S, а в точке D тонет красивая девушка (рис. 30). Вы бегаете по земле быстрее, чем плаваете по воде. Вопрос: где войти в воду, чтобы как можно скорее добраться до утопающей? Бежать к воде в точку А и потом чертовски быстро плыть? Нет, конечно. Но бежать прямо к несчастной и входить в воду в точке J – это тоже не самый быстрый путь. Конечно, в этих обстоятельствах спасателю глупо анализировать и вычислять, но маршрут, занимающий минимум времени, имеется, и его можно рассчитать: это компромисс между прямой дорогой через точку J и дорогой, где меньше всего воды, через точку N. Так же и со светом при вхождении в воду – траектория наименьшего времени проходит между точками J и N, скажем, в точке L.
Еще одно световое явление, о котором я хотел бы коротко упомянуть, это мираж. Когда едешь по сильно разогретому солнцем шоссе, то иногда кажется, что видишь на дороге лужи. На самом деле вы видите небо, а в нормальных условиях, если вы видите небо на дороге, то это потому, что дорога покрыта лужами (частичное отражение света от одной поверхности). Но как вы можете увидеть небо на дороге, если на ней нет воды? Надо вам сказать, что свет распространяется в прохладном воздухе медленнее, чем в теплом, и, чтобы увидеть мираж, наблюдатель должен находиться в прохладном воздухе, слой которого расположен над слоем горячего воздуха, непосредственно над поверхностью дороги (см. рис. 31). Каким образом можно смотреть вниз и видеть небо, будет понятно, если найти траекторию наименьшего времени. Займитесь этим дома – об этом занятно подумать и это очень легко выяснить.
Рис. 31. Нахождение самого быстрого пути объясняет, как устроен мираж. В теплом воздухе свет распространяется быстрее, чем в холодном. Кусочек неба представляется лежащим на дороге, так как часть света от неба попадает в глаза, отразившись от дороги. Нам кажется, что мы видим небо на дороге только в одном случае, когда оно отражается в воде. Поэтому мираж кажется нам водой.
В рассмотренных нами примерах (свет отражается от зеркала и свет проходит через воздух, а затем через воду) я сделал некоторое допущение: для простоты я рисовал разные пути распространения света в виде ломаных линий – двух прямых, расположенных под углом друг к другу. Но мы не должны принимать как должное то, что свет распространяется по прямой в однородной среде, например в воде или в воздухе. Даже это объясняется общим принципом квантовой теории: вероятность события вычисляется при помощи сложения стрелок для всех способов, которыми могло произойти событие.
Итак, следующее, что я хочу показать вам, – это как, складывая стрелочки, увидеть, что свет распространяется по прямой. Поместим источник и фотоумножитель соответственно в точках S и Р (см. рис. 32) и рассмотрим все пути – самые разнообразные кривые, по которым свет может попадать из источника в детектор. Потом мы нарисуем маленькую стрелку для каждого пути – и мы хорошо усвоили наш урок!
Для каждой кривой, например для траектории А, существует соседняя траектория, которая намного прямее и ощутимо короче, – т. е. движение по ней занимает намного меньше времени. Но там, где траектории становятся почти прямыми – например в С, соседний, более прямой путь занимает почти такое же время. Вот там, где стрелки складываются, а не взаимно уничтожаются, там и идет свет.
Важно обратить внимание на следующее: единственная стрелка, соответствующая прямолинейной траектории через точку D (рис. 32), не может объяснить вероятности того, что свет попадет из источника в детектор по такому пути. Близкие, почти прямые траектории (через С и Е, например) также играют важную роль. Поэтому свет на самом деле распространяется не только по прямой. Он «обнюхивает» соседние траектории вокруг нее и использует небольшую часть ближайшего пространства. (По этой же причине и зеркало должно быть достаточного размера, чтобы нормально отражать: если зеркало слишком мало для пучка соседних траекторий, свет рассеивается во многих направлениях, куда бы вы ни поставили зеркало.)
Рис. 32. При помощи квантовой теории можно объяснить, почему кажется, что свет распространяется по прямой. Изучение всех возможных траекторий показывает, что для каждой изо-гнутой траектории имеется близлежащая траектория, значительно более короткая, следовательно, требующая меньше времени (и существенно отличающаяся направлением стрелки). Только траектории, близкие к прямой траектории D, имеют стрелки, указывающие почти в одном направлении, так как у них почти одинаковое время. Важны только эти стрелки, так как из них складывается большая результирующая стрелка.
Давайте более тщательно исследуем этот пучок траекторий света, поместив источник в S,фотоумножитель в Р, а между ними – два кубика, чтобы траектории света не расходились слишком далеко (см. рис. 33). Теперь поставим второй фотоумножитель в Q, под Р, и опять будем считать, ради простоты, что свет может попасть из S в Q только по ломаным траекториям, состоящим из двух прямых отрезков. Что происходит? Когда промежуток между кубиками достаточно широк и может пропустить много соседних траекторий в Р и в Q, стрелки для траекторий, ведущих в Р, складываются (потому что все пути в Р занимают почти одинаковое время), а стрелки для траекторий, ведущих в Q, взаимно уничтожаются (потому что между этими траекториями имеется значительная разница во времени). Так что фотоумножитель в Q не щелкает.
Рис. 33. Свет распространяется не только по прямой, но и по близлежащим траекториям. Когда два кубика раздвинуты на-столько, чтобы между ними поместились эти соседние траектории, фотоны, как им и положено, летят в Р и почти никогда не попадают в Q.
Но по мере сближения кубиков в какой-то момент детектор в Q начинает щелкать! Когда просвет почти закрыт и остается только несколько ближайших траекторий, стрелки траекторий, направленных в Q, также складываются, потому что и между ними почти не остается разницы во времени (см. рис. 34). Конечно, обе результирующие стрелки невелики, так что через такую маленькую дырочку ни в каком направлении не проникнет много света, но детектор в Q щелкает почти так же часто, как и в P?! Следовательно, когда вы стараетесь слишком сильно сжать пучок света, чтобы заставить его распространяться только по прямой, он отказывается подчиняться и начинает расширяться[7].
Итак, представление о том, что свет распространяется прямолинейно, – это приближенное представление, которым удобно пользоваться при описании явлений знакомого нам мира; оно подобно грубому приближению, согласно которому угол отражения от зеркала равен углу падения.
Рис. 34. Когда просвет сжат настолько, что остается только не-сколько траекторий, в Q попадет почти столько же просочившегося сквозь узкую щель света, сколько и в Р. Это связано с тем, что осталось слишком мало стрелок, соответствующих траекториям, ведущим в Q, чтобы они могли нейтрализовать друг друга.
Так же, как мы смогли при помощи некоторой хитрости заставить свет отражаться от зеркала под многими углами, мы можем похожим приемом заставить свет идти из одной точки в другую многими путями.
Прежде всего, чтобы упростить ситуацию, я нарисую вертикальную штриховую линию (см. рис. 35) между источником света и детектором (линия ничего не обозначает, это просто искусственная линия) и сообщу, что мы будем рассматривать только траектории, изображенные ломаными, которые состоят из двух отрезков. График, показывающий время для каждой траектории, выглядит так же, как и в случае с зеркалом (но на этот раз я поверну его боком): кривая начинается в А, наверху, затем она отклоняется влево, потому что траектории в середине короче и движение по ним занимает меньше времени. Наконец, кривая идет назад, вправо.
Рис. 35. Анализ всех возможных траекторий из S в Р упрощается, если учитывать только ломаные линии с одним изломом (лежащие в одной плоскости). Результат такой же, как и в более сложном, реальном случае: получается кривая времени с минимумом в том месте, где набегает наибольший вклад в результирующую стрелку.
Теперь немного развлечемся. Давайте «перехитрим свет» так, чтобы движение по всем траекториям занимало одинаковое время. Как это сделать? Каким образом самый короткий путь, через М, может занять точно такое же время, как и самый длинный путь, через А?
Мы знаем, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе; медленнее он распространяется и в стекле (с которым нам гораздо проще иметь дело!). Поэтому, поместив стекло нужной толщины на кратчайшем пути, проходящем через М, мы можем сделать так, что время для этой траектории будет в точности равно времени для траектории, проходящей через А. Траектории, соседние с М, чуть длиннее, и там не потребуется такое толстое стекло (см. рис. 36). Чем ближе мы подходим к А, тем тоньше должно быть стекло, которое надо ставить, чтобы замедлить свет. Если мы все тщательно рассчитаем и подберем для каждой траектории стекло нужной толщины, чтобы увеличить время движения, то все интервалы времени получатся одинаковыми. Когда мы нарисуем стрелки для каждого пути, по которому мог бы пойти свет, мы увидим, что нам удалось одинаково развернуть все стрелки – а ведь этих стрелочек миллионы – и конечный результат будет представлять собой необыкновенно длинную, просто громадную результирующую стрелку! Вы, конечно, догадались, что я описываю: это фокусирующая линза. Уравнивая все интервалы времени, мы можем фокусировать свет – мы можем получить очень высокую вероятность того, что свет попадет в определенную точку, и очень низкую – что он появится где-нибудь еще.
Рис. 36. Природу можно «обмануть», замедлив свет, идущий по более коротким траекториям. Для этого используется стекло такой толщины, чтобы движение по всем траекториям занимало одно и то же время. При этом все стрелки указывают в одном направлении и дают огромную результирующую стрелку – очень много света! Такое стекло, служащее для увеличения вероятности того, что свет из источника соберется в одной точке, называется фокусирующей линзой.