ются (монахи, женщины, дети). Разделим круг на две части: вверху расположим тех, кто бреется сам, внизу – тех, которых бреют. Первая часть приказа – «брить всякого, кто сам не бреется», разрешает ему брить и того, кто сам бреется, то есть самого себя. Поэтому брадобрея (ББ) можно поместить в верхней части круга.
Зюл. Теперь нарисуем тот же круг, в котором нижняя часть разбита на две части. Слева распложены те, которых бреет ББ, а справа – те, которых бреют другие. Вторая часть приказа – «не брить, тех, кто сам бреется», разрешает ему брить тех, кто слева в нижней части круга. Сам он может быть побрит приятелем и располагается справа внизу. Если одновременно действуют оба поручения, то ББ нет места в круге.
Дол. И он может быть только за пределами круга. Значит, он не бреется вообще: он – или монах, или подросток, или женщина.
Л. Д. А если в деревне одни только бреющиеся мужчины?
Дол и Зюл. Тогда таких брадобреев нет. Вопрос некорректный! – сказали вместе Дол и Зюл.
Казалось, Л. Д. был удовлетворён ответами учеников, но глаза за стёклами его очков опять лукаво заблестели.
Л. Д. Неплохо, неплохо! Посмотрим теперь, как вы справитесь с парадоксом «Крокодил и Женщина».
На берегу стояла египтянка с ребёнком. Неожиданно Крокодил выпрыгнул из воды и выхватил ребенка.
Женщина плакала, умоляла Крокодила вернуть ребёнка. Крокодил был растроган и тоже плакал (крокодильими слезами, конечно).
– Я дам тебе шанс получить ребёнка, – сказал он. – Угадай, отдам я тебе его или нет. Ответишь правильно – верну ребёнка, неправильно – не верну!
Женщина подумала и ответила:
– Ты не отдашь мне ребёнка!
Что ответил Крокодил?
Дол. Крокодил ответил:
– Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребёнка, – правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное – неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребёнка по уговору.
Парадокс, к сожалению, печально разрешён.
Л. Д. Не совсем так. У матери могут быть другие рассуждения – попробуй ты, Зюл.
Зюл. Женщина убеждена в противоположном:
– Если я сказала правду, ты отдашь мне ребёнка по уговору. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребёнка, то ты должен его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.
Парадокс разрешён в пользу матери.
Л. Д. Что же должен сделать Крокодил?
Дол, Зюл. Обещание внутренне противоречиво, поэтому оно невыполнимо в силу законов логики.
Л. Д. А если бы женщина ответила – ты отдашь мне ребёнка?
Дол, Зюл. Тогда бы не было парадокса!
Л. Д. А ну-ка расскажите, ребята, какие ещё парадоксы вы знаете?
Дол, Зюл. По вашему заданию, учитель, мы познакомились с очень многими логическими и физическими парадоксами: парадокс кучи, парадокс Ахиллеса и Черепахи, парадокс рюмки водки, парадокс всемогущего существа, парадокс лысого[5].
Мы выяснили, что существуют неразрешимые парадоксы и противоречия, но есть и такие, которые легко разрешаются в реальной жизни.
Л. Д. Какой парадокс вам нравится больше всего?
Зюл. Парадокс слуги. «Прикажите слуге не слушаться Вас». Не слушаясь вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, не слушаясь вас.
Дол. Мне нравится парадоксальное высказывание Бернарда[6]: «Не поступай с другим так, как хочешь, чтобы он поступил с тобой, у вас могут быть разные вкусы».
А у вас есть любимый парадокс, учитель?
«Ахиллес никогда не догонит черепаху»
Л. Д. Король неразрешимых парадоксов – высказывание Евбулита из древней Греции: «Я лгу», – торжественно сказал Л. Д., гордо подняв голову. – Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжёт, он говорит правду, и наоборот.
– Ты сказал, вернее – Дол с Зюлом сказали, что бывают разрешимые парадоксы.
– Бывают ли такие высказывания, которые кажутся парадоксальными, но которые можно объяснить? Помнишь, в одном из рассказов мы говорили, что капитан Александр вышел из «неизвестного известного порта»? Определения «известный» и «неизвестный» противоречат друг другу, но оба относятся к одному конкретному порту. Так «известным» был этот порт или «неизвестным»? Порт был известным в том смысле, что о нём многие слышали, но сейчас никто уже не может вспомнить, из какого порта в тот раз вышел на своем корабле капитан Александр. И в этом смысле – порт неизвестен. Как видишь, после соответствующего объяснения, определения приобретают разный смысл, перестают противоречить друг другу и поэтому могут совмещаться.
Таким же образом можно было бы разрешить парадокс брадобрея. Сформулируем его так: «Брадобрею приказали брить всякого, кто сам не бреется, и не брить тех, кто сам бреется у себя дома и в любом другом помещении, но не в брадобрейной». Брадобрей сможет сам побриться у себя в брадобрейной.
– А можно сказать так – «известный неизвестный порт»?
– Возьмем порт Лисс или порт Зурбаган. Оба порта стали известны из книг Александра Грина, русского писателя, которого ты, конечно, знаешь, а до того – и Лисс, и Зурбаган были никому не известны.
– Я тоже могу придумать парадоксы: «маленький большой великан», «строгий нестрогий капитан Александр», «вкусная невкусная каша»…
– Это, конечно, очень похоже на парадоксы. Но скорее это «оксюмороны» (оксюморон – умная или остроумная глупость). Слово, конечно, довольно заковыристое, но тебе неплохо было бы запомнить его, если мы обсуждаем парадоксальные изречения. Оксюморон – это сочетание слов противоположного значения (сочетание несочетаемого), способ разрешения неразрешимых ситуаций. Вот тебе примеры оксюморонов: «известный неизвестный и неизвестный известный порты», о которых мы говорили, «обыкновенное чудо», «праведная ложь», «конец вечности», «назад в будущее», «вверх по лестнице, идущей вниз».
– «Красивая некрасивая девочка»…
– Кого ты имеешь в виду?
– А помнишь, ты читал мне стихи о некрасивой девочке?[7] О том, какая она живая и весёлая. И как она всем понравилась.
– Это девочка из стихотворения Заболоцкого «Некрасивая девочка». Молодчина, хорошо!
– Ещё – «правдивый взгляд лжеца».
– Это не оксюморон, это парадокс. Объясни, в чем парадокс.
– Ты говорил, что глаза лжеца всегда его выдают. И говорят правду о том, что он лжёт[8].
– Прекрасно. Здорово придумано. «Глаза лжеца говорят правду: «Я – лжец»». Это очень похоже на парадокс Евбулита из Милета, о котором говорил Его Преподобие с молодыми великанами Долом и Зюлом.
Но давай продолжим, потому что наши герои как раз сейчас обсуждают другие, тоже очень интересные вопросы.
Беседа вторая. Арифметика
Л. Д. С логикой у вас всё в порядке, дорогие друзья. Посмотрим, как вы справитесь с арифметикой. Вспомним считалочку Алисы[9]: четырежды пять – двенадцать, четырежды шесть – тринадцать и т. д. Эта считалочка даёт Алисе «таблицу умножения» до двадцати. Расскажите, как устроена эта парадоксальная считалочка и продолжите её от двадцати и далее. Вам нужно сделать то, с чем Алиса не справилась.
Дол. Давай, Зюл. Твоя очередь.
Зюл. Детям нужно максимально упростить таблицу умножения. Чтобы было проще запоминать. Для этого её нужно немного изменить, сохранив принципы считалочки Алисы. Вот эта таблица умножения: четырежды пять – пятнадцать,
четырежды шесть – шестнадцать,
четырежды семь – семнадцать.
Пропустим несколько строчек. Далее будет:
четырежды десять – сто десять,
четырежды одиннадцать – сто одиннадцать.
Далее:
четырежды двадцать – сто двадцать,
четырежды двадцать один – сто двадцать один.
Кроме того, надо расширить первую, самую простую считалочку, покажу это на примере умножения на три:
трижды пять – пятнадцать,
трижды шесть – шестнадцать и т. д.
Л. Д: Забавная таблица умножения. И ты утверждаешь, что эта смешная считалочка имеет какой-то смысл?
Зюл. Конечно, о, мой высокочтимый учитель!
Далее Зюл рассказал, как устроена эта таблица умножения[10].
Если ты любишь математику, тебе будет интересно познакомиться с этой парадоксальной арифметикой и попытаться понять, как она устроена.
Л. Д. Молодец, Зюл. Ты сумел правильно разобраться в считалочке Алисы. И даже дополнить её. Как видите, ребята, даже в такой простой дисциплине, как арифметика, которую изучают дети младших классов, мы с вами можем найти очень много интересного и даже неожиданного.
Зюл. Да нет же, учитель. Считалочка Алисы – вовсе не арифметика. В ней нет никакого смысла. И доказательство моё ровно ничего не доказывает. Это просто игра ума, шутка.
Л. Д. Не скромничай, Зюл. В твоем доказательстве нет логических противоречий. Это арифметический парадокс. После того как доказана истинность шуточной считалочки, она становится полноправной таблицей умножения. Хотя кажется полной ерундой. Друзья мои, мы с вами занимаемся не парадоксами, а Парадоксизмом – современным движением, основанном на использовании парадоксов в науке и творчестве. Одним из его положений является: «Нет бессмысленных высказываний. Любое бессмысленное высказывание имеет смысл». Например: «Человек создан для счастья, как пингвин для полета». Ну чего вы хохочете? И наоборот – «Любое осмысленное высказывание не имеет смысла», например: «Любить любовь любовью люби». Сами разберётесь, что означает и то, и другое. Наш лозунг: «Всё возможно, невозможное – тоже». Мы переводим невозможное в возможное, преобразуем ненормальное в нормальное, объясняем необъясняемое. Когда-нибудь немного позже мы поговорим о том, как важно стремиться к невозможному. А пока я попробую повеселить вас примерами забавных парадоксизмов: