Книга 1. Звезды свидетельствуют — страница 7 из 20

Статистические и точностные свойства каталога Альмагеста

1. Вводные замечания

В предыдущих главах мы выяснили, что одной из узловых трудностей при датировании Альмагеста по собственным движениям звезд является проблема реальной точности звездных широт каталога Альмагеста в различных областях неба. Таким образом, необходим тщательный анализ ошибок звездных координат как каталога в целом, так и его частей по отдельности. Предварительный, довольно грубый анализ уже проведен выше, в главах 2 и 4.

Основным инструментом этой главы будут методы определения систематических ошибок звездных координат, описанные в главе 5. Прежде всего, мы покажем, что выделенные нами выше семь областей звездного атласа Альмагеста действительно отличаются друг от друга как величиной систематической ошибки, так и случайными погрешностями измерений. Мы найдем для этих областей ошибки в положении полюса эклиптики и величины остаточных среднеквадратичных ошибок звездных координат. Кроме того, в каждой области будут построены доверительные интервалы для параметров систематической ошибки γ_stat и φ_stat.

Далее, мы проанализируем сравнительно малые участки звездного неба — созвездия и окружения отдельных звезд. Цель этого анализа — убедиться, что найденные значения γ_stat и φ_stat действительно имеют природу систематических ошибок в достаточно больших частях каталога Альмагеста, а не являются результатом наложения множества групповых ошибок, различных для разных небольших групп звезд.

В результате, мы выделим хорошо измеренную Птолемеем область звездного неба. Забегая вперед, отметим, что она оказалась довольно значительной. Наша датировка каталога Альмагеста будет основываться на координатах звезд именно в этой, хорошо измеренной им области.

2. Семь областей звездного неба

2.1. Характеристика обнаруженных семи областей в атласе Альмагеста

В главе 2 были описаны семь областей звездного неба, естественным образом выделяющиеся на небе, а также отчетливо «проявляющие себя» в каталоге Альмагеста, рис. 6.1.

Рис. 6.1. Семь областей, обнаруженные на звездном атласе Альмагеста. Черными точками отмечены именные звезды.

В этой главе мы проанализируем птолемеевские координаты в общей сложности 864 звезд из этих областей. Эти 864 звезды оставлены нами из примерно 1000 звезд каталога Альмагеста после следующего отбора. Во-первых, по причинам, разъясненным в главе 2, исключены из рассмотрения так называемые звезды-информаты, то есть звезды, не входящие в канонические созвездия. Во-вторых, мы исключили также звезды-«выбросы», и неоднозначно отождествляемые звезды. Табл. 6.1 содержит точные указания — какие именно звезды Альмагеста входят в ту или иную область и какое количество звезд осталось в каждой области после указанной «чистки». В этой таблице для звезд использованы номера Байли, то есть сквозные номера в каталоге Альмагеста.

Таблица 6.1. Распределение звезд Альмагеста по областям неба с указанием — какое количество звезд осталось в каждой области после чистки каталога. Использованы номера Байли, то есть сквозные номера в каталоге Альмагеста.

Обратимся к рис. 6.1, схематично изображающему разбиение неба на указанные области. На нем черными точками отмечены все 12 именных звезд Альмагеста. Легко видеть, что контур области А совершенно явно очерчен именными звездами. Возникает впечатление, что Птолемей придавал области неба А какое-то особое значение. Это подтверждается и нашим предварительным анализом в главе 2. Как мы увидим в дальнейшем, часть А оказывается самой важной для датировки. Отметим, между прочим, что именно она содержит полюс мира N и полюс эклиптики P.

Именные звезды, окаймляющие область А, возможно, служили опорными для наблюдений Птолемея. Отправляясь от них, он двигался внутрь части неба А, измеряя координаты остальных звезд. При движении от звезды к звезде неизбежно накапливались ошибки измерений. Поэтому можно ожидать, что звезды области неба А, лежащие вне Зодиака, будут в среднем измерены чуть хуже, чем зодиакальные звезды. Дело в том, что половина именных звезд Альмагеста, — 6 из 12-ти — либо лежат на Зодиаке, либо находятся в непосредственной близости от него. На Зодиаке расположены Регул, Спика, Антарес, Превиндемиатрикс, Аселли. Непосредственно примыкает к Зодиаку Процион.

2.2. Расположение полюсов эклиптики для каждой из семи областей звездного атласа Альмагеста

Найдем сначала расположение полюсов эклиптики для каждой из семи выделенных нами областей неба в Альмагесте. В главе 5 показано, что положение полюса эклиптики относительно звезд каталога задается параметрами γ_stat и φ_stat. Эти параметры определяются по каталогу методом наименьших квадратов по формулам (5.3.6) и (5.3.7).

Рассчитаем по формулам (5.3.6) и (5.3.7) значения параметров γ_stat и φ_stat для каждой из семи областей неба по отдельности. После этого изобразим соответствующее каждой области положение полюса эклиптики на рис. 6.2. Кроме того, на этом же рисунке изобразим движение реального полюса эклиптики P(t) при изменении предполагаемой датировки.

На рис. 6.2 показан в качестве примера отрезок, соединяющий полюс эклиптики для части неба В с реальным полюсом эклиптики в эпоху t = 10, который обозначен Р(10). Длина этого отрезка равна величине γ^B_stat(10). Угол между этим отрезком и прямой, изображающей дугу D(10)D'(10), определение которой было дано в связи с рис. 5.4 и рис. 5.5, равен φ^B_stat(10). Естественно, в качестве t можно взять любую другую эпоху, а вместо области В любую другую область — и «считать» с рис. 6.2 соответствующие значения γ_stat и φ_stat.

Рис. 6.2. Взаимное расположение движущегося полюса эклиптики P(t) и полюсов эклиптики, определяемых для каждой из семи частей каталога Альмагеста.

В табл. 6.2 приведены рассчитанные нами значения γ_stat(18) и φ_stat(18) для всех семи областей неба. Эти значения однозначно задают положение полюса «эклиптики наблюдателя» для каждой области по отдельности. Впрочем, мы могли бы с тем же успехом взять любую пару значений γ_stat(t) и φ_stat(t) для произвольного t. См. раздел 5.4. Кроме того, в табл. 6.2 приведены исходная σ_init(18) и остаточная σ_min среднеквадратичные широтные невязки, получившиеся после компенсации систематической ошибки. См. формулы (5.3.2), (5.3.3). В разделе 5.4 мы показали, что σ_min не зависит от рассматриваемого момента времени t если пренебречь слабым влиянием собственного движения звезд. Таким образом, σ_min задается лишь положением полюса эклиптики, статистически определяемого по данной группе звезд Альмагеста.

Таблица 6.2. Рассчитанные значения параметров ошибки γ_stat(18) и φ_stat(18) в каталоге Альмагеста для различных областей неба.

По поводу собственного движения звезд отметим, что оно практически не влияет ни на оценку систематической ошибки γ_stat(t) и φ_stat(t) ни на остаточную среднеквадратичную погрешность звездных координат в каталоге Альмагеста. Поэтому о влиянии собственных движений мы здесь пока можем не говорить. Хотя, конечно, в наших расчетах оно всегда учитывалось.

Значение t = 18 выбрано в табл. 6.2 лишь по причине соответствия этого момента времени скалигеровской датировке Альмагеста.

Далее, в табл. 6.2 приведены следующие статистические характеристики точности звездных координат Альмагеста. Величина p_init(18) — это доля звезд, получивших при датировке каталога 100-м годом н. э. (t = 18) широтную невязку не более 10′. Напомним, 10′ — это цена деления шкалы каталога Альмагеста. Величина p_min — это доля звезд, получивших широтную невязку не более 10′ после компенсации систематической ошибки. Для рассматриваемых здесь больших совокупностей звезд эта величина от датировки наблюдений практически не зависит.

Показанное на рис. 6.2 расположение статистически определяемых полюсов Альмагеста по отношению к траектории движения истинного полюса говорит о том, что систематическая ошибка каталога Альмагеста во всех областях неба, кроме области C, «удревняет» каталог даже по сравнению со временем Гиппарха. Напротив, минимум систематической ошибки в области неба C приходится на t 10, то есть на 900 год н. э. Однако, как указывалось ранее, расположение полюса «эклиптики Птолемея» не имеет никакого отношения к дате составления каталога. Это расположение указывает лишь на характер и величину систематической ошибки, совершенной Птолемеем при измерении координат звезд в той или иной части неба.

Из рис. 6.2 следует также, что статистически определяемые положения полюса для областей А, Zod А, Zod В расположены достаточно близко друг к другу, то есть, в этих частях неба Птолемеем сделана, по-видимому, одна и та же систематическая ошибка. Мы вернемся к этому ниже при анализе отдельных созвездий Альмагеста. Далее, полюс эклиптики, определяемый по области В каталога Альмагеста, как видно из рис. 6.2, тоже расположен рядом с полюсом для групп А, Zod А, Zod В. Несколько дальше отстоит положение полюса для области M и еще дальше — для D. По-видимому, в областях M и D систематическая ошибка Альмагеста другая, отличная, от ошибки в области Zod А. Явным «выбросом» на рис. 6.2 выглядит область С.

2.3. Вычисление доверительных интервалов

В предыдущем разделе, для неизвестных нам параметров систематической ошибки каталога Альмагеста γ и φ вычислены точечные статистические оценки γ_stat и φ_stat. Найдем теперь соответствующие доверительные интервалы для γ и φ. Определение доверительных интервалов мы уже напоминали в разделе 5.5.

Представим результат в наглядной форме. Сначала для каждой из рассматриваемых областей неба построим графики зависимости от t оценок γ_stat(t) и φ_stat(t), 1 ≤ t ≤ 25. Затем изобразим на получившихся графиках пóлосы, вертикальными сечениями которых являются доверительные интервалы I_γ(ε), I_φ(ε) с уровнем доверия ε = 0,1. Доверительные интервалы мы рассчитаем по формулам (5.5.10) и (5.5.11).

Результат расчетов показан на рис. 6.3 — рис. 6.9. Более полная информация о границах доверительных интервалов для различных уровней доверия ε и двух значений предполагаемой датировки каталога Альмагеста, — для t = 7 (1200 г. н. э.) и t = 18 (100 г. н. э.) — содержится в табл. 6.3. В ней приведены значения полуширины доверительных интервалов I_γ(ε). Напомним, что центром доверительного интервала для γ при каждом фиксированном t является несмещенная оценка γ_stat(t). См. раздел 5.5. Доверительный интервал I_φ(ε) для φ располагается, вообще говоря, асимметрично относительно φ_stat(t) поскольку эта оценка может быть смещена. Однако указанная асимметрия достаточно мала и приближенно можно считать φ_stat(t) серединой доверительного интервала. Через x^γ_ε в таблице обозначена полуширина интервала I_γ(ε), а через x^φ_ε — полуширина интервала I_φ(ε).

Таблица 6.3. Значения полуширины x^γ_ε доверительного интервала I_γ(ε) и полуширины x^φ_ε доверительного интервала I_φ(ε) для различных уровней доверия ε и двух значений предполагаемой датировки каталога Альмагеста: 1200 г. н. э. (t = 7) и 100 г. н. э. (t = 18).

Рис. 6.3. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба А в Альмагесте.

Рис. 6.4. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба B в Альмагесте.

Рис. 6.5. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба C в Альмагесте.

Рис. 6.6. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба D в Альмагесте.

Рис. 6.7. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба M в Альмагесте.

Рис. 6.8. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба Zod A в Альмагесте.

Рис. 6.9. Поведение систематических ошибок γ_stat(t), φ_stat(t) и β_stat(t) для области неба Zod В в Альмагесте.

Цифры, приведенные в табл. 6.2 и табл. 6.3, позволяют сделать следующие выводы. Наиболее точно измерены в Альмагесте звезды из области неба Zod А. Это видно из того, что компенсация обнаруженной систематической ошибки для этой группы звезд позволила снизить среднеквадратичную ошибку до 12,8′. При этом оказалось, что около 64 % звезд получили после компенсации широтную невязку менее 10′.

Следующей по точности группой звезд в Альмагесте является область A. Там среднеквадратичная широтная невязка снизилась после устранения систематической ошибки до 16,5′. При этом число звезд, имеющих широтную невязку меньше 10′, возросло в этой области более чем до 50 %.

Доверительные интервалы I_φ(ε) и I_γ(ε) для областей неба Zod А и А оказались близки по размерам. См. табл. 6.3. Хотя точность измерений в области неба Zod А выше, чем в области А. Это объясняется разным числом звезд в этих областях. Размер доверительного интервала тем больше, чем меньше звезд. И тем меньше, чем выше точность измерений.

Данные табл. 6.2 подтверждают претензии Птолемея на точность в 10′. По крайней мере — для широт звезд.

Следующими по точности измерений оказываются группы звезд Альмагеста в частях неба В и Zod В. Их точностные характеристики весьма близки. Остаточная среднеквадратичная ошибка равняется приблизительно 19′. Звезды с широтной невязкой меньше 10′ составляют около 44 % в этих группах. Положения полюса эклиптики, определяемые по этим частям неба в Альмагесте, хотя «на глаз» и близки к положениям полюса для А и Zod А, но попадают в соответствующие доверительные полосы лишь при достаточно малых значениях ε = 0,01. Это означает, что систематические ошибки в областях неба В и Zod В могут отличаться от ошибок в областях неба А и Zod А. Кроме того, в частях неба А и Zod А звезды измерены существенно точнее, чем в областях неба В и Zod В. Ниже мы приведем дополнительные аргументы, подтверждающие это обстоятельство.

Звезды в областях неба C, D, M измерены в Альмагесте хуже, чем в частях неба A и B. Более того, в этих областях значения оценок γ_stat и φ_stat попадают в доверительные интервалы для γ_stat и φ_stat по областям неба A, Zod A, В и Zod B лишь при достаточно малых ε. Это означает, что мы обязаны допустить в C, D, M наличие таких систематических ошибок Альмагеста, которые отличаются от систематической ошибки в областях A, Zod A, B и Zod В.

При анализе табл. 6.2 и табл. 6.3 уже возникал вопрос о том, какое изменение среднеквадратичной ошибки следует считать большим, а какое — малым. Для ответа на вопрос воспользуемся анализом чувствительности, проведенным в главе 5. Схема решения иллюстрируется на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Определение допустимых изменений среднеквадратичных широтных невязок.

На координатной плоскости (γ, φ) изобразим эллипсоидальные линии уровней функции σ²(γ,φ,t), см. формулу (5.3.9). На этой же плоскости изобразим прямоугольник R(ε), имеющий координатные проекции I_γ(ε) и I_φ(ε). На рис. 6.10 это — заштрихованный прямоугольник. Тогда вероятность того, что истинное значение систематической ошибки (γ, φ) лежит в этом прямоугольнике, не меньше, чем 1–2ε. Найдем σ²_max(ε) = max σ²(γ, φ, t), где максимум берется по всем парам (γ, φ) R(ε). Найденная величина σ_max(ε) определяет допустимую, — с уровнем доверия 1–2ε, — среднеквадратичную широтную невязку, а разность σ_max(ε) — σmin определяет допустимое увеличение среднеквадратичной невязки из-за неточности оценивания параметров γ и φ значениями γ_stat и φ_stat.

В табл. 6.4 для областей неба A и Zod A приведены величины а₁₁, а₁₂, а₂₂ на момент t = 18, определяющие линии уровня среднеквадратичных ошибок. Линии уровня определяются формулой (5.3.9), в которой γ надо измерять в дуговых минутах, а φ — в градусах. В таблице приведены также величины Δσ = σ_max(ε) — σ_min, рассчитанные для «крайних» значений ε = 0,1 и ε = 0,005. Отметим, что полученные величины, оказывается, мало меняются со временем. Эти цифры показывают уверенное разделение по точности областей неба A и Zod A, с одной стороны, и областей неба B и Zod B — с другой. В самом деле, даже при уровне доверия 1 — 2ε = 0,99 среднеквадратичная ошибка в доверительной области, построенной для области Zod A, не достигает минимального значения ошибки, полученного для областей неба B и Zod В.

Таблица 6.4. Значения величин а₁₁, а₁₂, а₂₂, рассчитанные для каталога Альмагеста в предположении, что он был составлен около 100 года н. э. (t = 18).

Аналогичное утверждение верно и для части неба А. Хотя для области неба А и больше, но это превышение происходит лишь при ε ≤ 0,01. При остальных значениях уровни ошибок в областях неба A и B следует считать существенно различными, то есть, разделяемыми статистическим критерием. Отметим здесь же, что точно так же звезды из группы Zod A, уверенно отличаются по точности от звезд из области неба A, так как при всех рассмотренных значениях ε величина σ_max, найденная для Zod A, является меньшей, чем σ_min, полученная для части неба А.

Далее, табл. 6.3 показывает, что параметр φ_stat определяется недостаточно устойчиво, особенно для «плохих» в Альмагесте областей неба C, D, M. Об этом говорят размеры доверительных интервалов I_φ(ε). Так, для области C полная ширина этого интервала превышает 180 градусов!

3. Анализ отдельных созвездий Альмагеста

3.1. Составитель Альмагеста мог делать для каждой малой группы созвездий свою ошибку

Дальнейший анализ порожден следующей проблемой. Параметры γ_stat и φ_stat определяющие систематическую ошибку, найдены по большой совокупности звезд. Они соответствуют такому повороту эклиптики, который минимизирует среднеквадратичную невязку звезд из этой совокупности. Однако нельзя априори исключать вариант, состоящий в том, что составитель делал для каждой малой совокупности звезд, например для созвездий, свою групповую ошибку. В этом случае параметры γ_stat и φ_stat представляют собой лишь некоторые усредненные значения истинных групповых ошибок и будут нам мало полезны.

Обратим внимание, что размеры доверительных интервалов для величин φ_stat, найденные в разделе 2, весьма велики. Это может объясняться как нечувствительностью широтных невязок к углу поворота φ, так и «несистематичностью» ошибки φ_stat. Иначе говоря, вероятен случай, что параметры γ_stat и φ_stat могут иметь различную природу, то есть, γ_stat является результатом ошибки, совершенной наблюдателем относительно всех звезд — ошибки в положении эклиптики, а φ_stat — это результат наложения и усреднения индивидуальных ошибок. Такая разница в поведении параметров легко объяснима, если рассмотреть, например, основной астрономический прибор тех времен — армиллярную сферу, см. главу 1. В этом измерительном приборе угол между плоскостями экватора и эклиптики фиксируется раз и навсегда. Если при этом допущена ошибка, то она должна присутствовать в координатах всех звезд, которые измерены с помощью данной армиллярной сферы. Ошибка же в угле φ имеет другую природу. Она индивидуальна для каждой звезды и меняется при переходе от измерения координат одной звезды к другой.

Поэтому стоит определить групповые ошибки для отдельных созвездий Альмагеста и сравнить их с систематической ошибкой наиболее хорошо измеренной совокупности звезд Zod А.

3.2. Вычисление систематических ошибок для отдельных групп созвездий в Альмагесте

В этом разделе исследуется 21 малая совокупность звезд Альмагеста. Их перечень содержится в табл. 6.5, структура которой полностью аналогична структуре табл. 6.1. Дополнительно укажем лишь на принцип отбора малых звездных конфигураций. Это все зодиакальные созвездия Альмагеста, а также окружения именных звезд. Не рассматривались лишь окружения звезд Канопус и Превиндемиатрикс, — по причинам, указанным выше, — а также звезда Процион, из-за исключительной малочисленности звезд ее окружения.

Таблица 6.5. Состав звезд в 21 группе звезд Альмагеста, для каждой из которых нами были определены значения систематических (групповых) ошибок. В число этих групп вошли все зодиакальные созвездия Альмагеста, а также окружения 12-ти именных звезд Альмагеста, кроме Канопуса и Превиндемиатрикс. В таблице приводятся номера Вайли, то есть сквозные номера в каталоге Альмагеста.

Нахождение групповых ошибок для отдельных созвездий Альмагеста связано со следующими трудностями. Рассмотрим какую-либо группу звезд С и найдем для нее методом наименьших квадратов значения γ^G_stat и φ^G_stat. При этом определится минимально возможная остаточная среднеквадратичная широтная невязка σ^G_min. А также — доля звезд P^G_min, по отношению к моменту времени t = 18, имеющих остаточную широтную невязку менее 10′. Однако ввиду малочисленности отдельных групп звезд, статистическая погрешность оценок γ^G_stat и φ^G_stat слишком велика, чтобы делать на основе полученных данных достаточно обоснованные заключения.

Однако, величина σ^G_min указывает на нижнюю границу возможных среднеквадратичных ошибок в группе в. Эта минимально возможная ошибка получается при повороте системы координат на углы γ^G_stat и φ^G_stat. Разумеется, величины γ^G_stat и φ^G_stat могут сильно отличаться от γ_stat и φ_stat, полученных по большой совокупности звезд, в которую входит группа G. Критерием того, что групповая ошибка в группе в совпадает с систематической ошибкой в большой совокупности звезд, могло бы служить приблизительное равенство σ^G_min = σ^G₁, где σ^G₁,- среднеквадратичная остаточная погрешность по группе G после поворота системы координат на углы γ_stat и φ_stat. В самом деле, приведенное выше приблизительное равенство означает, что γ_stat и φ_stat — «почти» оптимальные значения. Чтобы подкрепить этот критерий, мы определим дополнительно величины P^G_min и P^G₁ — доля звезд из G, получившая не более чем 10′ широтную невязку после поворотов соответственно на (γ^G_stat, φ^G_stat) и (γ_stat, φ_stat). Если дополнительно мы увидим, что P^G_min = P^G₁, то это будет означать, что группа G действительно имеет ту же групповую ошибку, что и систематическая ошибка для большой совокупности звезд. Заметим, что последнее приблизительное соотношение не является следствием первого, а служит независимым подтверждением нашего утверждения. Заметим также, оба эти соотношения не зависят от времени, если пренебречь собственным движением звезд. Поэтому их проверка на практике может осуществляться только для одного момента времени, причем любого.

Мы рассчитали значения σ^G₁ и P^G₁ для различных групп G в Альмагесте для момента времени t = 18. Повторим еще раз, что эти значения равны соответственно среднеквадратичной широтной невязке и доле звезд, имеющих широтную невязку не более 10′ при условии, что полюс эклиптики совпадает с полюсом, определенным для наиболее хорошо измеренной совокупности звезд области Zod A. Другими словами — при том условии, что групповые ошибки равны величинам γ^ZodA_stat и φ^ZodA_stat.

Среднеквадратичную широтную невязку и долю звезд, имеющих широтную невязку не более 10′, в группе G без компенсации систематической ошибки, для t = 18 мы обозначим соответственно через σ^G_init и P^G_init.

Если величина σ^G₁ превышает минимально возможное значение σ^G_min незначительно, то мы вправе считать, что групповая ошибка в совокупности звезд G совпадает с систематической ошибкой в области неба Zod A. Разность величин P^G_min и P^G₁ представляет собой еще один критерий близости групповой и систематической ошибок. Напомним, что величины σ^G_min и σ^G₁ не зависят от времени для неподвижной совокупности звезд и слабо зависят от него для подвижных звезд. Аналогичное утверждение верно и для количества звезд, попадающих в 10-минутный интервал для широтной невязки.

Табл. 6.6 содержит вычисленные нами числовые данные. Наглядно они представлены на рис. 6.11 и рис. 6.12. Рис. 6.11 содержит информацию о величинах σ^G_min и σ^G₁, а также о P^G_min и P^G₁ для всех зодиакальных созвездий Альмагеста. Они обозначены здесь Z1, …, Z12. На рис. 6.12 представлены соответствующие результаты для окружений именных звезд Альмагеста. Они обозначены здесь S1, …, S9. Следует сказать, что для именных звезд Альмагеста, которые являются зодиакальными, их окружение не совпадает полностью с соответствующим созвездием Зодиака. Это окружение представляет собой группу звезд этого созвездия, получивших название в системе Байера. Совокупность таких звезд составляют сравнительно более яркие и, как правило, надежно отождествляемые в Альмагесте звезды. Это обстоятельство повышает надежность выводов.

Таблица 6.6. Результаты расчетов для 21 группы звезд Альмагеста. Здесь σ^G_init, σ^G_min, σ^G₁ — ср. кв. широтные невязки в группе G- исходная, остаточная и остаточная после компенсации в G систематической ошибки, определенной по Zod A. Приведены также рассчитанные после аналогичных компенсаций значения P^G_init, P^G_min, P^G₁ процентных долей звезд, имеющих широтную невязку менее 10′.

Рис. 6.11. Зависимости σ^G_init, σ^G_min, σ^G₁, P^G_init, P^G_min, P^G₁ для зодиакальных созвездий.

Рис. 6.12. Зависимости σ^G_init, σ^G_min, σ^G₁, P^G_init, P^G_min, P^G₁ для окружений именных звезд.

3.3. Групповые ошибки по созвездиям из хорошо измеренной области неба в Альмагесте практически совпадают с систематической ошибкой, обнаруженной для этой области в целом

Из приведенных графиков и табл. 6.6 следует, что зодиакальные созвездия из части неба Zod А, — а именно, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, — обладают в Альмагесте следующим замечательным свойством. Среднеквадратичная ошибка σ₁ и доля звезд с широтной невязкой не более 10′, полученные в предположении, что групповая ошибка равна (γ^ZodA_stat, φ^ZodA_stat), незначительно отличаются от величин σ_min и P_min, получаемых при оптимальном для рассматриваемого созвездия положении полюса эклиптики. Наибольшее отличие отмечено в «наиболее благополучном» созвездии Весов, где все величины σ_init, σ_min и σ₁ не превосходят 10′, a P_init = P_min = Р₁ = 83,3 %. Такова доля звезд, имеющих широтную невязку не более 10′. Равенство P_init = P₁ = P_min объясняется просто. Данное созвездие лежит почти на оси равноденствия и поворот γ практически не оказывает на него влияния.

Однако и для созвездий из части неба Zod B в Альмагесте сделанный вывод также может быть принят. Хотя и с бóльшими оговорками. Впрочем, далее для нас справедливость или несправедливость этого вывода значения иметь не будет, так как в части Zod В нет ни одной именной звезды Альмагеста. Тем не менее, отметим один занятный факт, выявленный для созвездия Овна. Хотя после компенсации обнаруженной систематической ошибки, величина σ₁ понизилась по сравнению с σ_init несущественно (заметим, что и σ_min отличается от σ_init ненамного), но P₁>> P_init = P_min, то есть помещение полюса эклиптики в найденную для Zod А точку позволило резко, до 72,7 %, повысить долю хорошо измеренных в Альмагесте звезд в созвездии Овна.

Общий вывод, который вытекает из рассмотрения всех зодиакальных созвездий, следующий. Если для оптимальной величины σ_min выполнено соотношение σ_min<< σ_init, то предположение о том, что групповая ошибка равна систематической, для области неба Zod A, и последующая компенсация этой ошибки ведут к соотношению σ₁<< σ_init. При этом справедливы также соотношения Р₁>> P_init, P_min>> P_init. Подобным свойством обладают в Альмагесте созвездия Близнецов, Рака, Льва, Девы, Скорпиона, Козерога, Водолея.

Если величина σ_min близка к σ_init, то, как правило, σ_min ≤ σ₁ ≤ σ_init и эффект от помещения полюса эклиптики в точку, соответствующую части неба Zod А, мало заметен. Этим свойством обладают в Альмагесте созвездия Овна (как мы отмечали, для него резко повысилась доля хорошо измеренных звезд), Тельца, Весов, Стрельца, Рыб. Среди отмеченных созвездий хорошие точностные свойства Весов, из части неба Zod A, практически не меняются при перемещении полюса эклиптики из оптимальной для него точки в точку, соответствующую области Zod А. Точностные свойства Овна в Альмагесте при этом даже улучшаются, а свойства остальных созвездий — не меняются, оставаясь средними по качеству. Типичным примером является Телец, для которого σ_init = 23,2′, σ_min = 18,1′, σ₁ = 20,6′, P_init = 27,6 %, P_min = P₁ = 41,4 %. Из всех созвездий Альмагеста несколько выделяются Рыбы. Для них и P_min < P_init, и Р₁< P_init при том, что σ_init = σ_min = σ₁.

3.4. Как влияет компенсация обнаруженной систематической ошибки на точностные свойства окружений именных звезд

Картина с окружениями именных звезд в Альмагесте более разнообразна. Прежде всего отметим окружения Аквилы и Сириуса. В обоих этих случаях компенсация обнаруженной систематической ошибки, характерной для области неба Zod A, приводит к следующему. Во-первых, — к повышению среднеквадратичной широтной невязки. В случае Сириуса — к существенному, с 15,2′ до 25,9′. Во-вторых, к резкому уменьшению доли хорошо измеренных звезд. Для Аквилы — с 40 % до 13,3 %, а для Сириуса — с 47,4 % до 15,8 %. Это говорит о том, что групповая ошибка, совершенная составителем при измерении окружений Аквилы и Сириуса, существенно иная, чем систематическая ошибка для области неба Zod A. К сожалению, достоверно определить эти ошибки не представляется возможным. Поэтому Сириус и Аквила из дальнейшего рассмотрения были исключены.

Окружения остальных именных звезд, в общем, обладают теми же свойствами, что и зодиакальные созвездия, а именно, звезды из окружений Антареса, Аселли, Арктура, Спики, Регула существенно уменьшают среднеквадратичную ошибку, — до значений, близких к минимально возможным, — при компенсации групповой ошибки, равной систематической для области Zod А. При этом и доля Р₁ звезд, получивших широтную невязку менее 10′, существенно возрастает по сравнению с исходным значением P_init. Окружение Капеллы обладает свойством, аналогичным полученному для созвездия Овна, а именно, среднеквадратичная широтная невязка в этом окружении мало изменяется при перемещении полюса эклиптики из исходного положения в оптимальное и в положение, вычисленное для части неба Zod А. Зато в последнем из упомянутых положений резко, до 64,3 %, возросла доля звезд в окружении Капеллы, «уложившихся» в 10-минутную широтную невязку. Для сравнения отметим, что в исходном положении эта доля составляла 35,7 %, а в оптимальном, по среднеквадратичной широтной невязке, — 14,3 %! Звезды из окружения Веги, напротив, получили заметное уменьшение среднеквадратичной широтной невязки. Но при перемещении полюса эклиптики в положение, характерное для области неба Zod A, произошло существенное уменьшение числа звезд с 10-минутной широтной невязкой. Таким образом, характер групповых ошибок для окружений Веги и Капеллы остается неопределенным. Это и неудивительно. Вспомним, что звезды эти находятся достаточно далеко от части неба Zod А.

3.5. Найдена единая систематическая ошибка, совершенная составителем Альмагеста в области Zod A, и для большинства именных звезд

Хотя для большей части рассматриваемых созвездий мы и обнаружили близость характеристик σ₁ и Р₁ соответственно к σ_min и P_min (что говорит о систематическом характере γ_stat), вопрос о «систематичности» ошибки φ_stat остался открытым. Для его решения поступим следующим образом. Рассмотрим какое-либо созвездие Альмагеста. Ограничимся лишь зодиакальными созвездиями, где лежат, впрочем, и 6 именных звезд. Найдем для этих созвездий характеристики σ₂ и Р₂, определяемые следующим образом. Первая характеристика — это остаточная среднеквадратичная невязка. Вторая — доля звезд из созвездия, имеющих широтную невязку не более 10′. Обе характеристики получаются при статистической ошибке γ^ZodA_stat, вычисленной для области Zod А, и при φ⁽²⁾, находимом из условия минимизации ошибки σ². Иначе говоря, для созвездия G имеем

σ₂^G= σ₂^G(t) = min_φσ^G(γ_stat^ZodA, φ, t), φ⁽²⁾= arg min_φσ^G(γ_stat^ZodA, φ, t).

Составим табл. 6.7, аналогичную табл. 6.6. Более того, ряд данных в этих таблицах для наглядности повторяется. В табл. 6.7 вместо величин σ₁ и Р₁ занесены σ₂ и Р₂. Изобразим эти данные также в виде рис. 6.13, аналогичного рис. 6.11. Как из таблицы, так и из рисунка видно, что компенсацией систематической ошибки в зодиакальных созвездиях из области неба Zod А и вариацией величины φ можно достичь минимально возможных значений φ₂, весьма близких к σ_min, или даже равных σ_min. При этом и величина Р₂ будет близка к Р_min, или равна Р_min. Интересно, что такая же картина сохраняется и для созвездий из части неба Zod В.

Таблица 6.7. Результаты расчетов для зодиакальных созвездий Альмагеста. Здесь σ^G_init, σ^G_min, σ^G₂; — ср. кв. широтные невязки в группе G — исходная, остаточная и остаточная после компенсации в G систематической ошибки, определенной по Zod A при оптимальном подборе параметра φ. Приведены также рассчитанные после аналогичных компенсаций значения Р^G_init, P^G_min, P^G₂ процентных долей звезд, имеющих широтную невязку менее 10′.

Рис. 6.13. Зависимости σ_min, σ₂, σ_init, P_min, Р₂, P_init для зодиакальных созвездий.

Все это убедительно доказывает, что найденная нами величина γ^ZodA_stat действительно является систематической ошибкой, совершенной составителем каталога Альмагеста при измерениях звезд из области неба Zod A, а также именных звезд. Кроме Сириуса, Аквилы и Канопуса. Величина же φ^ZodA_stat может быть результатом усреднения отдельных ошибок измерений, и считать ее систематической ошибкой оснований нет. Кроме того, величина φ_stat определяется достаточно грубо и в этом плане малоинформативна.

4. Выводы

ВЫВОД 1. Статистически подтверждено, что полюса эклиптики звезд из областей неба A и Zod A в Альмагесте лежат в непосредственной близости друг от друга, то есть, систематическая ошибка, совершенная составителем каталога Альмагеста в этих частях неба, одна и та же.

ВЫВОД 2. Проведенный статистический анализ не дает оснований считать, что систематические ошибки каталога Альмагеста в областях неба C, D, M, В, Zod B совпадают с ошибками для областей неба A и Zod А. При этом систематические ошибки в частях неба С, D, M с высокой вероятностью отличаются от ошибок в областях неба А и Zod А. Об ошибках в частях неба В и Zod B в Альмагесте ничего определенного сказать нельзя, так как имеющийся числовой материал не позволяет сделать уверенный статистический вывод.

ВЫВОД 3. Точность измерения звезд из областей неба A и Zod A в Альмагесте существенно выше, чем для других областей неба.

ВЫВОД 4. Среднеквадратичная остаточная широтная невязка в области неба Zod A составляет в Альмагесте 12,8′. При этом около 2/3 всех звезд из этой части неба имеют широтную невязку менее 10′, то есть, укладываются по широте в заявленную Птолемеем точность каталога Альмагеста в 10 минут. Соответствующие значения для области неба A равны 16,5′ и 1/2.

ВЫВОД 5. Рассмотрение зодиакальных созвездий и окружений именных звезд в Альмагесте позволяет сделать вывод, что параметр γ, — ошибка в угле наклона эклиптики, — представляет собой систематическую ошибку. Параметр же φ может представлять собой усредненное значение групповых или индивидуальных ошибок.

ВЫВОД 6. Групповая ошибка γ в созвездиях Близнецов, Рака, Льва, Девы, Весов, Скорпиона, Стрельца, Козерога, окружениях Антареса, Аселли, Арктура, Спики, Регула близка в Альмагесте к систематической ошибке φ^ZodA_stat, характерной для наиболее точно измеренной части неба Zod A, или даже совпадает с ней.

ВЫВОД 7. О значении групповых ошибок в Альмагесте в созвездиях Овна и Тельца сказать ничего определенного нельзя. Они могут как совпадать с ошибками в области неба Zod A, так и отличаться от них. Ошибки в окружениях звезд Капеллы и Веги также не могут быть определены.

ВЫВОД 8. Групповые ошибки в Альмагесте в окружениях Сириуса и Аквилы отличаются от ошибки, характерной для части неба Zod A. Но найти эти ошибки нам не удалось. Групповая ошибка для созвездия Рыб, по всей вероятности, также отличается от φ^ZodA_stat.

Глава 7