Книга 1. Звезды свидетельствуют — страница 4 из 20

Неудачные попытки датировок АльмагестаПричины неудачНаш новый подход и краткое изложение результатов

1. Попытка датировать Альмагест сравнением с расчетными каталогами по движению наиболее быстрых звезд

1.1. Как сравнить каталог Альмагеста с расчетными каталогами

В главе 1 мы привели алгоритм расчета современного звездного неба «в прошлое». Таким образом, на данный момент мы имеем в своем распоряжении каталог Альмагеста, составленный в эклиптикальных координатах в некоторую неизвестную эпоху t_A, и совокупность {К(t)} расчетных звездных каталогов. Они отражают реальный вид звездного неба, рассчитанный нами на компьютере, в произвольный момент времени t. Попробуем определить искомое значение даты t_A, то есть эпоху составления каталога Альмагеста. Для этого можно начать со следующей вроде бы простой идеи. Попытаемся сравнить положения отдельных звезд в Альмагесте с их положениями в расчетных каталогах К(t), после чего, постараемся выбрать в качестве оценки даты t_A такое значение t*, при котором данные Альмагеста и каталога К(t*) согласуются наилучшим образом.

Не уточняя пока критериев качества такого согласования, выясним, что значит «сравнить Альмагест и каталог К(t)» при некотором t. Для этого надо сначала выбрать в каталоге Альмагеста и в каталоге К(t) одни и те же координаты. При указанном сравнении год t выступает в качестве предположительной датировки наблюдений, лежащих в основе каталога Альмагеста. Поэтому для того, чтобы сравнить координаты звезд в Альмагесте с их координатами в расчетном каталоге, необходимо совместить эклиптику Альмагеста с эклиптикой расчетного каталога К(t).

Однако такое наложение позволит сравнивать только широты звезд. Нам же потребуется сравнивать также и долготы. Другими словами, нам нужно наложить «поточечно» звездный атлас Альмагеста на реальный звездный атлас эпохи t, в предположении, что t — истинное время наблюдений автора Альмагеста. Для этого необходимо указать на эклиптике Альмагеста точку весеннего равноденствия для эпохи t. Эту точку мы выберем так, чтобы средняя ошибка в долготе зодиакальных звезд Альмагеста равнялась нулю. Отметим, что при сравнении с долготами соответствующих звезд в каталоге К(t), мы пользуемся таблицей традиционных отождествлений звезд Альмагеста со звездами современного неба, приведенной в [1339]. Выбрать такую точку равноденствия не составляет труда. Поскольку известно [1040], [1339], что для t = 18,4, то есть для 60 года н. э., она совпадает с началом знака-дуги Овна на эклиптике Альмагеста, а при изменении года t смещается со скоростью приблизительно 49,8″ в год — со скоростью прецессии.

Выбирая точку весеннего равноденствия на эклиптике Альмагеста указанным способом, — являющимся оптимальным в статистическом смысле, — мы все же совершаем некоторую ошибку. Ее можно было бы избежать, ограничившись лишь сравнением широт звезд и вообще не сравнивая их долготы. Именно так мы и поступим ниже, в главах 3–5. Там мы проанализируем широты и долготы по отдельности. Рассуждения же настоящего раздела носят предварительный характер.

1.2. Попытка датировать каталог Альмагеста по собственным движениям отдельных звезд

Выберем для сравнения девять наиболее быстрых звезд, указанных, согласно [1339], в Альмагесте. Это звезды, скорость собственного движения которых превышает 1″ в год. Вот их список:

α Cent (969) — 4,08″ в год,

о² Eri (779) — 3,68″ в год,

α Воо (110) = Арктур — 2,28″ в год,

τ Cet (723) — 1,92″ в год,

α СМа (818) = Сириус — 1,33″ в год,

γ Ser (265) — 1,32″ в год,

ι Per (196) — 1,27″ в год,

α CMi (848) = Процион — 1,25″ в год,

η Cas (180) — 1,22″ в год.

Все эти звезды входят в Альмагест, согласно традиционным отождествлениям [1339]. Их номера Байли в сквозной нумерации каталога Альмагеста указаны в скобках. Изобразим каждую из этих звезд Альмагеста в виде светлых кружков, рис. 3.1 — рис. 3.8. Звезду α Cent мы изображать не стали, так как координаты этой очень южной звезды даны в Альмагесте с огромной ошибкой в 8 градусов. На рис. 3.4, кроме звезды 779 из Альмагеста, показаны также соседние звезды 778 и 780 и траектории реальных звезд с номерами 1332, 1362, 1363 из каталога [1197]. Итак, осталось восемь звезд.

Рассмотрим теперь небольшие окрестности каждой из этих восьми звезд в звездном атласе Птолемея. Будем пользоваться при этом координатами звезд, указанными в Альмагесте. Каждая из этих окрестностей содержит одну из перечисленных восьми быстрых звезд. Кроме того, мы считаем, следуя [1339], что все эти восемь быстрых звезд Птолемей действительно наблюдал, и что они действительно присутствуют в его каталоге.

Теперь для каждого момента времени t наложим описанным выше способом звездный атлас, построенный по расчетному каталогу К(t) и отражающий состояние реального неба в эпоху t, на звездный атлас Птолемея, построенный по Альмагесту. Изобразим среди звезд Альмагеста наши восемь быстрых звезд.

Способ наложения расчетного атласа К(t) на атлас Птолемея зависит от выбора эпохи t. Кроме того, каждая из восьми быстрых звезд меняет свое положение относительно других звезд расчетного каталога К(t) при изменении t. Поэтому изображение этих звезд на атласе Птолемея будет также зависеть от времени t. Таким образом, на атласе Птолемея появятся восемь траекторий, соответствующих смещению указанных восьми быстрых звезд при изменении t. Эти траектории изображены на рис. 3.1 — рис. 3.8. Подчеркнем, что пока мы не учитываем и не компенсируем систематическую ошибку в положении звезд, которую, как оказывается, совершил составитель Альмагеста. Об этой ошибке мы подробно будем говорить ниже.

Рис. 3.1. Движение реального Арктура рядом с его положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем.

Рис. 3.2. Движение реального Сириуса рядом с его положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем.

Рис. 3.3. Движение реального Проциона рядом с его положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем.

Рис. 3.4. Движение реальной звезды о² Eri и ξ Eri в сравнении с данными Альмагеста. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем. Номера звезд указаны по современному каталогу [1197].

Рис. 3.5. Движение реальной звезды η Cas рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем.

Рис. 3.6. Движение реальной звезды ι Per рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем.

Рис. 3.7. Движение реальной звезды τ Cet рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем.

Рис. 3.8. Движение реальной звезды γ Ser рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная Птолемеем. Номера звезд указаны по современному каталогу [1197].

В какие же моменты времени t рассматриваемые сейчас нами реальные быстрые звезды ближе всего подходят к своим изображениям на атласе Птолемея?

Вообще говоря, для различных звезд эти моменты времени разные. Для восьми перечисленных звезд обозначим их t₁, t₂…, t₈. Если окажется, что все значения t_i (1 ≤ t ≤ 8), или хотя бы значительная их часть, близки друг к другу и к некоторому усредненному значению t*, то это будет сильный довод в пользу того, что истинное время наблюдений автора Альмагеста близко к t*.

Однако, этого не происходит. В самом деле, значения t_i хаотически разбросаны по интервалу времени -70 ≤ t ≤ 30, то есть от 1000 года до н. э. и до 9000 года н. э.! Разброс слишком велик. Сведем для наглядности результаты в табл. 3.1. Присутствующий в таблице разброс индивидуальных датировок t_i отнюдь не удивителен. Дело в том, что каждая из рассматриваемых восьми звезд включена в Альмагест с некоторой, довольно значительной, ошибкой.

Таблица 3.1. Приблизительные датировки каталога Альмагеста по собственному движению восьми наиболее быстрых из видимых невооруженным взглядом звезд неба.

Представление о возможном значении этой ошибки для отдельной звезды дает величина среднего дугового отклонения в том созвездии, куда входит данная звезда. Под дуговым отклонением здесь имеется в виду отклонение положения звезды в Альмагесте от истинного, расчетного положения. Строго говоря, указанная средняя ошибка зависит от предположенной датировки Альмагеста. Например, из-за собственных движений звезд. Однако звезды неба в подавляющем большинстве почти неподвижны. Оказывается, что величина этой средней ошибки очень слабо зависит от эпохи, на которую рассчитываются координаты звезд. В пределах интересующей нас точности этой зависимостью можно пренебречь.

Для подсчета средней ошибки мы использовали таблицу сравнений положений звезд в Альмагесте с истинными положениями этих же звезд на 130 год до н. э., содержащуюся в труде Петерса и Кнобеля [1339] (то есть рассчитанными на эпоху «античного» Гиппарха). Нарисуем вокруг точки, изображающей быструю звезду в Альмагесте, ее «круг точности» с радиусом, равным средней ошибке для созвездия, содержащего данную звезду, рис. 3.4 — рис. 3.8. Проекция этой окружности на траекторию расчетной звезды, отражающую движение реальной быстрой звезды по небу, дает представление о возможной величине отклонения индивидуальной датировки t_i по данной звезде от истинной даты составления каталога. Заметим при этом, что неизвестные нам индивидуальные ошибки измерения звезд могут значительно отличаться от средней ошибки. Для именных звезд — Арктура, Проциона, Сириуса — в качестве радиуса круга точности взято 10′, то есть цена деления шкалы каталога Альмагеста, рис. 3.1 — рис. 3.3.

1.3. Почему датировка Альмагеста по движению индивидуальных звезд не дает надежного результата

В этой ситуации естественно возникает вопрос: может быть, результату по одной, или нескольким, из перечисленных восьми звезд мы должны доверять больше, чем по остальным звездам? Тогда в качестве оценки даты наблюдений Птолемея мы должны были бы взять датировку именно по этой звезде, или по этим звездам, а датировки по другим отбросить как недостоверные. В качестве таких «надежных» звезд естественно взять те звезды, координаты которых в Альмагесте наиболее точны. Но как их выбрать?

В некоторых работах предлагалось оценивать точность измерений Птолемея для каждой из рассматриваемых звезд, исходя из расчетной дуговой невязки для данной звезды, то есть, пользуясь последней колонкой в приведенной таблице. Другими словами, предлагалось считать, скажем, что координаты звезды о² Eri измерены Птолемеем с точностью 5′, а координаты Арктура — с точностью 40′. Именно так поступили авторы работы [273] Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская. Они пытались датировать Альмагест по собственным движениям и работали, в частности, с тем же списком из 9 быстрых звезд. При таком подходе датировка получится близкая к скалигеровской — 50 год до н. э. См. табл. 3.1. Оценка возможной ошибки этой датировки — отдельный вопрос, который мы здесь пока не обсуждаем. Мы вернемся к нему ниже. Забегая вперед, скажем лишь, что возможную ошибку своего метода Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская в работе [273] оценили совершенно неверно.

Но при таком подходе сразу же возникают следующие вопросы. Первый: как могло получиться, что из девяти рассматриваемых звезд все три звезды первой величины, — снабженные к тому же собственными именами в тексте каталога: Арктур, Сириус, Процион, — Птолемей измерил якобы крайне грубо, а именно — с ошибками порядка целого градуса? А вот тусклую и плохо заметную звезду о² Eri он измерил почему-то исключительно точно. С ошибкой всего лишь 5′! Поясним, что величина этой звезды, согласно современным измерениям, равна всего 4,5, то есть она очень тусклая. Все это чрезвычайно странно. Такие известные, ярчайшие звезды неба, как Арктур, Сириус, Процион, Регул, Спика очевидно должны были служить «опорными точками» для Птолемея в его наблюдениях, или, по крайней мере, измерялись им с особой тщательностью. Об их исключительном значении в древней астрономии говорит хотя бы тот факт, что в Альмагесте они снабжены СОБСТВЕННЫМИ ИМЕНАМИ. Измерению некоторых из них посвящены даже специальные разделы Альмагеста. Поэтому точность измерения их координат должна была быть особенно высокой. См., например, [968]. В то же время звезда о² Eri ничем не примечательна. Она ничем не выделяется среди таких же тусклых, как и она сама звезд, которыми окружена.

Далее, со звездой о² Eri традиционно отождествляется звезда номер 779 в Альмагесте, которая в Альмагесте описана просто как «средняя звезда». Поэтому при взгляде на рис. 3.4 возникает следующий, уже второй, недоуменный вопрос. Почему, собственно, звезда номер 779 в Альмагесте это именно о² Eri? Ведь ясно, что такое умозаключение можно сделать только в том случае, если координаты реальной звезды о² Eri и звезды номер 779 Альмагеста согласуются лучше всего. Скажем, лучше, чем координаты о² Eri и звезды номер 778. Но ввиду значительной скорости собственного движения о² Eri это, очевидно, означает, что ее отождествление с той или иной звездой из Альмагеста существенно зависит от того, каким временем мы датируем Альмагест!

Например, если бы мы знали, что Альмагест написан в 1000 гиду до н. э., то отождествили бы о² Eri со звездой номер 778 из Альмагеста, а затем могли бы успешно «датировать» Альмагест, исходя из минимально возможного расстояния между о² Eri и звездой 778 этим же самым 1000 годом до н. э., «надежно подтвердив» тем самым нашу исходную датировку. Кстати, при таком отождествлении соответствие между координатами о² Eri и звезды Альмагеста было бы даже лучше, чем при традиционном отождествлении. Это хорошо видно на рис. 3.4. Допустив, например, что Альмагест написан в 1500 году н. э., то есть в XVI веке, мы могли бы отождествить звезду о² Eri со звездой номер 780 Альмагеста. И датировать его поздним средневековьем или даже «будущей эпохой», рис. 3.4. Ясно, что в подобных рассуждениях содержится, попросту, порочный круг: сначала «датируют», а потом на этой основе получают «ту же дату».

Итак, чтобы датировать наблюдения по собственному движению звезды необходимо, чтобы ее можно было уверенно отождествить в Альмагесте, причем — независимо от его предполагаемой датировки.

Однако даже если отбросить о² Eri, то по оставшимся восьми быстрым звездам Альмагест все равно не может быть надежно датирован на данном этапе. Слишком велик разброс датировок по разным звездам. Даже по звездам первой величины, из рассматриваемых 8 звезд, — по Арктуру, Проциону и Сириусу — датировки разбросаны по интервалу длиной 600 лет, а именно, от 400 года н. э. до 1000 года н. э. См. табл. 3.1. Кроме того, не следует забывать, что полученные таким путем датировки, — например, 900 год н. э. для Арктура, — представляют собой лишь моменты наибольшего сближения истинных положений звезд с их положениями в каталоге Альмагеста. Вокруг этих дат еще необходимо отметить временнЫе интервалы, в которых отклонения принимали бы допустимые по точности значения.

Дело усугубляется также тем, что выбирая в качестве оценки точности измерения той или иной звезды в Альмагесте какие-либо усредненные значения, мы заведомо совершаем некоторую ошибку, а индивидуальные значения ошибок, сделанных при измерениях рассматриваемых звезд Птолемеем нам неизвестны.

Итак, сформулируем выводы.

1. Прежде чем использовать координаты отдельной звезды в Альмагесте для датировки, необходимо убедиться, что отождествление этой звезды со звездой современного неба не зависит от предположенной датировки Альмагеста. Иначе мы придем к порочному кругу.

2. Даже для самых быстрых звезд смещение за счет собственного движения на протяжении исторического промежутка времени достаточно мало, рис. 3.1 — рис. 3.8. Поэтому для датировки необходимо отбирать звезды, измеренные в Альмагесте достаточно точно. Звезда, движущаяся со скоростью 2″ в год, смещается за 100 лет всего на 3,3′. Поэтому, если мы хотим датировать Альмагест по отдельной быстрой звезде с точностью плюс-минус 300 лет, мы должны быть уверены, что данная звезда представлена в Альмагесте с точностью до 10′. По оценкам исследователей, реальная точность Альмагеста в целом намного ниже [1339].

Звезды, представленные в Альмагесте с точностью хуже 20′, для нас практически бесполезны. Интервал датировок по ним составляет не менее 1200 лет. Таким образом, вопрос выбора точно измеренных Птолемеем звезд имеет первостепенное значение для датировки. Эта проблема подробно обсуждается ниже, в главах 5 и 6.

2. Попытка датировать каталог Альмагеста по совокупностям быстрых и именных звезд путем сравнения с расчетными каталогами

2.1. По каким критериям следует отбирать звезды для датировки

В разделе 1 мы показали, что сравнение Альмагеста с расчетными каталогами К(t) по восьми наиболее быстро движущимся звездам не позволяет указать такое значение t*, при котором Альмагест и каталог K(t*) согласуются наилучшим образом. Для каждой звезды значение t* = t_i* оказывается своим и заметно отличным от других. Разброс для различных звезд составляет несколько тысяч лет. Следовательно, описанный подход слишком груб и не дает содержательного результата.

Может однако оказаться, что расширив выборку и рассмотрев не 8 звезд, а значительно больше, мы получим такой набор индивидуальных датировок {t_i}, значительная часть которого группируется в достаточно узком интервале времени. В конце концов, нас устроил бы даже интервал величиной порядка 500 лет. В этом случае мы смогли бы извлечь некоторые сведения об истинной дате наблюдений Птолемея t_А. Кроме того, расширив выборку, мы получим возможность применить для оценки величины t_А стандартные методы математической статистики.

Какие еще звезды следует включить в выборку? Ясно, что для целей датировки могут быть полезны лишь достаточно быстро движущиеся и достаточно хорошо измеренные Птолемеем звезды. Эти два условия, — скорость собственного движения и точность фиксации звезды в Альмагесте, — вообще говоря, дополняют друг друга. Ведь чем быстрее движется звезда, тем большую ошибку мы можем допустить для ее координат в Альмагесте так, чтобы точность датировки по этой звезде не изменилась.

На основе указанных соображений, выберем следующие звезды для сравнения Альмагеста с расчетными каталогами К(t).

1) Звезды, достаточно быстро движущиеся. В качестве порога скорости возьмем 0,5″ в год хотя бы по одной из экваториальных координат α₁₉₀₀, δ₁₉₀₀ на эпоху 1900 года н. э. См. табл. 1.1.

2) «Знаменитые» или именные звезды, то есть, звезды, которые имеют старинные собственные имена. См. табл. 1.2.

Конечно, именные звезды могли получить свои имена и после написания Альмагеста. По-видимому, для многих звезд так оно и было. Однако, во-первых, собственные имена звезд, скорее всего, не забывались со временем. Хотя, конечно, могли изменяться. Другими словами, именные звезды времен Птолемея являются именными и сегодня. Во-вторых, присвоение данной звезде собственного имени говорит о том, что она имела для старой астрономии особое значение. Естественно поэтому предположить, что Птолемей также обращал на именные звезды больше внимания, чем на остальные. В частности, тщательнее измерял их координаты.

В качестве априорного интервала времени для нашего исследования возьмем интервал 0 ≤ t ≤ 30, то есть, от 1100 года до н. э. до 1900 года н. э. Напомним, что буквой 1 мы обозначаем время, отсчитываемое в столетиях от 1900 года н. э. назад, в прошлое.

2.2. Система «интервалов сближения» для отдельных быстрых и именных звезд

Рассмотрим объединение списков быстрых и именных звезд, перечисленных в табл. П1.1, и табл. П1.2, см. Приложение 1. Выберем из получившегося множества звезд те, которые, согласно [1339], входят в Альмагест. Получившийся список содержит около 80 звезд. Для каждой звезды из этого списка рассчитаем ее траекторию в координатной сетке Альмагеста так, как мы это делали в разделе 1 для восьми наиболее быстрых звезд.

Напомним, что для этого мы фиксировали некоторое I в качестве предполагаемой датировки и рассчитывали положение каждой звезды на эпоху t в эклиптикальных координатах этой эпохи. Это положение можно изобразить точкой на звездном атласе Птолемея. То есть на атласе, построенном по каталогу Альмагеста в предположении, что он составлен в эпоху t. Меняя значение предполагаемой датировки t в пределах рассматриваемого исторического интервала, мы заставляем точку-звезду перемещаться по атласу Птолемея, среди звезд Альмагеста. По мере того, как меняется время t и «расчетная» звезда с номером i движется среди звезд Альмагеста. Движение происходит за счет собственной скорости звезды, а также за счет слабого смещения эклиптики с течением временем. Расстояние между расчетной точкой-звездой и той звездой Альмагеста, с которой она отождествлена, также меняется. Отождествления мы брали согласно [1339]. Расстояния на небесной сфере измерялись вдоль соединяющей звезды дуги геодезической. Напомним, что геодезическими на сфере, то есть линиями локально кратчайшей длины, являются дуги больших окружностей — плоских сечений, проходящих через центр сферы. Указанное расстояние на сфере называют дуговым расстоянием. Мы будем его называть также просто расстоянием.

Пусть в момент t* = t_i расстояние между звездами достигает минимума. Этот момент времени t* мы назвали в разделе 1 индивидуальной датировкой по данной звезде. При отклонении t от значения t* как в одну, так и в другую сторону, расстояние между расчетной реальной звездой и ее «представителем» в Альмагесте начинает увеличиваться.

Поставим в соответствие каждой звезде с номером 1 из рассматриваемого нами списка, интервал датировок [t₁*, t₂*] = [t_i1, t_i2], при которых указанное расстояние не превышает 30′. Этот интервал может, вообще говоря, оказаться пустым. Так будет, если в момент t* расстояние между расчетной звездой и соответствующей звездой Альмагеста окажется больше 30′. Центром интервала является значение t*. См. рис. 3.9.

Рис. 3.9. Движение реальной звезды вблизи ее положения, отмеченного в Альмагесте.

Границу 30′ для дугового расстояния между звездой Альмагеста и соответствующей расчетной звездой мы выбрали из тех соображений, чтобы для большинства звезд Альмагеста указанное расстояние не превышало этой границы. Действительно, если считать, что среднеквадратичная ошибка в дуговом расстоянии для звезд Альмагеста составляет около 40′, — что согласуется о исследованиями [1339], [614], — то больше половины звезд должно быть представлено в Альмагесте с точностью не хуже 30′. В этом рассуждении мы принимаем гипотезу о нормальности распределения ошибки и о независимости ошибок по отдельным звездам. Ввиду грубости приводимых здесь рассуждений, возможные отклонения от этих предположений практически не влияют на наши выводы.

Совокупность полученных таким образом интервалов, то есть «интервалов сближения», изображена на рис. 3.10. Здесь показана ось времени от t = 0, то есть от 1900 года н. э. до t = 30, то есть до 1100 года до н. э. У каждого интервала отмечен центр, соответствующий «оптимальной» для данной звезды датировке t_i. Отмечены также точки, для которых расстояние между «звездой Альмагеста», — то есть положением, указанным в Альмагесте — и расчетной звездой составляет 10′ и 20′. См. рис. 3.9. Часть интервала, где это расстояние меньше 10′, отмечена на рис. 3.10 более жирной линией. Концы интервалов, если они попали в пределы рисунка, показаны стрелками.

Рис. 3.10. Интервалы максимального сближения заметно движущихся реальных быстрых или именных звезд с соответствующими им положениями в Альмагесте.

Многим звездам из нашего списка, объединяющего быстрые и именные звезды, вообще не поставлен в соответствие интервал на рис. 3.10. Это означает, что соответствующий интервал:

1) Либо вообще не существует, то есть расстояние между звездой Альмагеста и расчетной звездой всегда больше 30′.

2) Либо он не пересекается с априорным интервалом 0 ≤ t ≤ 30 и выходит за пределы рисунка.

3) Либо он целиком накрывает априорный интервал.

В последнем случае координаты звезды были, по-видимому, измерены достаточно хорошо, с точностью до 30′. Однако, уточнить датировку наблюдений в пределах интервала времени от 1100 года до н. э. до 1900 года н. э. по таким звездам не удается. Поскольку эта звезда движется слишком медленно.

Приведем номера Байли тех звезд из Альмагеста, см. [1339], [1024], для которых 30-минутные интервалы сближения накрывают весь априорный интервал времени 0 ≤ t ≤ 30. Это звезды с номерами 35, 36, 163, 197, 222, 316, 318, 375, 768.

Интервалы для многих звезд изображены лишь частично. Это происходит, когда часть интервала выходит за пределы априорного интервала 0 ≤ t ≤ 30 и таким образом не попадает на рис. 3.10.

Около каждого интервала приведен номер соответствующей звезды из Альмагеста, в нумерации Байли. Со знаком равенства указано условное название современной звезды, отождествляемой, согласно [1339], с данной звездой Альмагеста, а также ее собственное имя, если оно есть. На аналогичном рис. 3.12, построенном для широт, пунктиром отмечен момент t = 18, то есть скалигеровская датировка Альмагеста приблизительно 100-м годом н. э.

2.3. Датировать каталог Альмагеста предложенным способом, опираясь на дуговые расстояния отдельных звезд, не удается

Из рис. 3.10 ясно видно, что не существует таких значений времени t, которые принадлежали бы одновременно всем интервалам «максимального сближения». Чтобы все же получить такие t, начнем увеличивать порог точности, начиная с выбранного выше значения 30′. При этом интервалы на рис. 3.10 будут, очевидно, расширяться. Направление расширения показано стрелками. Наступит момент, когда все интервалы начнут пересекаться. Посмотрим — при каком значении времени t и при каком значении порога точности это впервые произойдет. Оказалось, что пересечение возникает при t ≈ 12, то есть около 700 года н. э., при величине порога точности около 60′, то есть около 1 градуса. При дальнейшем повышении порога точности интервал пересечения будет расширяться в обе стороны от точки t = 12.

Однако взять точку t = 12, то есть 700 год н. э., в качестве достаточно надежной оценки для даты наблюдений автора каталога Альмагеста мы не можем. Дело в том, что пересечение всех интервалов «максимального сближения» на рис. 3.10 возникает лишь на пороге точности около 1 градуса. Но это означает, что в выбранной совокупности звезд есть очень плохо измеренные звезды Альмагеста. Ошибка Альмагеста в их положении достигает, по крайней мере, одного градуса. Более того, если точность координат звезд оценивать снизу с помощью выборочной среднеквадратичной дуговой ошибки в оптимальной точке t = 12, то в качестве допустимой ошибки (порога точности) придется взять очень большое значение — около 2 градусов. Однако при таком значении порога точности пересечение интервалов допустимого «максимального сближения» накроет весь промежуток времени от 500 года до н. э. до наших дней, рис. 3.10. Такой вывод никакого научного интереса, конечно, не представляет. И без того ясно, что Альмагест создан где-то внутри этого большого интервала времени.

Кроме того, сама дата 700 год н. э. является неустойчивой в следующем смысле. При изменении состава рассматриваемых звезд, — а произвол в определении их состава очевиден, — момент датировки может меняться весьма значительно. Ясно, что в такой ситуации говорить о надежном определении даты составления каталога Альмагеста бессмысленно.

2.4. Датировать каталог Альмагеста предложенным способом, опираясь на широтные невязки отдельных звезд, также не удается

Рассмотрим еще один способ вычисления интервалов максимального сближения для звезд Альмагеста из нашего объединенного списка быстрых и именных звезд. Этот способ аналогичен предыдущему, но только теперь в качестве расстояния между звездой Альмагеста и соответствующей расчетной звездой возьмем не дуговую, а широтную невязку. То есть, длину проекции отрезка, соединяющего эти две звезды, на меридиан в координатной сетке Альмагеста, рис. 3.11. Выбор в качестве расстояния именно широтной, — а не долготной, скажем, — невязки обусловлен двумя причинами. Во-первых, хорошо известно, что широты звезд Альмагеста точнее их долгот. См., например, [1339], а также главу 2 настоящей книги. Во-вторых, широтная невязка не зависит от того, каким именно образом мы совмещаем Альмагест и расчетный каталог К(t) по долготам, см. главу 1. Следовательно, при этом удается избежать дополнительных ошибок, вызванных, возможно, неточностью такого совмещения и вероятным произволом в выборе точки начала отсчета долгот, см. главу 1.

Рис. 3.11. Широтная невязка для реальной расчетной звезды и ее положения, отмеченного в Альмагесте.

На рис. 3.12 изображена получившаяся совокупность интервалов максимального сближения для случая, когда в качестве расстояния берется широтная невязка. Здесь опять не изображены интервалы сближения, целиком покрывающие промежуток 0 ≤ t ≤ 30, то есть от 1100 года до н. э. до 1900 года н. э. Номера в Альмагесте тех звезд, для которых 30-минутные интервалы сближения по широте целиком накрывают промежуток 0 ≤ t ≤ 30, следующие: 1, 35, 36, 78, 111, 149, 163, 189, 222, 234, 287, 288, 315, 316, 318, 349, 375, 393, 410, 411, 424, 467, 469, 510, 713, 733, 760, 761, 768, 812, 818.

Рис. 3.12. Интервалы «максимального сближения» по широтам заметно движущихся реальных быстрых и именных звезд с соответствующими «звездами из Альмагеста».

Сравнение рис. 3.12 и рис. 3.10 показывает, что широты рассматриваемых звезд в Альмагесте действительно существенно более точны, чем их положения на небесной сфере, определяемые как широтой, так и долготой. Именно поэтому на рис. 3.12 изображены интервалы для большего числа звезд, чем на рис. 3.10.

Интервалы максимального сближения для всех звезд на рис. 3.12, кроме двух звезд в Центавре (935 = 2g Cent и 940 = 5 θ Cent), начинают пересекаться также на уровне t = 12, то есть около 700 года н. э., при пороге точности 40′, по широте. Это лучше, чем 60′ в предыдущем случае, но все равно очень много. Таким образом, мы опять приходим к датировке примерно 700 годом н. э. Но, как и выше, не можем считать этот результат надежным в силу высказанных ранее соображений. Поэтому такой способ датировки каталога никакого реального результата тоже не дает.

В целом, несмотря на то, что переход от дуговой невязки к широтной уменьшает ошибки Альмагеста и, следовательно, позволяет делать более точные статистические заключения, получающиеся при этом интервалы возможных датировок все еще слишком велики. Они накрывают промежуток 4 ≤ t ≤ 20,то есть от 100 года до н. э. до 1500 года н. э. Такие интервалы не дают нам полезной информации о дате наблюдений Птолемея.

3. Попытка датировать каталог Альмагеста по движению отдельных звезд на фоне их ближайшего окружения

3.1. Изменяющаяся геометрия звездных конфигураций на фоне «неподвижных звезд»

В разделах 1 и 2 мы пытались датировать каталог грубыми методами, опираясь на различные звездные конфигурации, меняющиеся во времени за счет собственного движения отдельных звезд в них. При этом каждую звезду в конфигурации мы рассматривали индивидуально, сравнивая ее расчетное положение с положением, приведенным в Альмагесте. Чтобы сравнить эти положения, нам пришлось использовать теорию Ньюкомба, описывающую движение эклиптикальной системы координат, использованной в Альмагесте, на «сфере неподвижных звезд» с течением времени.

Посмотрим, что может дать нам метод датировки Альмагеста, не использующий теорию Ньюкомба. Идея такого метода проста. Надо сравнивать не положения отдельных звезд на «реальном», теоретически рассчитанном небе с их положениями в Альмагесте, а геометрию меняющихся за счет собственных движений звезд звездных конфигураций с конфигурациями из каталога Альмагеста. При таком сравнении нам понадобится только знание величины скоростей собственных движений звезд, но не теория Ньюкомба.

Хотя погрешности теории Ньюкомба весьма малы, — на несколько порядков меньше цены деления каталога Альмагеста, — тем не менее, с вычислительной точки зрения рассмотрение конфигураций намного проще.

Собственные движения звезд замерены в настоящее время с большой точностью на основании телескопических наблюдений [1144], [1197]. Величины скоростей собственных движений звезд и таблица отождествлений звезд Альмагеста со звездами современного неба — вот и вся дополнительная информация, которая будет здесь использована. Таблицу отождествлений мы заимствовали из [1339], отбросив указанные там сомнительные случаи.

3.2. Какие именно звезды мы взяли для эксперимента

Будем по-прежнему сравнивать положение каждой отдельной быстро движущейся звезды на реальном небе с ее положением, указанным в Альмагесте. Однако теперь мы сравниваем положения звезды на реальном небе и в Альмагесте по отношению к некоторому множеству опорных звезд, выделенных как на реальном небе, так и в Альмагесте. В качестве такого множества мы выбрали звезды, которые либо имеют собственные имена, — например Альдебаран, Шиат и т. п., — либо однозначно выделяются по яркости среди своего ближайшего окружения. Звезды, на координаты которых могла повлиять рефракция, в список опорных мы не включали. Всего было взято 45 звезд. Среди них есть и заметно движущиеся, например, Арктур, Сириус, Процион, Капелла, Аквила = Альтаир, Денебола, Каф, Регул. Итак, положение движущейся звезды на реальном небе определяется относительно движущегося же базиса. Полученная картина, меняющаяся в зависимости от предполагаемой датировки, сравнивается с соответствующей картиной, зафиксированной в Альмагесте.

В качестве меры отклонения возьмем среднее по конфигурации отклонение дуговых расстояний звезд:

Здесь N — число опорных звезд, ρ_real(S_i, O_j, t) — дуговое расстояние между рассматриваемой звездой S_i и j-й опорной звездой на реальном небе эпохи t. Далее, ρ_Alm(S_i, O_j) — это дуговое расстояние между звездой S_i и звездой О_j в Альмагесте. Момент времени t_i, когда величина Δ_i(t) достигает минимума, будем называть индивидуальной датировкой по данной звезде. Если для всех или большинства быстрых звезд каталога Альмагеста значения индивидуальных датировок t соберутся в достаточно малом временнóм интервале, то вблизи этого интервала, или в нем самом, должна находиться и истинная дата t_А наблюдений Птолемея. К сожалению, реальное положение дел совсем другое.

3.3. Поведение индивидуальных невязок и средней невязки

Мы исследовали поведения невязок Δ_i(t) для восьми достаточно быстрых звезд, входящих в каталог Альмагеста, а именно, для следующих звезд: Капелла — номер Байли 222, Арктур — 110, Аквила = Альтаир — 288, Денебола — 488, Регул — 469, Сириус — 818, Процион — 848, Каф — 189.

Мы сознательно выбрали среди быстрых звезд Альмагеста лишь «знаменитые» и наиболее яркие, и отбросили тусклые. Как отмечено выше, координаты тусклых звезд могут быть представлены в Альмагесте очень неточно. Поэтому их включение в выборку может значительно увеличить разброс индивидуальных датировок.

На рис. 3.13 показаны графики индивидуальных невязок для указанных быстрых звезд Δ_i(t) как функций t. Приведен также усредненный график по всем этим звездам. К сожалению, график оказался почти постоянным на всем временнóм интервале от 1100 года до н. э. до 1900 года н. э. См. рис. 3.13, внизу. Никакого вывода сделать нельзя.

Рис. 3.13. Индивидуальные невязки движущихся звезд и средняя невязка в восьми конфигурациях. Ясно видно, что никаких определенных выводов сделать не удается.

3.4. Отрицательный результат эксперимента

Итак, отказ от использования теории Ньюкомба не привел к концентрации на оси времени индивидуальных датировок по отдельным звездам. Это говорит о том, что причины, вызывающие такой большой разброс индивидуальных датировок, не связаны с методом пересчета координат на небесной сфере, а кроются только в низкой точности координат, приведенных в датируемом каталоге, в возможной неоднородности каталога и т. п. Неоднородность каталога может быть вызвана различиями в положении инструментальной эклиптики при измерениях в разных обсерваториях, из-за чего различные группы звезд получают разную систематическую ошибку.

В разделе 5 этой главы мы проанализируем координаты звезд Альмагеста и общую структуру каталога Альмагеста с целью выявления всех причин такого рода.

4. Анализ некоторых ошибочных работ по датировке Альмагеста на основе собственных движений звезд

4.1. Корень многих ошибок лежит не в астрономии, а в неправильном применении методов математической статистики

Проанализируем известные нам попытки различных авторов датировать Альмагест, основываясь на собственных движениях звезд.

Как отклик на наши публикации по хронологии и наш анализ астрономических данных, появились работы астрономов Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273], [274], в которых предпринята попытка подтвердить скалигеровскую датировку звездного каталога Альмагеста по собственным движениям звезд. Вывод, сформулированный ими в [273], таков. Каталог Альмагеста датируется по собственным движениям входящих в него быстрых звезд началом нашей эры с точностью ±100 лет. Буквально, авторы называют 13 год н. э. ±100 лет.

В более подробной публикации [274] авторы, правда, формулируют свой вывод уже куда более осторожно: «Звездный каталог Альмагеста, таким образом, наблюдался в эпоху античности и, скорее всего, Гиппархом. Правда, остается не исключенной возможность, что яркие звезды Птолемей наблюдал сам. Некоторым аргументом в пользу такого предположения являются более поздние (на 2–4 столетия), чем для остальных звезд, эпохи, полученные нами для двух звезд первой величины, имеющихся в нашей выборке: Арктура и Сириуса» [274], с. 189–190.

Однако на самом деле из содержания работ [273], [274] такой вывод не следует. Проследим вкратце схему рассуждений Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской, пользуясь более подробной публикацией [274], хотя все сказанное будет относиться и к более ранней работе [273]. Отметим, что после выхода работ [273] и [274] в 1987 и 1989 годах Ю.Н. Ефремов не опубликовал ни одной научной работы на эту тему. Хотя с тех пор появилось довольно много его популярных статей на страницах газет и литературных журналов. Между тем в работах [273] и [274] содержатся ошибки, на которые Ю.Н. Ефремову было указано в нашей книге [МЕТЗ]:2, с. 99–103. Кроме того, мы лично сообщили Ю.Н. Ефремову о его ошибках. Эти ошибки ему следовало бы исправить, прежде чем выступать с безудержной рекламой своих неверных результатов на страницах широкой печати. Однако, по нашему мнению, эти ошибки исправить нельзя. В частности, по гой причине, что датировка, предложенная Ю.Н. Ефремовым, неверна. См. об этом ниже.

Датировка звездных каталогов по методу, описанному в работах [273], [274], основана на сравнении меняющихся со временем конфигураций звезд с соответствующими конфигурациями, зафиксированными в Альмагесте. При этом оказывается, что основной вклад в изменение отдельной конфигурации вносит собственное движение только одной — наиболее быстрой звезды в данной конфигурации. Поэтому конфигурации, рассматриваемые в [273], [274], называются там «группами» соответствующей звезды. Например, «группа Арктура», «группа τ Cet» и т. п. Будем придерживаться такой же терминологии.

Датировкой каталога по отдельной конфигурации предлагается считать такую датировку, для которой совокупность попарных расстояний между звездами в этой изменяющейся конфигурации наиболее близка к совокупности попарных расстояний в соответствующей конфигурации, зафиксированной в Альмагесте. Близость понимается в среднеквадратичном смысле.

При этом, естественно, получается не точная дата наблюдений Птолемея или другого наблюдателя, составившего каталог Альмагеста, а лишь некоторое приближение к этой дате. Спрашивается, какова возможная погрешность этого приближения? На этот вопрос в работе [274] фактически не дается никакого ответа.

Обсуждение вопроса о погрешности получаемых датировок заменяется апелляцией к графику зависимости величины среднеквадратичного отклонения между совокупностями попарных расстояний в Альмагесте, и на реальном небе, от времени предполагаемой датировки наблюдений автора каталога Альмагеста. Ефремов и Павловская пишут: «Эпоха Т₀ определяется достаточно уверенно, минимум функции Δr²(t) резкий и глубокий» [274], с. 183. Однако из рисунка, на который в данном случае ссылаются авторы [274], с. 185, илл. 3, следует, что при изменении предполагаемой датировки на 1000 лет величина среднеквадратичного отклонения √Δr²(t) меняется не более чем на 13′ для всех конфигураций, кроме одной — группы о² Eri. Об этой группе см. ниже.

Давайте посмотрим — насколько существенно изменение величины среднеквадратичного отклонения на 13′ в ситуации, рассматриваемой Ю.Н. Ефремовым и Е.Д. Павловской. Цена деления шкалы Альмагеста равна 10′, а реальная точность координат звезд в Альмагесте, оцениваемая как среднеквадратичное дуговое отклонение, составляет около 30′. См. [1339], [614]. Исходя из скоростей собственного движения рассматриваемых звезд, это означает, что при опенке точности датировок по методу [274], — то есть исходя из минимума среднеквадратичного отклонения по конфигурации — мы должны допустить вариацию величины этого отклонения не только на 13′, но на гораздо большую величину порядка 20′-30′. Это приводит к «интервалам датировки» длиной в 2–3 тысячи лет. Другими словами, ВОЗМОЖНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ДАТ, ПРИВЕДЕННЫХ В [274], ИМЕЕТ ПОРЯДОК 1000–1500 ЛЕТ. Более подробно точность метода, описанного в работах [273], [274], обсуждается ниже. Но датировка наблюдений составителя Альмагеста с такой низкой точностью не позволяет отделить друг от друга не только скалигеровские даты жизни Гиппарха (якобы II век до н. э.) и Птолемея (якобы II век н. э.), но даже эпоху Птолемея от наших дней. Ценность такого «результата» равна нулю. И без того ясно, что Альмагест создан в эпоху последних двух тысячелетий.

Таким образом, корень этой и последующих ошибок указанных авторов лежит не в астрономии, а в математике. Неправильно применяются методы математической статистики, или же не применяются вообще. Утверждения Ю.Н. Ефремова о «высокой точности» примененного им метода не выдерживают самой простой критики. В этой ситуации представляется крайне странным, что Ю.Н. Ефремов до сих пор, уже много лет продолжает публично настаивать на своих ошибочных результатах по датировке Альмагеста. В том числе, повторим, и в своих многочисленных выступлениях на страницах газет и журналов, предназначенных для массового читателя.

4.2. В работах Ю.Н. Ефремова по датировке Альмагеста данные подгонялись под желаемый ответ

В своей работе [274] Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская утверждают, что предлагаемый ими метод датировки звездных каталогов был проверен на трех достоверно датированных каталогах. Это каталоги Улугбека, Тихо Браге и Гевелия, причем применение этого метода ко всем трем каталогам дало невероятно точные результаты. Даты создания каталогов Тихо Браге и Гевелия были «восстановлены» с точностью до 30–40 лет, адата создания каталога Улугбека, наименее точного из трех, — вообще с фантастической точностью — ±3 года!

Однако настораживает то обстоятельство, что каждая из этих датировок была получена по своей звездной конфигурации, а именно, датировки каталогов Тихо Браге и Гевелия получены по группе Арктура, а датировка каталога Улугбека — по группе τ Cet. Другие звездные конфигурации для каждого из упомянутых трех каталогов не рассматриваются вовсе. Почему? Ниже мы дадим ответ на этот вопрос.

Более того, свой основной результат по датировке Альмагеста Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская получают тоже фактически по одной-единственной конфигурации — группе о² Eri. Хотя формально они пишут о рассмотренных ими 13-ти конфигурациях. Проведенный нами анализ полученных ими датировок указанных каталогов показывает, что во всех случаях выбор конкретной звездной конфигурации для датировки каталога был обусловлен скалигеровской датой составления этого каталога, доказать которую упорно стремились авторы работ [273] и [274]. Другими словами, Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская в работе [274] подбирали для каждого каталога свою конфигурацию звезд, лучше всего отвечающую скалигеровской дате составления каталога. Такой «метод» является просто подгонкой под заранее желаемый ответ.

Все это полностью обесценивает заявленные в [273] и [274] результаты. Эти результаты ошибочны и, следовательно, не могут служить подтверждением скалигеровских датировок старых звездных каталогов.

4.3. Порочный круг в датировке Альмагеста по движению звезды о² Eri

Проанализируем датировку Альмагеста по группе о² Eri, предложенную в работах Ю.Н. Ефремова [273], [274], более подробно. Поскольку фактически только на этой датировке Ю.Н. Ефремов и основывает свои выводы.

Звезда о² Eri уже обсуждалась выше, в разделе 1. Напомним, что ее отождествление в Альмагесте существенно зависит от предполагаемой датировки каталога. Другими словами, по отношению к этой звезде ответ на вопрос «кто есть кто в Альмагесте», — то есть присутствует ли там вообще звезда о² Эридана и если да, то где именно, — сильно меняется при изменении заранее принятой датировки каталога.

Напомним, что звезда о² Eri движется достаточно быстро, меняя свое положение на небе. В своем движении она последовательно отождествляется с разными звездами из Альмагеста, а именно, с тремя на историческом интервале последних двух с половиной тысяч лет. Номера Байли этих звезд Альмагеста таковы: 778, 779, 780. Из них звезда 779 традиционно, см. [1339], отождествляется с о² Eri лишь на том основании, что около начала нашей эры о² Eri занимала положение, близкое к положению звезды 779 на звездном атласе Альмагеста.

Однако здесь явно предполагается, что Альмагест датируется приблизительно началом нашей эры. Если же не делать гипотезы о датировке Альмагеста, то сразу же возникают другие кандидаты в Альмагесте на отождествление с движущейся звездой о² Eri. Например, на интервале от 900 до 1900 годов н. э. из звезд Альмагеста лучше всего соответствует реальному положению звезды о² Eri звезда под номером 780. С другой стороны, звезда 779 в Альмагесте также не остается при этом без отождествления. А именно, она может быть успешно отождествлена со звездой 98 Heis [1339], с. 117. Более того, именно так (!) отождествлял звезду 779 астроном Пирс. См. [1339].

Отметим, что звезда о² Эридана и ее окружение являются тусклыми звездами, с величинами 4,2–6,3. Поэтому единственный способ отождествить их с какими-то звездами Альмагеста — это сравнить координаты. Яркости этих звезд примерно одинаковы, а птолемеевские словесные описания звезд в этой части Эридана скупы и крайне туманны. Поэтому надежное отождествление этих звезд по другим признакам, кроме координат, невозможно. Приведенное в [274] «доказательство» правильности отождествления о² Eri в каталоге Альмагеста основывается на поздних отождествлениях звезд в Альмагесте, то есть фактически на датировке каталога II веком н. э. Применение подобных «доказательств» для независимой датировки приводит, очевидно, к порочному кругу.

Таким образом, в работах Ю.Н. Ефремова и его соавторов [273], [274] фактически сначала предполагается, что Альмагест составлен около начала нашей эры. Затем на этом основании Ю.Н. Ефремов приходит к выводу, что Альмагест датируется 13 годом н. э. ±100 лет. Это и есть порочный круг!

4.4. Ошибки Ю.Н. Ефремова в оценке точности датировки Альмагеста по Арктуру

Теперь перейдем к Арктуру — второй, и последней, звезде, обсуждаемой в работе Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273]. Отождествление Арктура в Альмагесте сомнений не вызывает. В работе [273] по собственному движению Арктура первоначально получена датировка Альмагеста 250 годом н. э. Затем авторы «уточняют» эту датировку и получают по одной из конфигураций 310 год н. э. ±360 лет. Об этом «уточнении» мы поговорим чуть позже.

Сомнительность результатов работ [273], [274] отмечалась другими авторами. Так, М.Ю. Шевченко [968], с. 184 справедливо пишет, что в работе [273] «каталог относится к I веку до н. э., однако точность, а значит и достоверность этого результата, пока оставляет желать лучшего».

С помощью несложных рассуждений легко оценить реальную точность «рационального зерна» метода, описанного в работе [273]. В самом деле, в [273] положение в Альмагесте той или иной движущейся звезды, скажем, Арктура, определяется относительно звезд некоторого ее окружения. В случае Арктура — относительно «группы Арктура». Группа Арктура содержит 11 звезд. По отношению к этой группе определяется и положение Арктура на теоретически рассчитанном «назад», на эпоху t небе. Затем эти положения сравниваются.

Все звезды Альмагеста измерены с какими-то ошибками. Это, безусловно, относится и к звездам окружения или «группы». В частности, ко всем звездам группы Арктура. Но предположим на мгновение, что в Альмагесте звезды окружения Арктура измерены идеально точно. Даже в этом идеальном случае ошибку в положении Арктура в Альмагесте нельзя считать меньшей 10′ по любой из координат. Поскольку такова цена деления координатной шкалы звездного каталога Альмагеста. Реально эту границу следует увеличить из-за неточности координат звезд окружения.

При этом ошибка в дуговом расстоянии, используемом в [273], составляет около 14′. Если по каждой координате возможная ошибка составляет 10′, то для гипотенузы — по теореме Пифагора — она равна 14′. Скорость собственного движения Арктура — около 2″ в год. Таким образом, расстояние в 14′ Арктур проходит примерно за 420 лет. Это — лишь грубая оценка снизу точности «метода» Ефремова.

В действительности же реальная точность положения Арктура в Альмагесте может оказаться существенно хуже 14′, а тусклые звезды окружения могли быть измерены еще хуже. Здесь мы, конечно, имеем в виду ошибку по дуговому расстоянию. Как мы увидим ниже, широта Арктура в Альмагесте измерена достаточно хорошо. Но это ни в коей мере не относится к его долготе. См., в частности, исследования Роберта Ньютона [614]. Кроме того, нет никаких оснований предполагать, что Птолемей с хорошей точностью измерил какую-либо из координат тусклых звезд окружения. Следовательно, реальная точность «метода», описанного в работе [273] по Арктуру, значительно хуже 420 лет. Поэтому интервал возможных датировок Альмагеста по этому методу заведомо шире, чем интервал от 200 года до н. э. до 700 года н. э.

Прокомментируем теперь предлагаемый в работах [273], [274] метод моделирования случайных ошибок координат для оценки точности полученной даты. Например, для датировки по Арктуру этот «метод» привел Ю.Н. Ефремова к выводу, что его датировка Альмагеста примерно 300-м годом н. э. имеет точность ±300–400 лет [273], с. 311; [274], с. 181.

Для целей датировки в [273], [274] используется метод наименьших квадратов. Приведенные выше элементарные вычисления показывают, что точность этого метода оценивается снизу величиной индивидуальной ошибки положения рассматриваемой быстрой звезды в Альмагесте, деленной на скорость ее собственного движения.

Для повышения точности своих выводов, Ю.Н. Ефремов применяет метод моделирования случайных ошибок Альмагеста. Точность предлагаемого им метода моделирования, состоящего в многократном возмущении координат звезд из Альмагеста некоторой случайной величиной, «сравнимой» с точностью каталога, в работах Ю.Н. Ефремова не оценивается. Между тем этот метод будет работать лишь в том случае, если в результате случайных возмущений координаты звезд из Альмагеста станут близкими к истинным координатам с «заметной» вероятностью. Но в результате влияния упомянутой выше индивидуальной ошибки такое попадание в окрестность истинных координат, скорее всего, будет иметь малую вероятность. В любом случае эту вероятность следует оценить. В работе [274] нет и намека на подобные оценки. Вообще, с точки зрения математической статистики, предлагаемые авторами работ [273], [274] «методы» не выдерживают критики.

«Метод моделирования датировок», предложенный Ю.Н. Ефремовым сводится к следующему. Берется некоторое окружение быстрой звезды, например, Арктура. Методом наименьших квадратов определяется дата, дающая минимум среднеквадратичного отклонения совокупности взаимных расстояний звезд в Альмагесте от совокупности тех же величин в реальной, изменяющейся со временем конфигурации звезд на небе. Эта дата берется в качестве оценки истинной, неизвестной нам даты составления каталога. Ю.Н. Ефремов обозначает ее Т₀.

Далее, достигнутый минимум среднеквадратичного отклонения почему-то объявляется оценкой для дисперсии локальной ошибки в каталоге Альмагеста. Ю.Н. Ефремов так и говорит: «По-разному группируя те же n звезд, получим ряд оценок ε_λβ. Они не являются независимыми, поэтому вместо осреднения мы выбираем из них максимальную, и будем считать ее оценкой локальной ошибки определения координат в каталоге Альмагеста» [273], с. 311.

Спрашивается, почему? Во-первых, локальную ошибку Альмагеста надо оценивать отдельно. Такая оценка необходима, чтобы понять — какую вариацию минимального уровня мы должны допустить, чтобы надежно «захватить» истинную дату составления каталога. Беря в качестве оценки для дисперсии само минимальное значение, Ю.Н. Ефремов по сути дела вообще не допускает вариации минимума.

Во-вторых, слишком малый объем выборки (порядка 5–6 независимых наблюдений), по которой усредняется данная величина, не позволяет считать предлагаемую Ю.Н. Ефремовым оценку достаточно надежной. Такая оценка будет слишком подвержена случайным возмущениям. Оценку локальной ошибки следует получать по гораздо большему количеству звезд.

Далее, Ю.Н. Ефремов моделирует случайные возмущения птолемеевских координат на основе «определенной» им локальной ошибки. Он пишет: «Зная ошибку ε_λβ в каждой группе, можно численным экспериментом изучить влияние случайных ошибок координат на определение Т₀. Смоделируем поправки к координатам звезд в каталоге Альмагеста, считая, что эти поправки распределены по нормальному закону со средним, равным нулю, и средней квадратической ошибкой ε_λβ в каждой группе, и определим соответствующее значение Т₀. Повторив эту процедуру 100 раз, построим распределение найденных оценок Т₀» [273], с. 312. Далее Ю.Н. Ефремов пишет: «Общий для всех групп интервал с учетом средних квадратических ошибок эпох Т₀ — это I век до н. э.» [273], с. 313. Ю.Н. Ефремов делает также следующее «замечательное» утверждение: «Вероятность случайно получить значение Т₀ больше 900 достигает значения 0,2 только в группе с наибольшей дисперсией. Следовательно, каталог Альмагеста с очень большой вероятностью не является средневековой подделкой» [274], с. 188–189.

Таким образом, Ю.Н. Ефремов очевидно полагает, что истинная дата должна оказаться достаточно близко к его «средней смоделированной дате» Т₀, причем эту близость он оценивает «с учетом полученных выше среднеквадратических ошибок» [273], с. 313.

Этот подход совершенно не верен. Ясно, что в качестве средней смоделированной даты T₀ Ю.Н. Ефремов получает просто свою исходную оценку Т₀ с добавлением некоторого случайного возмущения, внесенного самим Ю.Н. Ефремовым. В качестве же распределения смоделированных дат он получает некоторое распределение с центром в этой исходной датировке Т₀ по данной группе. Ю.Н. Ефремов полагает, что истинная дата должна лежать не слишком далеко от центра этого распределения. То есть, другими словами, — что вносимые им случайные возмущения с некоторой заметной вероятностью случайно «захватят» истинные положения птолемеевских звезд. Иначе говоря, он надеется, что при его моделировании ошибки Птолемея случайно уничтожатся. Причем — с заметной вероятностью. Именно это и утверждает Ю.Н. Ефремов в приведенной выше цитате, говоря что дату позднее 900 года н. э. молено получить при моделировании лишь со «слишком маленькой вероятностью 0,2». По его мнению, это делает средневековую датировку Альмагеста слишком маловероятной.

Но дело в том, что исходная его датировка Т₀, вокруг которой группируются смоделированные датировки, отличается от истинной даты на некоторую величину. Эта величина смещения, как показывает простой расчет, сделанный нами выше, может быть достаточно большой. В случае Арктура она оценивается снизу величиной 420 лет, см. выше. Указанное смещение определяется индивидуальной ошибкой Птолемея в координатах быстрой звезды, а также индивидуальными ошибками для звезд выбранного окружения. Кстати, как показали наши расчеты, она может очень сильно зависеть от выбора окружения. Поэтому в значении Т₀ уже зафиксирована некоторая, возможно весьма значительная, индивидуальная ошибка. «Моделируя» добавочные случайные ошибки звезд окружения, Ю.Н. Ефремов, таким образом, строит некоторое распределение вокруг возможно сильно смещенной истинной даты. Однако, приводя графики смоделированных им распределений, Ю.Н. Ефремов, как следует из его слов, полагает, что истинная дата должна каждый раз находиться где-то близко к центру этих распределений. Во всяком случае, в некотором доверительном интервале с уровнем доверия порядка 0,8, поскольку вероятность 0,2 он считает уже слишком малой.

ЭТО НЕВЕРНО. Приведенная выше простейшая оценка показывает, что истинная дата может находиться очень далеко от центра такого смоделированного распределения. Например, для Арктура — более чем на 420 лет, см. выше. В то же время, разброс смоделированных дат вокруг смещенной даты может быть не очень сильным. Дело в том, что моделируя такой разброс, Ю.Н. Ефремов закладывает необоснованно заниженное значение среднеквадратичной ошибки, взятое им из минимума параболы. Никаких специальных оценок этой ошибки Ю.Н. Ефремов почему-то не делает.

Кроме того, нетрудно оценить, что случайно моделируя поправку к координатам даже одной звезды, вероятность вернуться к ее истинному положению, вообще говоря, весьма мала. Это показывает следующий простой расчет. Предположим, что индивидуальная ошибка Птолемея для некоторой звезды составляет 45′ по дуге. Такая ошибка типична для Альмагеста. Значительное число звезд в Альмагесте измерено гораздо хуже [1339]. Подчеркнем еще раз, что речь идет об ошибке по дуге. Ошибки по широте, как мы покажем ниже, существенно меньше.

Из приведенного выше расчета, например, для Арктура, следует, что для того, чтобы смоделировать конкретную датировку, отличающуюся от истинной не более чем на 400 лет, необходимо «попасть» в 14-минутную окрестность истинного положения звезды. Причем, при условии, что звезды окружения уже попали в нужные положения, и существенных возмущений в датировку не вносят. Вероятность попадания в 14-минутную окрестность из положения, сдвинутого на 45′, можно оценить сверху вероятностью попадания в заштрихованный сектор на приведенном рис. 3.13а.

Рис. 3.13а 14-минутная окрестность истинного положения звезды.

Считая вероятность попадания возмущенной точки в круг радиуса 60′ с центром в точке А, равным 1, получаем, что вероятность попадания в заштрихованный сектор не превосходит 0,1. Таким образом, даже в этом идеальном случае вероятность случайного получения даже не истинной даты, а всего лишь даты, отличающейся от истинной не более чем на 400 лет, имеет порядок 0,1. Ю.Н. Ефремов же считает, что порог вероятности 0,2 уже достаточен, чтобы отвергнуть датировки после 900 года как невероятные.

Авторы [274] заявляют, будто результаты вычислений по другим быстрым звездам, — почему-то не приведенные в их работе, — подтверждают выводы, основанные на исследовании о² Эридана и Арктура. Однако это заявление не соответствует действительности.

Приведем лишь один яркий пример. Среди быстрых звезд, обработанных авторами работ [273] и [274], содержится знаменитая в средневековой астрономии звезда Процион. Наши исследования, см. например раздел 1, показали, что Ю.Н. Ефремов должен был, пользуясь своим «методом», получить по Проциону датировку примерно X веком н. э., которая никак не вяжется с его выводами. Почему-то в [273] о результатах по Проциону ничего не говорится.

Наконец, «метод», излагаемый в работах [273], [274], сильно зависит от выбора окружения исследуемой быстрой звезды, то есть от состава ее группы. Мы проверили, как меняется датировка по группе Арктура в зависимости от выбора различных звезд в этой группе. Оказалось, что при изменении состава группы датировка по Арктуру меняется от 0 года н. э. до 1000 года н. э., то есть «результаты» могут колебаться с амплитудой до тысячи лет. Это обстоятельство полностью обесценивает предлагаемый Ю.Н. Ефремовым «метод».

Выводы.

1. Заявленный в работах Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273], [274] результат датировки Альмагеста по собственным движения звезд, авторами не обоснован. Более того, некоторые приведенные в [273], [274] рассуждения содержат «порочный круг».

2. Если очистить работы [273], [274] от рассуждений типа «порочного круга», то их «остаток» не противоречит нашей датировке. См. ниже.

3. Рассуждения Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273], [274] об оценке точности их метода, — в частности, моделирование поправок к Альмагесту, — математически безграмотны и, по нашему мнению, бессмысленны.

4. Авторы [273] и [274] «почему-то» не рассмотрели Процион, датировка по которому сильно отличается от скалигеровской.

Работа Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273] была опубликована в Докладах Академии Наук СССР в 1987 году. На ошибки, содержащиеся в их работах [273], [274] мы указали, в частности, в наших статьях [350], [355], опубликованных в Докладах Академии Наук СССР в 1089 и 1990 годах. Кроме того, мы лично сообщили Ю.Н. Ефремову о его ошибках на семинаре в Институте истории естествознания и техники в 1989 году. Эти ошибки Ю.Н. Ефремовым исправлены не были. Более того, он всячески уклоняется от их обсуждения.

4.5. Еще один пример неправильной оценки точности астрономических вычислений

Остановимся еще на одной публикации [179], затрагивающей вопрос о датировке Альмагеста. Ее авторы Е.С. Голубцова и Ю.А. Завенягин сообщают, ссылаясь на Галлея, что за время, прошедшее от Птолемея до Галлея, — а точнее, до 1690 года, когда был создан звездный каталог Флемстида, — Арктур сместился на 1,1 градуса в сторону Девы. Сопоставив это с тем, что за один год Арктур смещается по небу на 2,285″, Е.С. Голубцова и Ю.А. Завенягин проводят следующий простой расчет. Они пишут: «Разделив 1,1 градуса на 2,285 угловых секунд в год, получим 1733 года. Наконец, вычтя 1733 из 1690 (то есть из года составления каталога Флемстида), получим, что каталог Альмагеста составлен в 43 году до н. э. Ошибка разности координат соседних звезд значительно меньше, чем ошибка самих координат, так как при вычитании уничтожается систематическая ошибка. Поэтому средняя ошибка в положении ярких звезд относительно соседних с ними звезд в Альмагесте не превышает 0,1 градуса (? — Авт.). Это означает, что возможная ошибка датировки не превышает 150 лет» [179], с. 75.

Таким образом, если авторы [273] датируют каталог по Арктуру 250 годом н. э., — а после «уточнения» даже 310 годом н. э., с точностью ±360 лет, — то авторы [179], выполнив всего-навсего одно арифметическое действие, «датируют» Альмагест, тоже по Арктуру, 43 годом н. э. с гораздо более высокой точностью ± 150 лет.

Однако цитированный выше текст из [179] рассчитан на читателей, которые не поинтересуются реальным расположением звезд на небесной сфере. Вычисление авторов работы [179] основано на молчаливом предположении о том, что вектор собственного движения современного Арктура направлен в точности на его положение, указанное в Альмагесте. Если бы это было так, в их расчете содержалось бы какое-то рациональное зерно. Однако в действительности это не так. На рис. 3.1 мы привели истинное направление движения Арктура по отношению к его положению, отмеченному в Альмагесте. Отчетливо видно, что Арктур движется заметно «вбок» от положения, отмеченного в Альмагесте. Поэтому на 2″ нужно делить не 1,1 градуса, — как это лукаво делают авторы работы [179], — а на существенно меньшую величину. Что даст примерно 900 год н. э. Конечно, со значительной возможной ошибкой, в силу грубости метода. Обсуждение точности такого метода см. выше.

Таким образом, о заявленном Е.С. Голубцовой и Ю.А. Завенягиным 43 годе н. э. с точностью ±150 лет в качестве датировки Альмагеста по собственному движению Арктура не может быть и речи.

Отметим, что общая «идея» работы [179] трактовать случайные ошибки в Альмагесте как результат собственного движения звезд глубоко ошибочна. Абсурдность ее особенно наглядна на примере медленно движущихся, практически неподвижных звезд. Деление ненулевой ошибки Альмагеста в положении звезды на практически нулевую скорость ее собственного движения может дать какую угодно «бесконечно древнюю» дату наблюдения.

Фраза авторов [179] об ошибке положения ярких звезд в Альмагесте, не превышающей 0,1 градуса, то есть 6′, ни на чем не основана. Почему 6′, а не 2′ или 15′?! После всего сказанного выше о проблеме оценки точности звездных координат в Альмагесте, было бы излишним останавливаться на этом вопросе более подробно.

Авторы работы [179] не ограничились рассмотрением поведения Арктура. Они предприняли попытку датировки каталога и по другой «быстрой» и знаменитой звезде — Проциону. Цитируем: «Почти такой же результат получается и при датировке каталога Альмагеста по собственному движению Проциона, а именно — каталог Альмагеста создан в 330 году до н. э. с возможной ошибкой в 300 лет в ту или другую сторону… Датировка по Проциону является совершенно независимым подтверждением датировки по Арктуру, и обе датировки уводят нас в последние века до нашей эры» [179], с. 75–76.

Однако и здесь, как и в случае с Арктуром, авторы почему-то не учли направления движения Проциона. Посмотрим, какую «датировку» мы получим, если, следуя их «методу» проведем расчет аккуратно, учитывая реальное положение звезд на небе. Оказывается, реальная траектория движения Проциона расположена так, что грубая датировка по Проциону дает X век н. э.! См. раздел 1. Естественно, вопрос о точности этой датировки остается открытым. Таким образом, работа Е.С. Голубцовой и Ю.А. Завенягина показывает чрезвычайно низкий уровень и большое желание «подтянуть» датировку Альмагеста ко II веку.

4.6. «Вторичный анализ» датировки Альмагеста в журнале «Самообразование»

В первом номере московского журнала «Самообразование» за 1999 год [263] опубликована работа А.С. Дубровского, Н.Н. Непейводы и Ю.А. Чиканова под названием «К хронологии „Альмагеста“ Птолемея. Вторичный математический и методологический анализ». В этой работе обсуждается, в частности, наша датировка каталога Альмагеста по собственным движениям звезд.

К сожалению, авторы работы [263] не смогли разобраться в необходимых вопросах астрономии. Поэтому они пришли к ошибочному заключению: датировка Альмагеста по собственным движениям «не надежна в принципе», поскольку скорости собственных движений звезд плохо известны. О них, дескать, есть большие разногласия в астрономической литературе.

Далее в [263] приводится сравнительная таблица скоростей собственного движения в «Астрономическом ежегоднике» и в каталоге [1197]. Например, читателю предлагается сравнить следующие числа, выписанные авторами [263] из указанных звездных каталогов: (-0,1098; -0,2001) по одному каталогу и (-1,155; -1,998) по другому. Это — скорости собственного движения Арктура.

Авторы работы [263] пишут по этому поводу буквально следующее: «Что касается анализа движения „быстрых“ звезд, то заметим, что данные о скоростях звезд, взятые группой Фоменко из каталога… (дается ссылка на каталог ярких звезд [1197] — Авт.), для ряда звезд существенно отличаются от данных в „Астрономическом ежегоднике“» [263], с. 23.

Приведя эту замечательную таблицу на странице 24 работы [263], ее авторы приходят к следующему заключению: «Как видно из таблицы, оценка возраста каталога по собственным движениям звезд более чем сомнительна и не выдерживает критики».

Однако в этой таблице сравниваются между собой составляющие вектора скорости звезды НЕ ТОЛЬКО В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ НО, БОЛЕЕ ТОГО, — В РАЗНЫХ ЕДИНИЦАХ ИЗМЕРЕНИЯ! Что легко усмотреть хотя бы из приведенного выше примера. В одном случае взята экваториальная система координат на эпоху 2000 года н. э., а в другом — экваториальная система координат на эпоху 1900 года н. э. Это — разные системы. Несовпадение масштабов ярко видно из приведенного выше примера. По теореме Пифагора, из приведенных компонент вектора скорости Арктура нетрудно получить длину этого вектора, которая уже не зависит от системы координат. Но в первом случае она в десять раз меньше, чем во втором. Это связано с тем, что в разных каталогах используются разные масштабы для скоростей собственного движения. В одном случае используемая единица измерения составляет 1/1000 секунды в год, а в другом случае — 1 секунда за 100 лет. Эти единицы отличаются в десять раз.

Тут комментарии излишни. Ясно, что прежде, чем предлагать читателю сравнить какие-либо величины, их необходимо привести к единому масштабу.

Мы не будем здесь обсуждать собственные попытки авторов [263] датировать Альмагест. Скажем лишь, что по нашему мнению, прежде чем приступать к датировке Альмагеста, им следовало бы более глубоко разобраться в существе тех весьма непростых вопросов, которые они взялись рассматривать. Это, кстати, связано с существенными затратами времени и труда, даже для специалистов.

5. Выводы и пути дальнейшего исследованияНаш подход и краткое описание полученных нами основных результатов

5.1. Возникают три задачи: отождествление звезд Альмагеста, природа возможных ошибок, анализ точности каталога

В разделах 1–3 было сделано несколько попыток датировать Альмагест на основе цифрового материала, содержащегося в звездном каталоге Птолемея. Все эти попытки оказались неудачными. Мы подробно остановились на них по двум причинам. Во-первых, теперь читатель может лучше представить себе, в чем состоят трудности независимой «внутренней» датировки звездного каталога Альмагеста, то есть датировки, основанной только на цифровом материале каталога. Во-вторых, мы хотели обосновать постановку тех вопросов, которые будут подробно обсуждаться в последующих главах книги.

Основной вывод, который можно сделать на данном этапе, таков. Для датирования Альмагеста необходим тщательный предварительный анализ каталога. Этот анализ должен затрагивать следующие вопросы.

1. Отождествление звезд Альмагеста и звезд современного нам неба. В разделе 1 мы показали, что эта проблема не всегда решается однозначно и, вообще говоря, ее решение может зависеть от предполагаемой датировки каталога. Поэтому, прежде чем датировать каталог, необходимо выявить и отбросить все случаи сомнительного или неоднозначного отождествления звезд Альмагеста и современных звезд.

2. Природа возможных ошибок в каталоге Альмагеста. Величины ошибок в координатах звезд, характерные для Альмагеста, приводят к выводу, что уточнить в пределах исторического интервала датировку каталога Альмагеста на основе собственных движений звезд невозможно. Однако это утверждение становится, вообще говоря, неверным, если удастся обнаружить систематическую составляющую в ошибках положений звезд Альмагеста. В этом случае возникнет возможность компенсировать ее, повысив тем самым точность каталога. Вернее, выявив его истинную точность. Что, в свою очередь, может позволить все-таки датировать его.

3. Точность каталога Альмагеста, достигаемая на различных подмножествах звезд. Цель этого анализа — выделение группы звезд в Альмагесте, координаты которых должны были быть измерены Птолемеем с некоторой гарантированной точностью δ. Коль скоро такая группа выявлена, она определяет множество возможных датировок Альмагеста, а именно, возможными будут те датировки, которые позволяют добиться гарантированного уровня точности δ на звездах из этой группы. Если полученный интервал датировок окажется существенно меньше априорного исторического промежутка, то мы получим содержательную информацию о дате составления звездного каталога Альмагеста. Эта идея будет использована ниже. См. главы 5–7.

Обсудим вкратце каждый из перечисленных трех вопросов. Более подробно они анализируются в последующих главах книги.

5.2. Отождествление-распознавание звезд Альмагеста

В настоящее время существует довольно много рукописных списков и несколько средневековых изданий Альмагеста, в которых эклиптикальные координаты отдельных звезд разнятся. Большинство этих списков и изданий, — но не все! — приведены по прецессии примерно к 60 году н. э. Это означает, что если сравнить долготы звезд из данного списка или издания Альмагеста с точно рассчитанными долготами звезд на 60 год н. э., то средняя погрешность окажется равной нулю. Такое сравнение возможно в силу того, что отождествление подавляющего большинства звезд Альмагеста со звездами современного неба не вызывает сомнений.

Исходным текстом для нас являлся каталог Альмагеста, содержащий более тысячи звезд, в том виде, в котором он приведен в фундаментальном труде К. Петерса и Е. Кнобеля [1339]. В список анализируемых звезд был включен и ряд вариантов координат, приведенных в этой работе [1339]. На предварительном этапе не подвергались никакому сомнению координаты звезд Альмагеста и тот факт, что они даны в эклиптикальных координатах с приведением по прецессии к 60 году н. э.

Как уже говорилось, в работе [1339] звезды Альмагеста отождествлены с современными звездами. Тем не менее, с целью предварительного отбора звезд для последующего анализа мы сделали отождествление заново, см. главу 4. При этом, в основном, отождествления из [1339] подтвердились.

Однако мы обнаружили несколько звезд современного неба, которые в различные эпохи t отождествляются с различными звездами Альмагеста. Таковы, например, о² Eri, μ Cas. Для этих звезд отождествление, принятое в [1339], получено в предположении, что наблюдения Птолемея проводились около начала нашей эры. Основывать датировку каталога Альмагеста на анализе таких звезд бессмысленно, так как мы просто придем к порочному кругу. Все такие звезды мы исключили из рассмотрения.

Заметим вдобавок, что в [1339] отождествления и координаты звезд о² Eri и μ Cas считаются сомнительными.

5.3. Различные типы ошибок в каталоге

Выше показано, что на основе простого сравнения расчетных координат звезд с их координатами в каталоге Альмагеста датировку последнего определить невозможно. Это объясняется прежде всего большими погрешностями каталога Альмагеста. Поэтому к успеху может привести только тщательный учет ошибок различной природы в Альмагесте.

Будем делить ошибки на три типа: групповые, случайные и «выбросы».

К ГРУППОВЫМ ОШИБКАМ отнесем всевозможные искажения данных, возникшие вследствие измерений или пересчетов и приводящие к смещению группы звезд как единого целого на небесной сфере.

ОШИБКИ СЛУЧАЙНЫЕ носят индивидуальный характер и возникают прежде всего из-за погрешности измерения в пределах цены деления шкалы измерительного прибора. Эти ошибки характерны тем, что смещают каждую звезду на небесной сфере на случайную величину, имеющую нулевое среднее.

ВЫБРОСЫ возникают из-за непредвиденных или неизвестных составителю обстоятельств: ошибки при переписывании, рефракция и т. п. Они также действуют лишь на координаты отдельных звезд, а их величины, как правило, заметно больше точности шкалы измерительного прибора. Сами же ошибки-выбросы достаточно редки.

Наиболее важно обнаружить и компенсировать групповые ошибки. Как это можно сделать — обсуждается в главе 5, где не только даются формулы для их нахождения, но и показывается, как определять точность найденных значений.

Выявлению ошибок различного типа в координатах звезд Альмагеста посвящена глава 6. Оказывается, что в координатах звезд Альмагеста действительно содержатся значительные по величине групповые ошибки, состоящие в сдвигах соответствующих звездных конфигураций как единого целого по небесной сфере.

Значения групповых ошибок могут, вообще говоря, быть различными для различных групп звезд, например, для созвездий. Собственно, этому обстоятельству они и обязаны названием. Впрочем, мы убедимся, что в достаточно больших областях неба групповые ошибки Альмагеста и других старых звездных каталогов для различных созвездий совпадают между собой и равняются единой ошибке для всей области. Назовем такую ошибку СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ для данного каталога в данной области звездного неба.

Каждый сдвиг, задающий групповую ошибку, можно описать тремя параметрами. В качестве таких параметров выберем следующие, так сказать, базовые ошибки. См. рис. 1.1 в главе 1.

Ошибка τ в положении точки весеннего равноденствия Q(t_A), сделанная наблюдателем в год наблюдений T_А в направлении вдоль эклиптики. Другими словами, τ — это проекция на эклиптику вектора смещения точки весеннего равноденствия каталога Альмагеста от ее истинного положения.

Ошибка β в положении точки Q(t_A) в направлении меридиана. То есть, проекция вектора ошибки на эклиптикальный меридиан.

Ошибка γ в угле ε между эклиптикой и экватором. При измерении эклиптикальных координат звезды земным наблюдателем, вне зависимости от способа этого измерения, требуется предварительно определить величину угла ε между эклиптикой и экватором. Если наблюдатель совершил ошибку γ в определении этого угла, то эклиптика каталога будет повернута относительно реальной эклиптики в год наблюдений на величину γ.

Возможность групповых ошибок в Альмагесте обсуждалась многими исследователями. См., например, работы [1339], [614], [544]. Здесь мы лишь упомянем вероятные причины возникновения таких ошибок.

Ошибка τ могла быть вызвана тем, что наблюдатель или позднейший составитель каталога по тем или иным соображениям «привел» каталог к другой дате, отличной от даты реального наблюдения. Иногда такое приведение каталога служило, вероятно, методическим целям. Например, стремление привести каталог к какой-либо круглой или важной календарной дате. Иногда могло служить для намеренной маскировки подлинной даты наблюдения [614]. Иногда было просто следствием изменения начальной точки отсчета долгот. Как мы уже показали, древние астрономы могли, вообще говоря, отсчитывать долготы от различных точек на эклиптике. Изменение начала отсчета приводило, естественно, к прибавлению некоторой постоянной ко всем эклиптикальным долготам, а значит — и к изменению «датировки» каталога, если «датировать» его по прецессии долгот.

Понятно, что широта звезды не зависит от ошибки τ. Это — одна из причин большей надежности широтных координат. Именно поэтому далее мы будем работать с широтами и долготами отдельно. При учете широтных невязок достаточно лишь двух параметров, например, β и γ, задающих групповую ошибку.

Что можно сказать о величинах β и γ? Экваториальные широты звезд определяются из непосредственных наблюдений достаточно просто и точно [75]. Поэтому следует ожидать, что для аккуратного наблюдателя ошибка β должна быть достаточно малой в момент его наблюдения. Ошибка γ носит принципиально другой характер. Определение положения эклиптики является итогом достаточно сложных вычислений или результатом не очень простых измерений, см. главу 1. Следовательно, ошибка γ может оказаться существенно больше ошибки β.

В работах [544], [1339] можно найти указания на то, что в Альмагесте действительно имеется систематическая ошибка γ. Более того, некоторые исследователи Альмагеста оценивали величину этой ошибки приблизительно в 20′. Наши расчеты подтверждают это, см. главу 6.

Иногда вместо β и γ мы будем использовать параметры φ и γ, более удобные с вычислительной точки зрения. Смысл их поясняет рис. 3.14. С точки зрения широтных невязок групповая ошибка сводится лишь к неправильному положению плоскости эклиптики. Назовем его «эклиптикой каталога». Задать взаимное расположение плоскостей эклиптики каталога и реальной эклиптики на эпоху t_А составления каталога можно, фиксируя угол φ между осью равноденствий QR для эпохи t_А и осью CD поворота плоскости, а также фиксируя плоский угол γ между рассматриваемыми двумя плоскостями эклиптики — истинной и ошибочной. В дальнейшем мы будем параметризовать групповые ошибки, как правило, величинами φ и γ.

Рис. 3.14. Параметризация систематической ошибки в эклиптикальных координатах звезд при помощи параметров γ и φ или γ и β. В этом примере τ = 0.

Вообще говоря, составитель каталога мог сделать различную групповую ошибку в разных частях звездного неба. Причиной тому могли служить, например, перенастройка приборов, смена места наблюдения и т. п.

В главе 2 мы обнаружили семь частей звездного атласа Альмагеста, которые выделяются на звездном небе естественным образом и различаются своими «надежностными» характеристиками в Альмагесте, рис. 2.14. В главе 6 мы увидим, что эти же части неба в Альмагесте, вообще говоря, различаются также и значениями групповых ошибок и точностными характеристиками.

Отметим в заключение, что перечисленные выше причины появления групповых и прочих ошибок призваны лишь пояснить возможные механизмы возникновения ошибок. В итоге расчетов выявляются сами ошибки, но не их причины, которые могут и отличаться от указанных выше.

5.4. Обнаружение систематической ошибки в каталоге АльмагестаПосле ее компенсации выясняется, что заявленная точность каталога подтверждается

Истинный момент t_А составления каталога нам неизвестен. Поэтому для каждого момента Д считая его предполагаемым моментом датировки, найдем значения параметров γ(t) и φ(t). Метод нахождения представляет собой комбинацию метода наименьших квадратов и задачи регрессии на сфере. Его точностные свойства обсуждаются в главе 5.

Результаты вычислений можно представить в виде графиков γ_stat(t) и φ_stat(t), рис. 3.15. Эти графики мы получили после обработки координат звезд Альмагеста из больших частей неба. Индекс «stat» указывает, что соответствующие величины получены статистическим путем. Они представляют собой оценки параметров ошибки в положении звезд Альмагеста, которая оказалась единой для нескольких больших областей звездного неба. Оценки получены в предположении, что каталог составлен в эпоху t и поэтому являются функциями t. Будем называть эту ошибку и ее составляющие, — параметры γ(t) и φ(t), — систематическими ошибками.

Рис. 3.15. Поведение параметров γ_stat(t) и φ_stat(t) во времени.

Как эти ошибки связаны с групповыми? Если рассматриваемая большая область неба состоит из ряда созвездий, то найденные статистическим методом систематические ошибки являются усредненными значениями групповых ошибок, сделанных в отдельных созвездиях. При этом лишь в том случае, когда все групповые ошибки равны друг другу, они совпадают и с соответствующей систематической ошибкой.

Только в этом случае мы не будем различать термины ГРУППОВАЯ и СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ошибки.

Вокруг каждого значения γ_stat(t) и φ_stat(t) мы построили доверительные интервалы I_γ и I_φ допустимых значений γ и φ. Поясним, что γ_stat, и φ_stat, являются лишь точечными статистическими оценками неизвестных параметров. Неизвестные параметры определяют сделанную составителем каталога систематическую ошибку. Но значения их оценок, естественно, не равняются в точности значениям самих неизвестных параметров. Построение доверительных интервалов вокруг найденных точечных оценок γ_stat, и φ_stat позволяет с заданной степенью уверенности утверждать, что истинные значения параметров лежат в этих интервалах.

Способ построения доверительных интервалов, широко распространенный в статистических задачах, изложен в главе 5. Конкретные результаты, относящиеся к Альмагесту, приведены в главе 6.

Анализ ошибок проводился для всех найденных выше семи областей звездного неба Альмагеста. При этом мы определили не только значения систематических ошибок для них, но и значения «остаточных» среднеквадратичных широтных невязок, получившихся после компенсации найденных условных систематических ошибок. В результате оказалось, что наиболее точно измеренными являются части неба А и Zod А. См. главу 6 и табл. 2.3. В этих областях, кстати, лежит большинство именных звезд Альмагеста. Мы нашли также, что после компенсации систематической ошибки более половины звезд из части А получили остаточную широтную невязку не более 10′. См. главу 6. Для части Zod А доля таких «хорошо измеренных» звезд оказалась еще больше — 63,7 %. Таким образом, заявленная Птолемеем точность каталога в 10′ нашла подтверждение для широт большинства звезд из значительной по размеру части неба.

Следующий вопрос, который возникает, — это природа найденных параметров γ_stat, и φ_stat. Верно ли, что для всех звезд каталога, или хотя бы для звезд из области А, найденные величины γ_stat, и φ_stat, достаточно близки к реальным групповым ошибкам?

Ведь вполне возможен случай, что в каждом отдельном созвездии составитель каталога совершил свою собственную групповую ошибку. Тогда найденные нами значения по сути дела получаются усреднением различных групповых ошибок. Результат такого усреднения может получиться ненулевым лишь из-за того, что число созвездий невелико.

Для ответа на этот вопрос мы рассмотрели все зодиакальные созвездия и «окружения» большинства именных звезд. Вычисления показали, что величина γ^ZodA_stat, найденная для области неба Zod А, является ЕДИНОЙ для созвездий по крайней мере из области А. Иначе говоря, γ^ZodA_stat должна рассматриваться как систематическая составляющая, действующая на все звезды из хорошо измеренной области неба А, содержащей к тому же большинство именных звезд.

Однако про величину φ^ZodA_stat такого утверждения сделать нельзя. Интересно, что данный вывод о природе составляющих γ_stat и φ_stat может служить аргументом в пользу того, что измерения координат звезд для каталога Альмагеста производились с помощью армиллярной сферы. Подробности см. в главе 6.

5.5. После компенсации обнаруженной систематической ошибки в каталоге, появляется возможность датировать его

Компенсация найденной нами систематической ошибки позволила уменьшить погрешность широт в области Zod А Альмагеста с 17,7′ до 12,8′. В результате, появилась возможность датировки каталога.

Мы уже отметили, что заявленная Птолемеем точность Альмагеста в 10 минут действительно достигается на значительной части звезд каталога. Возникает вопрос. Есть ли такие звезды, на которых заявленная точность Альмагеста должна достигаться гарантированно?

Известно, что при измерении координат звезд наблюдатель всегда использует систему опорных точек-звезд на небе. См., например, [968]. Такой способ измерений естественен и использовался всеми средневековыми астрономами. Так, например. Тихо Браге в своих измерениях базировался на 21 опорной звезде [1049]. Современная система опорных точек на небе состоит из нескольких тысяч звезд. Они собраны в так называемых фундаментальных каталогах. См., например, каталог FK4 [1144]. В Альмагесте содержится указание на то, что в число опорных звезд должны входить Регул и Спика. Измерению координат этих звезд посвящены особые разделы Альмагеста.

Выдвинем следующий постулат. Если заявленная точность каталога подтверждена, то она должна гарантированно достигаться на множестве опорных звезд данного каталога.

Какие же звезды должны были непременно входить в число опорных звезд Альмагеста? В качестве таких звезд Птолемей, вероятно, в первую очередь использовал те звезды Альмагеста, которые он снабдил собственными именами в своем каталоге. Таких звезд немного — всего двенадцать. Они действительно образуют очень удобный базис в видимой части неба. Вот их полный список: Арктур, Регул, Спика, Превиндемиатрикс, Капелла, Лира = Вега, Процион, Сириус, Антарес, Аквила = Альтаир, Аселли, Канопус. Итого — 12 звезд.

Все эти звезды — яркие, легко заметные в своих окружениях. И что особенно важно для целей датировки, — некоторые из них обладают довольно большой скоростью собственного движения, например, Арктур, Процион, Сириус. Ряд других тоже заметно перемещается на звездной сфере — Регул, Капелла, Антарес, Аквила = Альтаир.

Однако из указанных двенадцати звезд две — Канопус и Превиндемиатрикс — пришлось сразу же исключить из рассмотрения. Дело в том, что на птолемеевские координаты Канопуса большое влияние оказала рефракция. В результате в эти координаты вошли огромные ошибки, и со статистической точки зрения они являются «выбросом». Что касается звезды Превиндемиатрикс, к сожалению, ее исходные птолемеевские координаты утеряны. Сегодня они просто неизвестны. См. об этом главу 2.

Еще две звезды — Сириус и Аквила (Альтаир) — исключены нами по причине того, что систематическая ошибка для них, как показал наш анализ, отлична от ошибки для остальных звезд. Причем значения систематической ошибки для этих двух звезд не могут быть определены.

Таким образом, датировку каталога Альмагеста мы получили на основе рассмотрения 8 оставшихся именных звезд. Вот их список:

Арктур (Arcturus, 16 α Воо), номер Байли в Альмагесте 110;

Регул (Regulus, 32 α Leo), номер 469;

Спика (Spica, 67 α Vir), номер 510;

Капелла (Capelia, 13 α Aur), номер 222;

Лира = Вега (Lyra, 3 α Lyr), номер 149;

Процион (Procyon, 10 α CMi), номер 848;

Антарес (Antares, 21 α Seo), номер 553;

Аселли (Acelli, 43 γ Cnc), номер 452.

5.6. Датировка каталога Альмагеста по движению его восьми базисных, именных звезд, после устранения статистически найденной ошибки каталога

Выдвинутая гипотеза имеет своим следствием то утверждение, что в искомую эпоху t_А составления каталога все рассматриваемые восемь именных, базисных звезд Альмагеста должны иметь широтную невязку не более 10′.

С другой стороны, мы знаем, что в эпоху t_А составляющая у систематической погрешности каталога должна лежать в доверительном интервале I_γ, построенном вокруг статистической оценки γ_stat(t_A). Отсюда получается естественный способ датировки.

Рассмотрим при фиксированном t и при фиксированном уровне доверия доверительный интервал I_γ вокруг γ_stat(t_A), и выделим в нем такое подмножество S_t, что при γ ε S_t, компенсация данной составляющей у систематической ошибки сделает широтные невязки всех восьми базисных, именных звезд меньшими 10′, то есть, меньше цены деления координатной шкалы каталога Альмагеста, рис. 3.16.

Рис. 3.16. Датировка каталога Альмагеста статистическим способом.

Вообще говоря, множество S_t может быть и пустым. Найдем все значения предполагаемых датировок t, при которых множества S_t не пусты. Эти значения и составляют интервал возможных датировок каталога Альмагеста, поскольку при всех предположительных датировках t из этого интервала широты всех 8 именных звезд получаются измеренными с точностью 10′.

Описанную процедуру датировки назовем статистической, поскольку она базируется на найденных статистическим методом величинах γ_stat(t). Подробно эта процедура описана ниже, в главе 7. Там же подробно обсуждаются получившиеся результаты датировки Альмагеста.

Оказалось, что ИНТЕРВАЛ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НАЧИНАЕТСЯ В 600 ГОДУ Н. Э. И ЗАКАНЧИВАЕТСЯ В 1300 ГОДУ Н. Э. Хотя величина его и составляет 700 лет, ввиду низкой точности каталога Альмагеста, интервал этот отстоит весьма далеко от скалигеровской даты составления Альмагеста (якобы II век н. э.).

5.7. Датировка каталога Альмагеста по движению его восьми базисных, именных звезд, независимым геометрическим методом

Используемые в статистической процедуре доверительные интервалы содержали в себе некоторый субъективно выбираемый параметр, а именно, уровень доверия — та малая вероятность, которой мы готовы поступиться при статистических выводах. Поэтому, вообще говоря, можно обсуждать вопрос о зависимости интервала датировки от выбранного уровня доверия. Наш вывод о том, что групповая ошибка для 8 именных звезд равна систематической ошибке для области Zod А, также имеет статистический характер и, следовательно, может быть неверным. Поэтому возникает вопрос: насколько может расшириться найденный интервал, если доверительные области неограниченно расширяются?

Мы дадим «геометрический ответ» на этот вопрос. Вновь фиксируем момент времени t в качестве «претендента» на искомый момент датировки. Найдем множество D_t таких значений γ, что при повороте реальной эклиптики эпохи t на этот угол, при некотором значении параметра φ широтная невязка всех 8 именных звезд попадет под 10-минутный уровень, рис. 3.17. Ясно, что D_t содержит S_t при всех t. Следовательно, мы найдем вообще все возможные значения t, при которых после некоторого подходящего вращения эклиптики широты всех 8 именных звезд отличаются от соответствующих широт звезд в Альмагесте не более, чем на 10′.

Рис. 3.17. Датировка каталога Альмагеста геометрическим способом.

Очень важно, что ПОЛУЧИВШИЙСЯ МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫЙ «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ИНТЕРВАЛ» ДАТИРОВКИ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА СОВПАЛ С ИНТЕРВАЛОМ, НАЙДЕННЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ. См. детали ниже, в главе 7.

В главе 7 мы покажем также, что предлагаемый метод датировки обладает устойчивостью относительно изменения исходных гипотез. Нами доказана устойчивость: относительно вариации уровня заявленной точности каталога, относительно сокращения или наоборот — расширения датирующего состава опорных звезд, а также относительно нелинейных искажений измерительных приборов. Работоспособность нашего метода проверялась и на искусственно составленных звездных каталогах, полученных моделированием случайных ошибок в наблюдении звездных координат. Заложенные при моделировании «даты наблюдений» искусственных каталогов во всех случаях оказывались согласованными с результатом датировки по нашему методу.

Кроме того, предложенный нами метод датировки успешно проверен на ряде известных старых каталогов. С его помощью мы датировали звездные каталоги Улугбека, аль-Суфи, Тихо Браге, Гевелия. Во всех случаях традиционно известные датировки исследованных нами старых звездных каталогов, — за исключением только каталога Альмагеста, — подтверждены нашим методом. Таким образом, звездный каталог Альмагеста явился единственным исключением в этом ряду. По всей видимости, это означает, что традиционная датировка жизни Птолемея содержит огромную ошибку на несколько сотен или даже более тысячи лет. Подробности см. в главе 9.

ГЛАВНЫЙ ВЫВОД. Звездный каталог Альмагеста создан в интервале от 600 года н. э. до 1300 года н. э. Тем самым, скалигеровская датировка каталога «Альмагеста» вторым веком н. э. оказывается грубо ошибочной.

В заключение этой главы приведем титульный лист издания Альмагеста 1551 года, рис. 3.18. Он любопытен тем, что дата издания на нем вписана от руки. Причем рукописная дата стоит именно в том месте титульного листа, где обычно стоит печатная дата. Не исключено, что эту дату вписали только в XVII или даже в XVIII веке. Возможно — с целью изобразить, что данное издание вышло в эпоху XVI века, в то время как на самом деле оно опубликовано гораздо позже.

Рис. 3.18. Титульный лист Альмагеста издания якобы 1551 года. Интересно отметить рукописную дату «Anno 1551». Скорее всего, она была проставлена задним числом в XVII–XVIII веках.

Глава 4