспериментальной геронтологии, так и при построении геронтологических моделей.
Развитие теории сложных систем и применение этой теории к биологическим объектам происходили вполне независимо от развития и применения вероятностно-статистических методов. Первоначальные системные представления об организме не имели под собой никакой математической основы и отличались крайней метафизичностью.
Эти начальные системные представления об организме продолжали изменяться на протяжении всего периода бурного развития описательной биологии. Так, основатель «механики развития» немецкий эмбриолог В. Ру настойчиво продвигал представления о жесткой взаимосвязи и взаимовлиянии всех элементов развивающегося организма, доказывая, что именно эти взаимовлияния являются движущими силами развития.
Закономерности развития предопределили возможность и эффективность его математического описания с помощью теории графов – раздела математики, отдельными задачами которого занимался еще Л. Эйлер в конце ХVIII века. Основная терминология теории графов была разработана лишь к 1936 году в трудах немецкого математика Д. Кёнига, и только после этого началось ее бурное развитие и применение в основном в экономике и организации производства. Для геронтологии перспектива моделирования с помощью теории графов определяется тем, что старение можно полагать естественным этапом онтогенеза, в котором функциональное ослабление одних органов предопределяет функциональное ослабление других, причем так же, как и процесс развития, старение органов и систем происходит неравномерно.
Теорию сложных систем обычно тесно связывают с понятием «кибернетика», обозначающим науку об управлении в технике, обществе и биологии. Ее создали, видимо, в первой половине ХIХ века практически одновременно французский физик А. Ампер, который под кибернетикой подразумевал науку об управлении государством, и польский философ Б. Трентовский, называвший кибернетикой искусство управления народом. Отсутствие необходимого для развития кибернетики математического аппарата предопределило ее долгое забвение, продолжавшееся больше 100 лет. Только в 1948 году американский математик Н. Винер сделал следующий шаг – сформулировал проблему оптимального управления сложными системами, возродив понятие «кибернетика». В биологии основы кибернетики, по существу, были заложены и развиты как теория функциональных систем еще до Н. Винера отечественным ученым – академиком П. К. Анохиным.
В 1868 году английский физик-теоретик Д. Максвелл впервые сформулировал понятие о регуляторе, положив тем самым начало теории автоматического регулирования, которая легла в основу расчета технических управляющих систем и исследования сложных систем в живой и неживой природе. В первой четверти ХХ века в оригинальных работах русского физиолога А. Белова впервые были описаны отрицательные и положительные обратные связи в биологических системах. Эти связи Белов называл соответственно «плюс-минус» – и «плюс-плюс»-взаимодействиями. В дальнейшем выяснилось, что отрицательные обратные связи являются необходимым механизмом стабилизации не только в биологических, но и в любых других системах, а положительные обратные связи – необходимым механизмом развития систем.
В это же время русский врач и философ А. Богданов ввел в науку понятие «уровень организации», рассмотрел связь этого уровня с изменением и усложнением свойств системы, сделал серьезную попытку исследования причин кризисных явлений в системах. Оказалось, что кризисные явления вызваны переходными процессами в системах, причем в течение переходного процесса даже весьма кратковременные изменения в системах могут быть настольно значительными, что вызывают их гибель или приводят к появлению новых систем и признаков.
В конце 20-х годов ХХ века итальянский математик В. Вольтерра создал основы математической теории борьбы за существование, явившейся первым и очень существенным вкладом математики в экологию. В дальнейшем эта теория быстро переросла в более широкую «теорию гибели и размножения», в которой применяются как детерминистские, так и вероятностные модели.
Все эти работы составили предпосылки для создания общей теории систем. Хотя первая основополагающая работа такого рода была опубликована австрийским биологом Л. Берталанфи в 1950 году, можно считать, что создание общей теории систем и сегодня находится в самом начале предстоящего ей трудного пути. Тем не менее многие модели, отображающие отдельные свойства сложных систем, могут формироваться как аналоги моделей технических систем. К таким моделям, в частности, относятся некоторые геронтологические модели, описывающие зависимость вероятности смерти особи от времени, прошедшего с момента ее рождения, средней ожидаемой продолжительности дальнейшей жизни особи от ее возраста и т. п.
Демографические методы оценки скорости старения человека
Анализ возрастной смертности является общепризнанным методом оценки старения на уровне популяций еще со времени исследований Гомперца, показавшего основной закон старения: рост интенсивности смертности с возрастом по экспоненте.
Хотя формула Гомперца (Gompertz, 1825) первоначально была выведена чисто эмпирически, из статистики смертности, в настоящее время она может быть выведена теоретически.
Из общепринятого определения «старение – это снижение общей жизнеспособности с возрастом» и представления о том, что это является самопроизвольным, вероятностным процессом, можно рассматривать снижение жизнеспособности «X» с возрастом как процесс, аналогичный процессу радиоактивного распада, когда количество элементов уменьшается с течением времени и зависит только от их присутствия в данный момент:
dX/dt = -k X,
где k – коэффициент пропорциональности.
Соответственно, для времени «t» количество оставшихся жизнеспособных элементов будет следующим:
Х(t) = Хо ехр(-k t).
В то же время общая уязвимость и в конечном счете общая смертность для популяции будет обратно пропорциональна жизнеспособности:
m = 1/X,
что приводит расчет к известной формуле Гомперца-Мейкема (Gompertz-Makeham) с общепринятыми коэффициентами и поправкой – коэффициентом Мейкема:
m(t) = Ro ехр (k t) + A.
Для оценки скорости старения используют:
• показатель «m-A» (интенсивность смертности без фонового внешнего компонента «A»);
• коэффициент возрастной смертности «k», определяющий скорость нарастания смертности, зависимой от старения;
• коэффициент «Ro», определяющий начальный уровень смертности и характеризующий «начальный уровень старения».
Также можно использовать приращение интенсивности смертности «d(m)», которое нивелирует константу «A»; при этом показатель «d(m)» лучше отражает собственно скорость старения, чем «m-A», так как в последнем случае используется среднее значение коэффициента «A», который в реальности может значительно меняться для различных возрастных периодов.
Идеальным примером графика Гомперца-Мейкема можно считать график для Нидерландов (1950), близкий к прямой, совпадающий с реальной кривой интенсивности смертности «m» для 20–90 лет и с отклонением вниз от расчетной кривой Гомперца-Мейкема для реальной кривой смертности для возрастов долгожителей. До 20 лет процессы роста и развития приводят к сложной кривой интенсивности смертности.
Рис. 26. Изменения интенсивности смертности с возрастом человека. По вертикали – интенсивность смертности (логарифмический масштаб). По горизонтали – возраст доживших. Реальная кривая – жирная линия; расчетная кривая при обработке данных по формуле Гомперца-Мейкема – тонкая линия
Рис. 27. Изменения интенсивности смертности с возрастом для разных стран (1930–1939). Снизу вверх: Австралия (жирная линия), Канада, Франция, Финляндия
В большинстве случаев, однако, имеют место графики интенсивности смертности разной формы для разных стран и разных периодов истории, ввиду различий внешних влияний на смертность (коэффициент «А» формулы Гомперца-Мейкема).
Использование показателей смертности (рис. 29) без внешнего коэффициента «m-A» и использование приращения смертности «d(m)», также убирающего внешние влияния («А») на смертность, показывает, что если для графика общей смертности «m» прямая форма регистрируется для 55–75 лет, то для графиков «m-A» и «d(m)» – для 20–90 лет.
Рис. 28. Изменения показателя ОПЖ для разных стран (1933–2017)
Рис. 29. Изменения различных показателей интенсивности смертности с возрастом, Дания (1930–1939). По вертикали – параметры, логарифмический масштаб. По горизонтали – возраст доживших. Сверху вниз: расчетная и реальная кривые интенсивности смертности (тонкая и жирная линии); разница общей интенсивности смертности и внешней компоненты: «m-А» (средняя линия); приращение интенсивности смертности «d(m)» (нижняя линия)
Отмечаются и другие особенности графика смертности.
Вклад внешнего коэффициента «A» в общую смертность «m» с возрастом резко снижается, так как он не может уже «соперничать» с экспонентой нарастания смертности по причинам высокой смертности от собственно старения; кроме того, типичная «ступенька» в 20–40 лет для общей смертности определяется также во многом константой «А