Книга 1. Звезды свидетельствуют — страница 8 из 20

Датировка звездного каталога АльмагестаСтатистический и геометрический методы

1. Информативное ядро каталога — это хорошо измеренные именные звезды

Анализ звездного каталога Альмагеста, приведенный в главах 2–6, имел своей целью уменьшить широтные ошибки звезд путем компенсации обнаруженной нами в каталоге систематической ошибки.

В итоге мы подтвердили, что претензия составителя Альмагеста на то, что заявленная им точность измерений равняется 10′, справедлива, по крайней мере, в отношении широт большинства звезд из части неба А. Это обстоятельство представляется нам достаточно важным.

Однако датировать каталог Альмагеста можно лишь путем рассмотрения достаточно быстрых и заведомо точно измеряемых звезд. Иначе говоря, для целей датировки нужно иметь оценки индивидуальных ошибок. Полученные нами статистические характеристики не дают и не могут дать никакой информации о том, какие именно звезды измерены точно.

Выбор таких звезд может быть основан лишь на правдоподобных рассуждениях, опирающихся на известные практические приемы измерения координат звезд в древности, см. главу 1. Известно, что в средние века, да и в настоящее время, базисом для измерения координат большинства звезд служат так называемые опорные звезды, число которых мало по сравнению с числом звезд каталога.

Начнем с того, что повторим некоторые соображения, высказанные в предыдущих главах и которые мы заложим в наш метод датировки.

К сожалению, набора опорных звезд Альмагеста мы не знаем. Известно лишь, что в их число должны входить Регул и Спика, поскольку измерению их координат посвящены специальные разделы Альмагеста. Однако естественно предположить, что особенно тщательно составитель каталога измерял именные звезды. Таких звезд, как уже говорилось, в Альмагесте двенадцать: Арктур, Регул, Спика, Превиндемиатрикс, Капелла, Лира = Вега, Процион, Сириус, Антарес, Аквила = Альтаир, Аселли, Канопус.

В работе [1120] исследован вопрос о том, какие звезды были опорными для Птолемея при наблюдении планет. Оказывается, что это следующие звезды. Сам Птолемей упоминает их как опорные звезды на эклиптике. Таких звезд четыре: Альдебаран = α Tau, Регул, Спика и Антарес. Три из них — именные в Альмагесте, а именно, Регул, Спика, Антарес. По-видимому, для наблюдения за планетами Птолемею пришлось добавить к ним и Альдебаран. Все эти четыре звезды, кстати, входят в нашу табл. 4.3.

Двенадцать именных звезд Альмагеста — яркие. Они хорошо выделяются среди своих окружений и образуют на звездной сфере удобный базис. Для нас важно, что среди них довольно большая часть обладает заметным собственным движением, а некоторые — Арктур, Процион, Сириус — имеют весьма высокую скорость собственного движения.

Семь именных звезд Альмагеста лежат либо в области неба Zod A, либо в непосредственной близости от нее. Это — Арктур, Спика, Процион, Аселли, Превиндемиатрикс, Регул, Антарес. Девять именных звезд окаймляют область неба A, а именно, к перечисленным семи звездам Альмагеста следует добавить Лиру = Вегу и Капеллу. Таким образом, если даже эти 12 звезд и не являлись опорными, то они, скорее всего, должны были измеряться достаточно тщательно.

Однако, несмотря на вероятную тщательность измерения их координат, звезды эти неравноправны. Наш анализ показал следующее.

1) Канопус является очень южной звездой и на результат измерения его координат большое влияние оказывает рефракция. Поэтому, несмотря на тщательность измерения, его координаты в каталоге заведомо содержат большую ошибку, более 1 градуса.

2) Координаты Превиндемиатрикс, измеренные составителем Альмагеста, нам неизвестны. Известны лишь результаты более поздних измерений [1339].

3) Групповые ошибки в окружениях Сириуса и Аквилы не совпадают с ошибками, найденными нами в главе 6 для остальных звезд. Значение этих ошибок мы определить не в состоянии, поэтому и скомпенсировать их невозможно. Следовательно, найти истинные погрешности измерения этих звезд также невозможно.

Таким образом, для целей датировки каталога Альмагеста у нас остается 8 именных звезд, окружения которых обладают единой групповой ошибкой. Во всяком случае, едина ее составляющая γ. Назовем эти именные звезды информативным ядром каталога Альмагеста.

Естественно выдвинуть следующую гипотезу. Если заявленная составителем точность каталога действительно подтверждена, то она должна гарантированно достигаться на информативном ядре каталога, после устранения групповой ошибки.

Эта идея и положена нами в основу метода датировки звездных каталогов.

В то же время совершенно не очевидно, можно ли с помощью информативного ядра получить датировку звездного каталога. Несмотря на то, что нам удалось восстановить истинные значения случайных ошибок каталога Альмагеста путем компенсации групповых ошибок, непонятно, — достаточно ли мала остаточная ошибка для вычисления искомой даты. Кроме того, хотя мы и доказали идентичность групповых ошибок в окружениях звезд, входящих в информативное ядро каталога, но отсюда, вообще говоря, не следует, что и для конкретных звезд из ядра каталога индивидуальная ошибка такова же. Конечно, возможность такого рассогласования выглядит неестественной. Центральная звезда окружения, по-видимому, должна иметь тот же характер ошибки, что и ее ближайшее окружение. Однако, строго говоря, гипотеза о подобном рассогласовании имеет право на существование. Не следует также исключать и возможности неточного определения, с погрешностью более 10′, координат звезды из информативного ядра каталога.

Все это говорит о том, что если все же будет найден момент времени, в который выполнена выдвинутая нами гипотеза, то это будет служить дополнительным доказательством истинности предпосылок, полученных статистическим путем.

2. Предварительные соображения о датировке каталога Альмагеста по изменению координат именных звезд

В разделе 1 выделена группа звезд, которую мы назвали информативным ядром Альмагеста. Ее поведение будет подробно рассматриваться далее. Здесь же мы проанализируем поведение совокупности всех 12 именных звезд Альмагеста. Это предварительное изучение, во-первых, наглядно показывает, насколько улучшаются точностные свойства каталога Альмагеста после компенсации в нем систематической ошибки. Во-вторых, дает дополнительное обоснование того факта, что 3 именных звезды из 12, — а именно, Канопус, Сириус и Аквила = Альтаир. — нарушают однородность всей выборки. Выясняется, что по отношению к остальным именным звездам эти три звезды являются «выбросами». Ниже при исследовании всей совокупности 12 именных звезд Альмагеста мы используем координаты звезды Превиндемиатрикс из [1339], вычисленные, по-видимому, Галлеем. Обозначим через ΔB_i(t, γ, φ) разность между широтой i-й звезды информативного ядра Альмагеста после компенсации систематической ошибки (γ, φ) и ее истинной широтой, рассчитанной на эпоху t.

СООБРАЖЕНИЕ 1. Посмотрим, как соотносится точность широт именных звезд каталога Альмагеста с ценой деления шкалы этого каталога (а именно, 10′) в предположении, что глобальных систематических ошибок каталог не содержит. Табл. 7.1 включает величины абсолютных широтных невязок всех 12 именных звезд Альмагеста в зависимости от предполагаемой датировки t. В первом столбце после имени звезды указан в скобках ее номер в Альмагесте (номер Байли). Величины широтных невязок даны в дуговых минутах.

Из табл. 7.1 видно, что для 7 из 12 именных звезд Альмагеста широтная невязка при всех возможных значениях датировки t превышает границу 10′. В столбцах, соответствующих скалигеровской датировке Альмагеста 100 годом н. э. (якобы эпоха Птолемея) и 200 годом до н. э. (якобы эпоха Гиппарха), обращает на себя внимание, прежде всего то, что ошибка в координате Арктура исключительно велика, а именно 30′-40′. Удивительно, что самую заметную и самую яркую звезду северного полушария неба Птолемей (или Гиппарх) наблюдал существенно хуже всех остальных звезд. Далее, из текста Альмагеста следует, что координаты звезды Регул измерялись при составлении каталога несколько раз, и что эта звезда заведомо являлась одной из опорных точек для измерения координат всех остальных звезд каталога. Естественно ожидать, что координаты Регула измерены Птолемеем с максимально возможной точностью и поэтому широтная невязка для нее должна быть меньше 10′. Заметим, что для другой яркой звезды на эклиптике, а именно, для Спики, — координаты которой Птолемей также измерял отдельно на первоначальном этапе, а затем использовал ее как опорную (см. главу VII. 2 Альмагеста [1358]), — широтная невязка не превосходит 5′, то есть не превосходит половины цены деления шкалы каталога.

Таблица 7.1. Широтные невязки 12-ти именных звезд Альмагеста в зависимости от предполагаемой датировки. Здесь пока не скомпенсирована систематическая ошибка, обнаруженная нами в каталоге Альмагеста.

Учтем теперь систематическую ошибку, найденную нами в Альмагесте, см. главу 6. Так как составляющая у этой ошибки меняется слабо при изменении даты t от начала нашей эры до средних веков, а к изменению φ картина мало чувствительна, то мы возьмем значения γ₀ = 21′, φ₀ = 0. Значение γ₀ = 21′ является средним значением γ(t) для t из априорного интервала.

Построим табл. 7.2, аналогичную табл. 7.1, с той лишь разницей, что при вычислении широтных невязок теперь учитывается и компенсируется систематическая ошибка в координатах всех звезд, которая задается параметрами γ₀ = 21′ и φ₀ = 0.

Таблица 7.2. Широтные невязки 12-ти именных звезд Альмагеста в зависимости от предполагаемой датировки после компенсации систематической ошибки в координатах звезд каталога Альмагеста, задаваемой параметрами γ₀ = 21′ и φ₀ = 0.

Сравнение табл. 7.2 с табл. 7.1 показывает, что точностные свойства координат именных звезд Альмагеста после компенсации систематической ошибки резко улучшились сразу при всех возможных датировках. Широты Регула и Спики оказываются измеренными с точностью до 5′ при любой предполагаемой датировке от начала нашей эры до позднего средневековья. Это вполне соответствует тому вниманию, которое уделено этим двум звездам в Альмагесте. См. главу VI 1.2 в издании [1358]. Более того, при датировке в интервале 6 ≤ t ≤ 10, — то есть от 900 года н. э. до 1300 года н. э., — невязка по широте для 8 из 12 именных звезд не превосходит 10′ — цены деления шкалы каталога. Это как раз те звезды, которые входят в часть A неба, обнаруженную нами в главе 6 при статистическом анализе всей совокупности звезд каталога Альмагеста.

Естественно, приведенные рассуждения требуют уточнения. В частности, необходимо исследовать и другие значения параметров γ и φ. Подробные расчеты и более точные утверждения содержатся ниже в данной главе.

СООБРАЖЕНИЕ 2. Дополнительную информацию о дате составления каталога Альмагеста могут дать следующие соображения. Рассмотрим для каждого момента t и для всех значений γ и φ совокупность широтных невязок ΔВ_i(t, γ, φ) некоторого множества Е звезд Альмагеста, 1 ≤ i ≤ n. Построим на этой совокупности эмпирические функции распределения ошибки в широте звезд множества E: F_t,γ,φ(х) = (1/n)#{i:|ΔВ_i(t,γ,φ)|≤х}, где n — число звезд в множестве Е. Сравнивая эти функции распределения между собой при различных значениях t, γ, φ, можно попытаться подобрать такой набор значений этих параметров, при котором ошибки в широте звезд из совокупности Е будут наименьшими, в стохастическом смысле. В качестве меры различия ошибок при различных t, γ, φ возьмем среднее значение их разностей. Конечно, имея лишь 12 наблюдений, делать какие-либо количественные выводы мы не можем, поэтому здесь речь пойдет лишь о качественной картине «в первом приближении».

Указанная мера различия наглядно представляется как площадь, заключенная между графиками функций распределения F_t1,γ1,φ1(x) и F_t2,γ2,φ2(x), изображенными на одном чертеже. При этом площадь каждой из областей, заключенных между этими графиками, надо брать с соответствующим знаком, зависящим от того, какая из двух функций ограничивает данную область справа, а какая — слева, рис. 7.1. Та функция распределения F_t0,γ0,φ0(x), которая находится, в среднем, левее остальных функций F_t,γ,φ, отвечает наименьшим ошибкам в широте звезд множества E. Дату t₀ и значение систематической ошибки (γ₀, φ₀) в этом случае естественно рассматривать как приближения для истинной даты наблюдений и реальной систематической ошибки, сделанной наблюдателем.

Рис. 7.1. Эмпирические функции распределения ошибок в широтах звезд.

Проиллюстрируем сказанное на примере другого известного звездного каталога второй половины XVI века — каталога Тихо Браге. Рассмотрим в качестве информативного ядра набор из 13 именных звезд в каталоге Тихо Браге. Мы вычислили эмпирические функции распределения F_t,γ,φ при γ = φ = 0 и трех различных значениях t: t = 3 — то есть для 1600 года н. э., t = 3,5 — то есть для 1550 года н. э., и t = 4 — то есть для 1500 года н. э. Результат приведен на рис. 7.2. Из этого рисунка хорошо видно, что без учета возможной систематической ошибки в каталоге Тихо Браге (γ = φ = 0) оптимальной датировкой каталога является эпоха t = 3,5, то есть примерно 1550 год н. э. В самом деле, именно при такой датировке каталога, ошибки в широте выбранных 13 именных звезд будут наименьшими, в указанном выше смысле. Дата 1550 год действительно близка к известному времени составления каталога Тихо Браге, а именно, второй половине XVI века.

Рис. 7.2. Эмпирические функции распределения для каталога Тихо Браге; оптимальное значение t₀ = 3,5.

Приведем список этих 13 звезд из каталога Тихо Браге. В первую очередь, это Регул, Спика, Арктур, Процион, Сириус, Лира = Вега, Капелла, Аквила и Антарес, являющиеся именными звездами также и в Альмагесте. Кроме того, имеются еще четыре звезды: Каф = β Cas, Денебола = β Leo, Поллукс = β Gem и Шиат = β Peg.

Рассмотрим теперь эмпирические функции распределения F_t,γ,φ для множества звезд E, состоящего из 12 именных звезд Альмагеста, см. раздел 1. На рис. 7.3 приведены графики этих функций для t = 5 — то есть для 1400 года н. э., t = 10 — то есть для 900 года н. э., t = 18 — то есть для 100 года н. э. и t = 20 — то есть для 100 года до н. э., при различных γ. Значение φ везде взято равным нулю, поскольку к изменению φ картина мало чувствительна. Значения t = 10, то есть 900 год н. э., и γ = 21′ являются оптимальными, то есть, приводят к наименьшим ошибкам.

Рис. 7.3. Эмпирические функции распределения F_t,γ,φ для 12 именных звезд Альмагеста. Значение φ всюду равно нулю.

Полученная картина поведения графиков F_t,γ,φ для Альмагеста мало чувствительна к изменениям в составе именных звезд. Приведем для сравнения эмпирические функции распределения для использованных в примере с каталогом Тихо Браге 13 звезд, взяв на этот раз их координаты из Альмагеста, рис. 7.4. Значения t = 10, γ = 21′ остаются оптимальными и для этого списка звезд. На рис. 7.4 отчетливо проявляется разница между значениями γ = 21′ и γ = 0, уже отмеченная выше, а именно, вся совокупность графиков, соответствующих значению γ = 21′, лежит левее, — и, следовательно, отвечает меньшим ошибкам, — чем совокупность графиков при γ = 0. Другими словами, значение γ = 21′ «лучше», чем γ = 0, при всех датах t из априорного интервала.

Рис. 7.4. Эмпирические функции распределения для Альмагеста по 13 ярким именным звездам при t = 1, 5, 10, 15, 20. Сплошные линии: γ = 21′; штриховые линии: γ = 0.

СООБРАЖЕНИЕ 3. В заключение обсудим вопрос о возможности расширения списка именных звезд Альмагеста, как основы для датировки по собственным движениям. Но так, чтобы точностные свойства координат (или хотя бы только широт) расширенного списка звезд не ухудшались. На первый взгляд естественно взять в качестве такого расширения список всех звезд, получивших к настоящему времени собственные имена, табл. П1.2 (или табл. П1.3) в Приложении 1. Имена звездам давали, в основном, в средние века, но продолжали делать это и в XVII–XIX веках. Не исключено, что многие из них имели особое значение для составителя каталога Альмагеста. Далее, мы выберем из списка в табл. П1.2 в Приложении 1 не все звезды, а лишь те, имена которых набраны в [1197] большими буквами. Мы сохранили это выделение большими буквами и в нашей табл. П1.2 в Приложении 1. Большими буквами в [1197] набраны наиболее знаменитые из именных звезд. Таких звезд оказалось 37. Они перечислены в табл. 7.3.

Таблица 7.3. Список быстрых звезд, имеющих, согласно BS4 [1197] старые собственные имена, которые выделены в BS4 заглавными буквами как имена наиболее знаменитых в средневековье звезд. Здесь представлены все области звездного неба. В начало этого списка добавлены 8 звезд информативного ядра Альмагеста, некоторые из которых не являются быстрыми.

Оказалось, однако, что такое расширение информативного ядра Альмагеста резко ухудшает точность координат выборки. И что особенно важно, ухудшается точность широт. Рассмотрим «расширенное ядро», состоящее из 37 звезд Альмагеста, перечисленных в табл. 7.3. На рис. 7.5 видно, как ведет себя среднеквадратичная невязка для этих 37 звезд в зависимости от предполагаемой датировки Альмагеста. При подсчете этой невязки мы, для повышения надежности, допускали вариацию расчетной величины систематической ошибки по γ в пределах ±5′ с шагом в 1 минуту. По параметру β сделан перебор в пределах ±30′ с шагом в 1 минуту. Вычислялось минимальное значение среднеквадратичного отклонения по указанным вариациям параметров γ и β. Из получившегося графика хорошо видно, что минимум хотя и достигается около 400 года н. э., но выражен исключительно слабо. Минимальное значение среднеквадратичной невязки составляет около 18 минут. Если мы допустим вариацию этого значения в пределах 2 минут, то есть всего на 10 %, то получаем интервал «датировок» длиной в 1800 лет (!) от 600 года до н. э. до 1200 года н. э. Совершенно ясно, что этот результат неинтересен. Причина очевидна — в рассматриваемом списке 37 звезд средняя точность измерений Птолемеем слишком низка. Она явно недостаточна для датировки каталога по собственным движениям в этой группе звезд. Причем, такая размытая картина получается при анализе широт, которые в каталоге Альмагеста, как мы знаем, более точны, чем долготы. По долготам картина становится еще более размытой.

Рис. 7.5. Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл. 7.3, как функция предполагаемой датировки. При подсчете отклонения компенсировалась обнаруженная нами систематическая ошибка у каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям γ = γ_stat ± 5′; β = 0 ± 30′.

На рис. 7.6, рис. 7.7 приведены графики зависимости от предполагаемой датировки Альмагеста количества звезд из «расширенного ядра», расчетная ошибка которых по широте не превышает, соответственно, 10 и 20 минут. Ошибка рассчитывалась после компенсации систематической ошибки γ = 20′. На обоих графиках наблюдаются колебания вокруг приблизительно постоянного значения на всем рассматриваемом интервале времени. В 10-минутную окрестность по широте в разные годы попадает от трех до тринадцати звезд. В 20-минутную окрестность попадает от 11 до 16 звезд. Никакой надежной информации о наиболее вероятной датировке каталога из этих графиков извлечь не удается.

Рис. 7.6. По вертикальной оси — количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (табл. 7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 10 минут. Вдоль горизонтальной оси — предполагаемая датировка каталога Альмагеста.

Рис. 7.7. По вертикальной оси — количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (табл. 7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 20 минут. Вдоль горизонтальной оси — предполагаемая датировка каталога Альмагеста.

На рис. 7.8 мы приводим график зависимости среднеквадратичной невязки, аналогичной графику на рис. 7.5. Однако на сей раз при подсчете невязки учитывались лишь те звезды, которые при данной предполагаемой датировке Альмагеста получили отклонение по широте менее 30 минут. Видно, что график состоит из кусков пологих парабол. Они имеют минимумы в разные годы на оси времени. Это означает, что в различных частях списка из 37 звезд соответствующие параболы имеют точки минимума, разбросанные по всему историческому интервалу. Обнаружившаяся неустойчивость точек минимума говорит о низкой точности датировки таким способом. Дело в том, что точки минимума многих парабол лежат далеко от истинной даты составления каталога. Поэтому при изменении состава звезд, эти минимумы хаотично распределяются по всему историческому интервалу.

Рис. 7.8. Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл. 7.3, и имеющим не более чем 30-минутное отклонение по широте при данной предполагаемой датировке. График построен как функция предполагаемой датировки Альмагеста. При подсчете отклонения компенсировалась систематическая ошибка у каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям γ = γ_stat ± 5′; β = 0 ± 30′.

В целом график на рис. 7.8 имеет исключительно слабо выраженный минимум в районе 700-1600 годов н. э. Для надежной датировки он непригоден.

Мы рассматривали также и другие возможности расширения информативного ядра Альмагеста. Например, на основе яркости звезд. Почти все они привели к резкому ухудшению точности координат звезд и к практическому исчезновению зависимости характеристик расширенной совокупности от датировки наблюдений. Однако выяснилось, что информативное ядро все-таки допускает естественное расширение без значительного падения точности. Этот вопрос подробно обсуждается ниже.

3. Статистическая процедура датировки

3.1. Описание процедуры датировки

Гипотеза об измерении именных звезд Альмагеста в пределах заявленной Птолемеем точности в 10 минут позволила нам в разделе 2 дать весьма приблизительный ответ, когда мог быть написан Альмагест. Мы показали, что конфигурация информативного ядра каталога Альмагеста меняется со временем достаточно быстро для того, чтобы определить дату каталога. Поэтому осмысленной стала и постановка задачи об определении интервала возможной датировки.

Естественной в рамках развиваемого подхода представляется следующая процедура, которую назовем статистической. Она основана на гипотезе, что именные звезды Альмагеста были измерены с заявленной 10-минутной точностью по широте. Кроме того, мы будем опираться на найденные в главе 6 статистические характеристики групповых ошибок. Статистическая процедура датирования состоит в следующем.

Шаг 1. Зафиксируем уровень доверия 1 — ε.

Шаг 2. Рассмотрим момент времени t и доверительный интервал I_γ(ε) для составляющей γ^ZodA_stat(t) групповой ошибки в области Zod А. Определим величину

Δ(t) = min Δ(t, γ, φ), (7.3.1)

где минимум берется по всем γ ε I_γ(ε) и всевозможным значениям φ. При этом величина

Δ(t,γ,φ) = max|ΔB_i(t,γ,φ)|

задает максимальную по всем звездам из информативного ядра невязку, рассчитанную для предполагаемой датировки t. Параметры (γ, φ) определяют некий, вообще говоря, произвольный поворот небесной сферы, рис. 3.14.

Шаг 3. Если найденная величина Δ(t) не превосходит заявленной точности каталога в 10′, то момент времени t следует рассматривать как возможную дату составления каталога. В противном случае каталог не может датироваться эпохой t.

Естественно, результат данной процедуры датирования зависит от субъективного выбора уровня доверия 1 — ε. Поэтому ее следует проверить на устойчивость относительно вариаций ε. Это будет сделано ниже.

3.2. Зависимость минимаксной невязки Δ от t, γ, φ для Альмагеста

Для информативного ядра из 8 звезд Альмагеста мы изобразим графически зависимость минимаксной широтной невязки Δ(t, γ, φ) от всех трех переменных. Эта зависимость показана в виде последовательности диаграмм на рис. 7.9 и рис. 7.10. Здесь каждая диаграмма соответствует некоторому фиксированному моменту времени t. Приводятся диаграммы для t = 1,…, 18. Для других значений t соответствующие диаграммы оказываются пустыми, как в случае t = 1. Напомним, что значение t = 1 соответствует 1800 году н. э., а t = 18 — началу нашей эры. На диаграммах по горизонтальной оси отложены значения γ, а по вертикальной оси — значения φ.

Двойной штриховкой на диаграммах выделена область, где Δ(t,γ,φ) ≤ 10′.

В заштрихованной области выполняется неравенство 10′ ≤ Δ(t,γ,φ) ≤ 15′.

В области, заполненной точками, выполняется неравенство 15′ ≤ Δ(t,γ,φ) ≤ 20′.

В остальной части рисунков выполняется неравенство Δ(t,γ,φ) > 20′. На всех рисунках жирная точка соответствует параметрам γ^ZodA_stat(t), φ^ZodA_stat(t).

Из приведенных диаграмм ясно видно, что «пятно» с двойной штриховкой, соответствующее максимальной широтной невязке восьми именных звезд Альмагеста, не превосходящей 10′, существует лишь при моментах времени 6 ≤ t ≤ 13, то есть в интервале от 600 до 1300 годов н. э.

«Пятно» с простой штриховкой, соответствующее максимальной широтной невязке, не превышающей 15′, существует лишь при 4 ≤ t ≤ 16. Максимальных размеров эти «пятна» достигают при 7 ≤ t ≤ 12. При t > 18 допустимая область изменения параметров, определяемая соответствующими доверительными интервалами, не содержит ни одной точки, где Δ(t,γ,φ) ≤ 20′. Это, в частности, относится и к скалигеровской эпохе Птолемея, и к скалигеровской эпохе Гиппарха. Более того, при попытке датировать каталог Альмагеста эпохой 100 года н. э. и ранее, минимакс Δ(t) широтной невязки более чем в два раза превышает заявленную точность каталога Альмагеста в 10 минут. Для датировок ранее 100 года н. э. величина Δ(t) превосходит даже среднеквадратичную остаточную ошибку звезд из частей А, Zod А, В, Zod В и близка к среднеквадратичной остаточной ошибке в Альмагесте для части неба M, то есть для неярких звезд Млечного Пути. Где наблюдения таких звезд, сливавшихся с богатым звездным фоном, были весьма затруднены и, конечно, должны были иметь сравнительно низкую точность. Совершенно недопустимую для ярких опорных изолированных звезд информативного ядра. Следовательно, датировки Альмагеста эпохой около 100 года н. э. и ранее придется, безусловно, отбросить. Как противоречащие каталогу Альмагеста.

Итак, рис. 7.9 и рис. 7.10 показывают, что в допустимой области по (γ, φ) принципиально нельзя добиться, чтобы широтная невязка у всех 8 звезд информативного ядра Альмагеста была менее 10′ в эпоху ранее 600 года н. э. Если поднять допустимый уровень до 15′, то этого уровня невязки нельзя достичь, датируя Альмагест ранее 300 года н. э.

Рис. 7.9. Показана зависимость Δ(t,γ,φ) при значениях времени t от 1, то есть от 1800 года н. э., до t = 18, то есть до 100 года н. э. Область с двойной штриховкой соответствует Δ ≤ 10′. Область с обычной штриховкой соответствует 10′ < Δ ≤ 15′. Область, заполненная точками, соответствует 15′ < Δ ≤ 20′. В остальной части рисунков Δ > 20′. Жирной точкой отмечены пары параметров γ^ZodA_stat(t), φ^ZodA_stat(t).

Рис. 7.10. Продолжение предыдущего рисунка.

3.3. Результат статистической датировки каталога Альмагеста

Для фиксированной эпохи t и для α = 10′ определим область изменения S_t(α) параметра γ следующим образом

S_t(α) = {γ:minΔ(t,γ,φ)≤α}. (7.3.2)

Множество S_t(α) может быть и пустым. Рассмотрим при фиксированном t пересечение множества S_t(α) с доверительным интервалом I_γ(ε), построенным вокруг значения γ^ZodA_stat(t). Если данное пересечение не пусто, то в соответствии со статистической процедурой датировки объявим момент времени t возможной эпохой составления каталога Альмагеста. Совокупность таких моментов t назовем интервалом возможных датировок каталога Альмагеста.

Результат расчетов S_t(α) для Альмагеста наглядно представлен на рис. 7.11. Точками заполнено объединение множеств S_t(α) при α = 10′. Объемлющий контур соответствует значению α = 15′. Он нам понадобится позже.

Рис. 7.11. Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его восьми именным звездам. Следовательно, каталог Альмагеста был создан в интервале от 600 до 1300 годов н. э.

Использованный здесь график функции γ^ZodA_stat(t) вычислен в главе 6, рис. 6.8. Величины доверительных интервалов I_γ(ε), соответствующие различным ε, указаны в табл. 6.3. Из рис. 7.11 следует, что при ε = 0,1, ε = 0,05, ε = 0,01, ε = 0,005 интервал возможных датировок оказывается одним и тем же: 6 ≤ t ≤ 13.

Если перевести полученный нами результат датировки в обычные годы, то мы увидим, что ИНТЕРВАЛ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НАЧИНАЕТСЯ В 600 ГОДУ Н. Э., А ЗАКАНЧИВАЕТСЯ В 1300 ГОДУ Н. Э.

3.4. Обсуждение полученного результата

Длина получившегося интервала возможных датировок каталога Альмагеста составляет 700 лет. А именно, 1300 — 600 = 700. Сравнительно большая величина интервала датировок объясняется несколькими причинами.

Первая уже названа. Она связана с низкой точностью каталога Альмагеста, даже если брать заявленную Птолемеем точность в 10 минут. Такая точность не позволяет датировать каталог в узком интервале времени. Дело в том, что даже наиболее быстрая из рассматриваемых 8 именных звезд (Арктур) изменяет свою широту на 10′ приблизительно за 260 лет. Это большая величина. Для других звезд ядра она еще больше.

Вторая причина связана с тем, что в своих расчетах мы использовали доверительные интервалы лишь для составляющей γ групповой ошибки. При этом мы минимизировали величину Δ(t, γ, φ) по всевозможным значениям φ. См. формулы (7.3.1) и (7.3.2). Ясно, что этот подход приводит к расширению интервала датировок для каталога Альмагеста. В самом деле, если бы можно было считать φ (также, как и γ) групповой ошибкой, то следовало бы параметр φ выбирать из доверительного интервала. Это привело бы к увеличению величины min_φ Δ(t, γ, φ), а потому — к сужению интервала возможных датировок. Однако, как отмечено выше, мы не имеем достаточных оснований, чтобы считать φ групповой ошибкой в рассмотренных нами совокупностях звезд Альмагеста.

4. Датировка каталога Альмагеста по расширенному информативному ядру

Вопрос о расширении информативного ядра каталога Альмагеста уже обсуждался выше в конце раздела 7.2. Было обнаружено, что путем бессистемного увеличения ядра за счет числа ярких и быстрых звезд получить содержательную датировку не удается. Мы уже понимаем, что это объясняется низкой средней точностью измерений Птолемея даже ярких звезд. Вопрос о том, по какому принципу можно расширить 8-звездное информативное ядро Альмагеста, не потеряв при этом точности широт, оставался нерешенным.

Нам удалось найти решение этой задачи. Задумаемся, как Птолемей измерял координаты звезд. В истории астрономии хорошо известно, что такие измерения производились путем привязки наблюдаемых объектов к опорным, базисным ярким звездам. Координаты которых измерялись особо тщательно и составляли основу для всех последующих измерений. Какие звезды Птолемей брал за опорные, он прямо не пишет. Как мы видели, из Альмагеста можно извлечь, что такими базисными звездами являлись для по крайней мере Регул, Спика, Антарес и, возможно. Альдебаран. См., например, [1120], с. 247. Три из них, а именно, Регул, Спика и Антарес, снабжены в Альмагесте собственными именами со словесной формулой «vocatur…», то есть «именуемая…». См. выше. Мы высказали мысль, что именные звезды Альмагеста именно потому и получили собственные имена в Альмагесте, что служили базисом для наблюдений Птолемея. Эта мысль подтвердилась тем, что, как мы доказали, в частях неба А, Zod A, В, Zod B именные звезды Альмагеста действительно имеют эталонную для Птолемея точность в 10 минут. По крайней мере, для широт. Для долгот это не так, но, как уже отмечалось выше, долготы наблюдать сложнее, чем широты. Кроме того, точность долгот, скорее всего, была потеряна при пересчетах каталога Альмагеста с целью приведения его к другим эпохам. Поэтому долготы — не показатель точности, которой реально достигал Птолемей в своих измерениях. Таким показателем могут быть лишь широты.

Для остальных частей неба мы доказать этого не смогли, поскольку не удалось надежно определить величины систематических ошибок. Поэтому при поиске возможных расширений информативного ядра мы также ограничимся лишь звездами из частей неба А, Zod А, В, Zod В.

Зададимся вопросом, какие звезды, кроме опорных, то есть, так сказать, «звезд первого уровня», Птолемей должен был измерить тоже очень хорошо? Естественно, те, которые находятся недалеко от опорных. Хотя бы потому, что измерения Птолемея, скорее всего, делались «по цепочкам». Сначала измерялись координаты звезд, близких к опорным. Отталкиваясь от них, он продвигался дальше. И так далее, шаг за шагом. Сегодня мы понимаем, что при таком способе измерений «по шагам» дисперсия случайной ошибки неизбежно увеличивается. То есть, растет погрешность измеренных координат. Чем дальше звезда отстоит от опорных, тем, в среднем, хуже будет она измерена.

Поэтому разумно попытаться расширить информативное ядро, добавляя к нему «звезды второго уровня». То есть достаточно яркие и хорошо отождествленные звезды, расположенные сначала совсем рядом с опорными. Потом следует добавить к ним звезды «третьего уровня», находящиеся несколько дальше. Потом — звезды «четвертого уровня», лежащие еще дальше, и так далее. Если мы увидим, что при этом средняя точность широт будет падать медленно, оставаясь для близких звезд практически такой же, как и для опорных, мы тем самым подтвердим нашу догадку, что выбранные нами звезды «первого уровня» действительно были опорными. А кроме того, мы получим возможность расширить «датирующее ядро каталога». И проверить, а возможно и уточнить, нашу датировку.

Эту идею мы реализовали следующим образом. Прежде всего, мы ограничились теми звездами, которые абсолютно надежно отождествляются в Альмагесте и имеют заметное собственное движение. Они перечислены в табл. 4.3. Всего таких звезд 68. Напомним, что информативное ядро из восьми звезд было целиком включено в этот список.

В качестве звезд «первого уровня» были взяты восемь звезд информативного ядра. Для них подсчитана среднеквадратичная невязка по широте после компенсации систематической ошибки. При этом, систематическая ошибка у найдена в главе 6. Мы допускали вариацию этой ошибки в пределах ±5′ с шагом в 1 минуту. По параметру β осуществлялся перебор в границах ±20′ с шагом в 1 минуту. В качестве среднеквадратичной невязки для каждой предполагаемой датировки каталога мы брали минимальное значение, полученное указанными вариациям параметров γ и β. В результате получилась зависимость среднеквадратичной невязки от предполагаемой датировки каталога Альмагеста. Для восьми звезд информативного ядра, то есть звезд «первого уровня», получившийся график приведен на рис. 7.12.

Рис. 7.12. График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для восьми звезд «первого уровня». Это восемь звезд информативного ядра каталога Альмагеста. Именно они, как показывают наши расчеты, были опорными точками для наблюдений Птолемея, среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра γ в пределах γ_stat ± 5′, и по вариациям параметра β в пределах 0 ± 20′. Минимум графика достигается в 900-1000 годах н. э. на уровне 5–6 минут дуги. В птолемеевскую эпоху II века н. э., невязка достигает 12′, что в два раза больше минимального значения. В гиппарховскую эпоху II века до н. э. невязка — около 14′.

Минимум графика достигается в 900-1000 годах н. э. на уровне 5–6 минут дуги. Это означает, что на опорных звездах гарантированная точность измерений Птолемея по широте составляла 10′-15′. И действительно, все звезды информативного ядра, как мы видели, измерены с точностью не хуже 10′ по широте. Что прекрасно соответствует выбранной Птолемеем цене деления шкалы, а именно, 10′.

Что же касается эпохи II века н. э., то здесь невязка достигает 12′. Это — в два раза больше минимального значения. ЧТО ДЕЛАЕТ НАЧАЛО Н. Э. ПРАКТИЧЕСКИ НЕДОПУСТИМОЙ ЭПОХОЙ ДЛЯ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА. Не говоря уж о более ранней «эпохе Гиппарха», поскольку в эпоху II века до н. э. невязка составляет около 14′.

В качестве звезд «второго уровня» мы взяли все звезды из табл. 4.3, отстоящие от ближайшей звезды информативного ядра не более чем на 5 градусов. Таких звезд оказалось 9, включая информативное ядро. Добавилась звезда 47δ Cnc (№ 3461 в каталоге BS4, BS5). Получившийся график среднеквадратичной невязки см. на рис. 7.13. Видно, насколько резко меняется картина, как только мы к восьми звездам информативного ядра, то есть к опорным, добавляем всего лишь одну звезду, причем близкую к ним, надежно отождествленную, хорошо видимую невооруженным глазом, и к тому же изолированную. Причина, скорее всего, в том, что именные звезды являлись для Птолемея опорными, а потому измерялись им многократно и особо тщательно. Остальные, по-видимому, измерялись путем наблюдений «по цепочке» относительно опорных.

Рис. 7.13. График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 9 звезд «второго уровня», отстоящих от опорных не более чем на 5°. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра γ в пределах γ_stat ± 5′, и по вариациям параметра β в пределах 0 ± 20′. Минимум графика достигается в 1000–1100 годы н. э. на уровне 9-10 минут дуги. В эпоху II века н. э. и ранее среднеквадратичная невязка составляет не менее 15′.

Тем не менее, график на рис. 7.13 все еще достаточно информативен. Минимум графика невязки достигается в 1000–1100 годы н. э. на уровне 9-10 минут дуги. В эпоху II века н. э. и ранее среднеквадратичная невязка существенно больше. В 100 году н. э. она равна 15′, что составляет более 150 % от минимального значения.

В качестве звезд «третьего уровня» мы взяли все звезды из табл. 4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 10 градусов. Таких звезд оказалось 12, включая информативное ядро. Кроме 47δ Cnc к информативному ядру добавились 14o Leo (№ 3852), 8η Воо (№ 5235), 26ε Seo (№ 6241).

График невязки показан на рис. 7.14. Он практически не отличается от предыдущего шага. Это и понятно. Мы находимся все еще очень близко к информативному ядру. При этом само ядро составляет 3/4 от количества звезд в выборке. Минимум графика достигается в 900 году н. э. на уровне 11′. В эпоху 100 года н. э. и ранее невязка составляет 14′ или больше. Исходя из рис. 7.14, наиболее вероятной датировкой каталога Альмагеста оказывается интервал приблизительно от 400 до 1400 годов н. э.

Рис. 7.14. График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 12 звезд «третьего уровня», отстоящих от опорных не более чем на 10°. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра γ в пределах γ_stat ± 5′, и по вариациям параметра β в пределах 0 ± 20′. Минимум графика достигается в 900 году н. э. на уровне 11′. В эпоху 100 года н. э. и ранее невязка составляет 14′ или больше.

В качестве звезд «четвертого уровня» мы взяли все звезды из табл. 4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 15 градусов. Таких звезд оказалось 15. К предыдущим добавились звезды 78β Gem (№ 2990), 79ς Vir (№ 5107), 24μ Leo (№ 3905). График невязки см. на рис. 7.15. Минимум графика достигается в 800–900 годы н. э. на уровне 10′-11′. В эпоху 100 года н. э. невязка равна 12′. Таким образом, значение минимальной среднеквадратичной невязки почти не меняется. По-видимому, при расстояниях до 15° приборы Птолемея позволяли измерять координаты звезды все еще относительно самих опорных звезд, а не «по цепочке».

Рис. 7.15. График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 15 звезд «четвертого уровня», отстоящих от опорных не более чем на 15°. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра γ в пределах γ_stat ± 5′, и по вариациям параметра β в пределах 0 ± 20′. Минимум графика достигается в 800–900 годы н. э. на уровне 10′-11′. В эпоху 100 года н. э. невязка равна 12′.

Наконец, в качестве звезд «пятого уровня» взяты звезды из табл. 4.3, удаленные от информативного ядра не более чем на 20 градусов. Таких звезд оказалось 22, включая информативное ядро. Добавились звезды 112β Tau (№ 1791), 60ι Gem (№ 2821), 68δ Leo (№ 4357), 29γ Vir (№ 4825), 27γ Boo (№ 5435), 3β CrB (№ 5747), 5α CrB (№ 5793).

График невязки показан на рис. 7.16. Минимум графика достигается в 400–800 годы н. э. на уровне 22′-23′. Это уровень среднеквадратичной ошибки, характерный для каталога Альмагеста в целом, то есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15°-20° уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н. э. составляет 23′, в эпоху V века до н. э. — 24′. И так далее.

Рис. 7.16. График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 22 звезд «пятого уровня», отстоящих от опорных не более чем на 20°. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра γ в пределах γ_stat ± 5′, и по вариациям параметра β в пределах 0 ± 20′. Минимум графика достигается в 400–800 годы н. э. на уровне 22′-23′. Это уровень, характерный для каталога Альмагеста в целом. То есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15° — 20° уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н. э. составляет 23′, в эпоху V века до н. э. — 24′.

На последнем шаге наблюдается резкое падение точности измерений. Среднеквадратичная ошибка возросла в два раза. Поэтому, прежде чем двигаться дальше при расширении информативного ядра каталога, будем подсчитывать среднеквадратичную невязку лишь по тем звездам, которые при данной предполагаемой датировке каталога Альмагеста получили не более чем 30-минутную ошибку по широте. Это позволит нам избавиться от заведомо очень плохо измеренных Птолемеем звезд. Естественно, отбор таких звезд зависит от предполагаемой датировки каталога. При одной предполагаемой датировке какая-то звезда может оказаться измеренной хорошо, а при другой датировке — плохо, или наоборот.

Мы будем продолжать учитывать обнаруженную систематическую ошибку в каталоге Альмагеста и варьировать γ и β в тех же пределах, как и выше.

Количество звезд, вошедших в выборку после такого отбора, мы изобразили на том же графике, что и невязку. Получившаяся картина представлена на рис. 7.17. Видно, что минимум среднеквадратичной невязки снова упал до 9′ в 800–900 годах н. э., а в скалигеровскую эпоху Птолемея и Гиппарха, то есть от 400 года до н. э. до 100 года н. э., значения невязки максимальны — около 12′. Отметим, что получившиеся значения невязки в 9′ в области предполагаемый датировок 800–900 годы н. э., хорошо соответствуют ограничению на невязку в 30′, которое мы задали заранее. Дело в том, что нормально распределенная случайная величина со среднеквадратичным отклонением порядка 9′-10′, с вероятностью близкой к единице, не будет превосходить 30′, то есть границы 3σ.

Рис. 7.17. График среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл. 4.3, попавших в 20-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности. Из выборки исключались звезды, получившие более чем 30-минутную ошибку по широте при данной предполагаемой датировке. Систематическая ошибка каталога была скомпенсирована.

Увеличим теперь допустимое расстояние звезд до информативного ядра каталога с 20° до 25°. При этом будем по-прежнему рассматривать лишь те звезды, у которых ошибка по широте не превосходит 30′ для данной предполагаемой датировки. Полученные графики см. на рис. 7.18. Здесь представлены невязка и количество звезд, вошедших в выборку для каждой предполагаемой датировки. Минимум среднеквадратичной невязки достигается в интервале от 800 до 1000 годов н. э. и составляет около 9,5′. Максимальное значение невязки, около 12,5′, достигается около 400 года до н. э. В скалигеровскую эпоху Птолемея и Гиппарха, то есть около начала н. э., значение невязки близко к максимальному — около 12′. Количество звезд, вошедших в выборку, — от 21 до 24. В минимуме среднеквадратичной невязки в выборке оказалось 23 звезды.

Рис. 7.18. Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл. 4.3, попавших в 25-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности.

Увеличим допустимое расстояние звезд до ядра с 25° до 30°, сохранив остальные параметры. Результат см. на рис. 7.19. Опять минимально возможная невязка по широте достигается лишь после 800 года н. э. Здесь в выборке оказывается 30 звезд. Число звезд в выборке при разных предполагаемых датировках колеблется от 20 до 31 звезды. Около начала н. э. невязка составляет около 13′. Что близко к максимальному значению на данном графике.

Рис. 7.19. Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл. 4.3, попавших в 30-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности.

На рис. 7.20, рис. 7.21, рис. 7.22 приведены аналогичные графики для звезд, удаленных от ядра каталога Альмагеста не более, чем на 35°, 40°, 45°. При этом в выборке приблизительно 40 звезд. Минимум среднеквадратичной невязки по широте становится все менее выраженным и начинает «уходить в будущее». Общий вид графика становится все более и более пологим, горизонтальным.

Рис. 7.20. Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл. 4.3, попавших в 35-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности.

Рис. 7.21. Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл. 4.3, попавших в 40 градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности.

Рис. 7.22. Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл. 4.3, попавших в 45-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности.

ВЫВОД. Итак, каталог Альмагеста удается датировать по собственному движению конфигурации примерно из 20 звезд. НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНЫМ ИНТЕРВАЛОМ ДАТИРОВКИ ОКАЗЫВАЕТСЯ ТА ЖЕ ЭПОХА, ЧТО И ВЫШЕ, А ИМЕННО 600-1200 ГОДЫ Н. Э. При этом, оказывается, нужно взять надежно отождествленные звезды, находящиеся «не очень далеко» от информативного ядра каталога, а именно, не далее чем в 20°-25°. Если из выборки исключать звезды, которые при предполагаемой датировке 1 получают не более, чем 30-минутную невязку по широте, то остается около 20 звезд. При этом возникает график среднеквадратичной невязки с хорошо выраженным минимумом, рис. 7.18. Минимум широтной невязки в 9′ достигается внутри интервала 800-1000 годов н. э. В интервале 600-1200 годов н. э. уровень невязки практически не отличается от минимального: 9′-9,5′. В эпоху от 400 года до н. э. до 100 года н. э. значение невязки максимально и достигает 11,5′-12′.

Подчеркнем, что минимальной невязки порядка 10′ на совокупности из нескольких десятков звезд нам удалось добиться лишь соблюдая их близость к информативному ядру Альмагеста. Все остальные испробованные нами способы отбора звезд из объединения областей неба А, Zod А, В, Zod В, M — по яркости, «знаменитости» и т. п. — приводят к типичному для Альмагеста в целом значению минимума невязки около 20′. Обойтись лишь одной хорошо измеренной областью Zod А тоже не удается. Возьмем, например, совокупность заметно движущихся звезд в этой области, то есть звезды из табл. 4.3, попавшие в область неба Zod А. Таких звезд оказалось 12, не считая звезд информативного ядра. Если добавить все 8 звезд информативного ядра, то получится список из 20 звезд. К сожалению, точность широт в этом списке оказывается низкой. Существенно хуже, чем в области Zod А в целом. Соответствующий график среднеквадратичной широтной невязки по этим 20 звездам, как функция предполагаемой датировки каталога Альмагеста, приведен на рис. 7.23. Слабо выраженный минимум находится на уровне 23′. Он достигается на интервале от 400 до 800 годов н. э. Отступая от минимума всего на 1′, мы захватим интервал от 400 года до н. э. до 1500 года н. э. Таким образом, содержательной датировки по всему этому списку получить не удается, ввиду низкой средней точности широт входящих в него звезд. Даже восемь звезд информативного ядра не в состоянии повысить среднюю точность широт этого списка. Это связано с тем, что большинство заметно движущихся звезд из Zod А — довольно тусклые, а потому были измерены Птолемеем существенно хуже среднего. Напомним, что средняя точность его измерений широт по всему Zod А составляет 12′-13′. Что гораздо лучше, чем 23′ для указанных 20 звезд.

Рис. 7.23. График среднеквадратичной широтной невязки по 20 звездам: 12 звезд из табл. 4.3, попавшие в область неба Zod А, не считая звезд информативного ядра и 8 звезд информативного ядра. Как видно из графика, точность широт в этом списке оказывается существенно хуже, чем в среднем по области Zod А.

Итак, нам удалось расширить информативное ядро каталога Альмагеста без потери требуемой точности до пятнадцати надежно и однозначно отождествляемых в Альмагесте и заметно движущихся звезд неба. Напомним, что заметно движущимися мы называем звезды, которые имеют скорость собственного движения не менее 0,1″ в год хотя бы по одной из координат. Выбор координатной системы на звездной сфере в данном случае не имеет особого значения. Ее можно взять любой. Для удобства мы взяли экваториальные координаты 1900 года, поскольку к ним приведены современные звездные каталоги, которыми мы пользовались. Укажем окончательный список пятнадцати звезд, датирующих Альмагест по собственному движению. В скобках указан номер звезды в BS4 [1197].

1) 16Alp Воо (5340); 2) 13 Alp Aur (1708); 3) 32 Alp Leo (3982); 4) 10Alp CMi (2943); 5) 67 Alp Vir (5056); 6) 21Alp Seo (6134); 7) 3Alp Lyr (7001); 8) 43GamCnc (3449); 9) 78Bet Gem (2990); 10) 47Del Cnc (3461); 11) 14Omi Leo (3852); 12) 24Mu Leo (3905); 13) 79Zet Vir (5107); 14) 8Eta Boo (5235); 15) 26Eps Sco (6241).

5. Датировка каталога Альмагеста по множеству 8-звездных конфигураций, состоящих из ярких звезд

Идея данного расчета, как и сам расчет, принадлежит сотруднику государственного университета штата Флорида (США), известному специалисту в области анализа данных, профессору Деннису Дьюку (Dennis Duke, Florida State Univ.). Мы встретились с ним в 1999 году, в г. Торонто (Канада), на конференции, организованной для обсуждения наших результатов об Альмагесте. Деннис Дьюк заинтересовался проблемой датировки Альмагеста и провел собственный анализ.

Он предложил рассмотреть совокупность всех конфигураций из восьми ярких звезд Альмагеста. В качестве ярких звезд профессор Деннис Дьюк взял множество из 72 звезд, величина которых в Альмагесте меньше 3. Напомним, что чем меньше величина, тем ярче звезда. Из этого множества 72 звезд были выбраны все сочетания по 8 звезд, для которых максимальная ошибка в широте в каталоге Альмагеста не превосходит 10′ на некотором ненулевом временнóм интервале (t₁,t₂), целиком лежащем от 400 года до н. э. до 1600 года н. э. Всего получилось 736 сочетаний по 8 звезд из примерно 500 тысяч возможных сочетаний. Каждое такое сочетание задает свой интервал датировки (t₁,t₂). Деннис Дьюк рассмотрел множество центров этих «датирующих интервалов», то есть множество величин (t₁+t₂)/2. Оказалось, что если построить гистограмму частот распределения этих центров на оси времени, то возникает ярко выраженный максимум на отрезке 600–900 годов н. э., см. рис. 7.24. Следовательно, наиболее вероятной датой составления каталога Альмагеста являются VII–X века н. э.

Рис. 7.24. Гистограмма частот распределения центров «датирующих интервалов» для 736 конфигураций из восьми ярких звезд Альмагеста. Хорошо виден ярко выраженный максимум на отрезке 600–900 годов н. э.

Подход, предложенный профессором Д. Дьюком, обладает тем преимуществом, что плохо измеренные или слишком медленно меняющиеся звездные конфигурации автоматически исключаются из выборки. Дело в том, что для них интервалы датировки при 10-минутном уровне по широте либо пусты, либо настолько велики, что не умещаются внутри выбранного профессором Д. Дьюком априорного исторического интервала от 400 года до н. э. до 1500 года н. э. Оказывается, что после такого довольно жесткого отбора остается все еще много конфигураций, а именно, 736 восьми-звездных конфигураций. Если взять в качестве датировки по некоторой такой конфигурации центр ее «датирующего интервала» по уровню 10′ в широте, то мы получим дату для каталога Альмагеста с некоторой случайной ошибкой, то есть, возмущенную дату составления каталога. Построив распределение возмущенных дат, мы сможем существенно точнее, чем по отдельной конфигурации, датировать каталог Альмагеста.

Естественно предположить, что истинная датировка каталога служит средним значением для случайно возмущенных дат. Это среднее можно оценить по имеющемуся в нашем распоряжении эмпирическому распределению. Считая, что истинное распределение возмущений близко к нормальному, легко оценить его дисперсию. Выборочное среднеквадратичное отклонение для распределения на рис. 7.24 равно приблизительно 350 лет. Ввиду того, что выборка была цензурирована по априорному интервалу времени, который оказался несимметричным относительно центра распределения, см. рис. 7.24, оценка среднего по данному распределению оказывается смещенной. Если учесть этот эффект, то более аккуратная оценка для среднеквадратичного отклонения будет еще меньше.

Далее, центр выборочного распределения лежит около 800 года. Если бы элементы выборки были независимы, то можно было бы сделать вывод о том, что истинная дата составления каталога Альмагеста лежит в пределах 800±(3×400)√736, то есть в пределах 800 ± 45 лет. На самом деле элементы выборки независимыми считать нельзя, поэтому реальная точность датировки каталога Альмагеста 800-м годом н. э. существенно ниже, чем ±45 лет. Тем не менее, датировку началом н. э. и более ранними эпохами в этой ситуации можно считать крайне маловероятной, практически исключенной.

6. Анализ устойчивости статистической процедуры датировки каталога Альмагеста

6.1. Необходимость вариации величин, участвующих в алгоритме

При описанной выше процедуре датировки, некоторые величины, определяющие алгоритм, были выбраны достаточно произвольно, а другие явились результатом статистических выводов. Поэтому необходимо проверить, как ведет себя получаемый интервал датировки при вариации указанных величин.

6.2. Вариация уровня доверия

Величина ε, определяющая уровень доверия, выбиралась нами достаточно произвольно. Напомним, что в статистических задачах она имеет смысл допустимой вероятности ошибки, то есть если, например, ε = 0,1, то мы допускаем ошибку с вероятностью 0,1. Чем меньше ε, тем шире доверительный интервал. Зависимость величины доверительного интервала от ε рассмотрена в главах 5 и 6. См., в частности, табл. 6.3.

Рассмотрим, как изменяется полученный нами интервал датировки в зависимости от ε. Мы уже отмечали, — и это следует из рис. 7.11, — что при всех значениях ε, не бóльших 0,1, интервал датировки каталога Альмагеста получается один и тот же. Эго утверждение является следствием расположения интервалов S_t(α) при α = 10′.

Но, быть может, если выбрать другое значение гарантированной точности α каталога Альмагеста, не равное 10 минутам, заявленным Птолемеем, то картина окажется другой? Выберем α = 15′. См. соответствующую заштрихованную область на рис. 7.11. Естественно, при этом интервал возможных датировок каталога Альмагеста расширится. Верхняя граница расширенного интервала датировки вновь не зависит от ε и равна t = 3, то есть, 1600 год н. э. Нижняя граница весьма слабо зависит от ε, а именно, при ε = 0,1 она равна t = 16,3, то есть 270 год н. э., а при ε = 0,005 имеем t = 16,5, то есть 250 год н. э.

Таким образом, эти результаты показывают, что СУБЪЕКТИВНЫЙ ВЫБОР УРОВНЯ ДОВЕРИЯ ε ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА ЗНАЧЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ ИНТЕРВАЛА ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.

Попутно мы выяснили, как влияет на размер интервала датировок величина α. Смысл которой — точность измерения широт именных звезд каталога, а именно, даже при увеличении α с 10′ (точность, заявленная Птолемеем) до 15′, то есть при увеличении в 1,5 раза, получаемый интервал датировок каталога Альмагеста не захватывает скалигеровскую эпоху Птолемея, не говоря уже о скалигеровской эпохе Гиппарха.

6.3. Сокращение состава информативного ядра звездного каталога Альмагеста

В известной мере субъективным является и выбор информативного ядра каталога. В самом деле, из 12 именных звезд мы отсеяли четыре — Канопус, Превиндемиатрикс, Сириус и Аквилу = Альтаир. Если отсев первых двух звезд объясняется причинами, «внешними» для нашего исследования, то Сириус и Аквилу мы не рассматривали по той причине, что групповые ошибки их окружений не совпадают с групповой ошибкой для Zod A. Но в главе 6 показано, что есть еще по крайней мере две звезды — Лира и Капелла — групповые ошибки окружений которых могут не совпадать с групповой ошибкой для Zod А. Условность предыдущего предположения вызвана тем, что достоверно определить эти ошибки не представляется возможным. К тому же эти две звезды находятся далеко от Зодиака и близко к относительно плохо измеренной области неба M.

Итак, посмотрим, какой интервал возможных датировок каталога Альмагеста получится, если исключить указанные две звезды и оставить в информативном ядре каталога лишь шесть звезд: Арктур, Регул, Антарес, Спику, Аселли, Процион. Рис. 7.25, аналогичный рис. 7.11, показывает — что при этом произойдет. Хотя область значений параметра γ, при котором максимальная широтная невязка не превосходит уровня 10′ или 15′, сильно расширилась, границы интервала возможных датировок изменились незначительно, а именно, верхние границы, — и для 10-минутного и для 15-минутного уровней, — сохранились прежними. Нижняя граница для 15-минутного уровня также не изменилась по сравнению с полученной при рассмотрении 8 звезд ядра каталога. Нижняя же граница для α = 10′ сдвинулась в прошлое не более чем на 100 лет.

Тем самым, если принимать во внимание лишь 6 именных звезд каталога Альмагеста, лежащих в области Zod А, либо в ее непосредственной окрестности, то можно заключить, что звездный каталог Альмагеста не мог быть составлен ранее 500 года н. э.

Рис. 7.25. Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его 6 именным звездам.

6.4. Если отбросить Арктур, датировка каталога Альмагеста существенно не меняется

Возникает еще один вопрос. Не является ли полученный нами интервал датировки каталога Альмагеста следствием движения всего лишь одной звезды? Этот вопрос резонный, так как если такая звезда найдется, то возможная неточность в измерении ее координат может исказить получаемую датировку. Единственным кандидатом на подобную роль «датирующей звезды» в информативном ядре является Арктур. Это самая быстрая из восьми звезд, во многом определяющая наш интервал датировки. Ее окружение к тому же измерено не очень хорошо, см. главу 6. Поэтому, если по какой-либо причине индивидуальная ошибка координат Арктура велика, то, вообще говоря, интервал возможных датировок может сильно исказиться. Проверим, каким станет этот интервал, если из информативного ядра каталога Альмагеста УДАЛИТЬ АРКТУР и оставить в нем лишь 7 звезд. Разумеется, длина нового интервала возрастет. Она, грубо говоря, обратно пропорциональна максимальной скорости звезд из информативного ядра каталога. Рис. 7.26 иллюстрирует получающуюся при этом картину. Из рисунка ясно видно, что даже в отсутствие самой быстрой звезды информативного ядра, — Арктура — 10-минутная область не опускается ниже 300 года н. э. (t = 16) при уровне доверия 1 — ε = 0,95 или ниже. И лишь если мы поднимем уровень доверия до 1 — ε = 0,99, — то есть до 99 %, — эта область начинает захватывать 200 год н. э, то есть даже при 99 %-ном уровне доверия скалигеровская эпоха Птолемея не захватывается интервалом датировки. Тем более не захватывается еще более древняя скалигеровская эпоха Гиппарха.

Рис. 7.26. Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его 7 именным звездам.

Рассмотрим теперь 15-минутную область. Она достигает 100 года до н. э. (t = 20) при уровне доверия 1 — ε = 0,95. При уровне доверия 1 — ε = 0,99 достигается 200 год до н. э., то есть лишь при таком сильном «расшатывании условий» захватывается скалигеровская эпоха Птолемея.

Возникает вопрос: достаточен ли в нашем случае уровень доверия 1 — ε = 0,95 для 10-минутной области? По-видимому — да. Уровень 95 % определяет достаточно высокую для исторических исследований точность. Фактически такая величина характерна даже для технических приложений, где требования к точности очень высоки. Для справки скажем, что в работе [273], посвященной датировке Альмагеста, взято значение ε = 0,2, то есть уровень доверия выбран всего лишь 80 %. Таким образом, полученные нами выводы обладают очень высокой степенью достоверности.

Подводя итоги, можно заключить, что ни изменение уровня доверия, ни изменение состава информативного ядра, ни вариация значения гарантированной точности измерений не меняют основного сделанного вывода: звездный каталог Альмагеста составлен существенно позже скалигеровской эпохи Птолемея, то есть позже I–II веков н. э.

7. Геометрическая датировка каталога Альмагеста

Выводы, полученные в разделах 2–6, имели статистический характер. Сами значения групповых ошибок определялись с некоторой статистической погрешностью. Поэтому выводы о совпадении групповых ошибок в различных созвездиях каталога Альмагеста также, вообще говоря, могли быть ложными, хотя и с весьма малыми вероятностями. Устойчивость полученных статистических результатов проанализирована в предыдущем разделе. Но чтобы полностью гарантировать себя от возможных статистических ошибок, теперь мы полностью откажемся от статистики и перейдем к чисто геометрическим рассуждениям.

Рассмотрим «минимаксную широтную невязку» для определенного ранее информативного ядра каталога Альмагеста, состоящего из 8 именных звезд:

δ(t) = min Δ(t, γ, φ), (7.7.1)

где минимум берется по всевозможным значениям γ и φ. Сравним данное равенство с равенством (7.3.1). Отличие между ними — лишь в области изменения параметра γ. В формуле (7.3.1) γ изменялось в пределах доверительного интервала, накрывающего точку γ_stat(t). Равенство (7.7.1) такого ограничения не содержит. Следовательно, δ(t) ≤ Δ(t).

Обозначим через γ_geom(t) и φ_geom(t) значения (γ,φ), доставляющие минимум правой части (7.7.1). Возможная неточность процедуры нахождения γ_geom(t) и φ_geom(t). Для нас здесь будет совершенно несущественна. Вспомним ситуацию, которая уже встретилась нам в разделе 3. Там мы сняли ограничения с параметра φ. Ограничения накладывались лишь на γ. Как мы видели, это привело к интервалу датировки, на который статистические характеристики оценки для φ никак не влияют. Хотя, конечно, величина этого интервала получилась достаточно большой. Нечто подобное будет проделано нами здесь по отношению к обоим параметрам (γ,φ). Введенные выше величины γ_geom(t) и φ_geom(t) можно, если угодно, считать параметрами, задающими групповую ошибку для информативного ядра каталога. При условии, что каталог составлен в некую эпоху t.

На основе всего сказанного выше, будем считать интервалом возможной датировки каталога совокупность таких моментов времени t, для которых δ(t) ≤ 10′. Чтобы найти этот интервал, изобразим на рис. 7.27-7.30 график δ(t), а также графики функций γ_geom(t) и φ_geom(t). Приведенный график δ(t) построен с помощью равенства (7.7.1), в котором величины Δ(t, γ, φ) вычислялись по формуле (7.3.1) и производился перебор по γ и φ. На рис. 7.28 для сравнения показан график зависимости γ_geom(t) вместе с доверительной полосой. См. раздел 6. Показана также область таких значений (t, γ), что Δ(t, γ, φ) < 10′ при некотором φ.

Рис. 7.27. Геометрическая процедура датировки каталога Альмагеста: δ(t) = Δ_b(t, γ_geom(t), φ_geom(t)).

Рис. 7.28. График зависимости γ_geom(t) вместе с доверительной полосой.

Рис. 7.29. Геометрическая процедура датировки каталога Альмагеста.

Рис. 7.30. Геометрическая процедура датировки каталога Альмагеста.

Из приведенных графиков следует, что найденный ранее интервал датировок каталога Альмагеста не расширяется, даже если применить геометрическую процедуру датировки. Это, в частности, дополнительно подтверждает, что наши статистические оценки γ^ZodA_stat, рассчитанные по бóльшей части звезд каталога Альмагеста, действительно соответствуют групповой ошибке в небольшой совокупности именных звезд Альмагеста. Кроме того, доказано, что вне временнóго интервала от 600 года н. э. до 1300 года н. э. не существует такого способа совмещения реального звездного неба и звездного неба Альмагеста, при котором все звезды из его информативного ядра имели бы широтную невязку не более 10′.

В заключение приведем также графики зависимости от предполагаемой датировки t индивидуальных широтных невязок для 8 звезд информативного ядра Альмагеста при фиксированных значениях γ = 20′ и φ = 0. См. рис. 7.31. Верхняя огибающая этих графиков близка к кривой на рис. 7.25, изображающей зависимость минимальной невязки от предполагаемой датировки t для большей части временнóго интервала после 0 года н. э. (0 < t < 19). Это связано с тем, что значение γ = 20′ близко к γ_geom(t), а φ = 0 близко к φ_geom(t) для большей части этого интервала. К изменению φ картина мало чувствительна.

Рис. 7.31 показывает — на каких именно звездах информативного ядра каталога Альмагеста достигается минимаксное значение широтной невязки δ(t) при различных предполагаемых датировках t. На рис. 7.31 четко выделяется скопление нулевых значений широтных невязок около значения t = 10, то есть около 900 года н. э. При таком значении предполагаемой датировки каталога практически обнуляются невязки сразу для трех звезд информативного ядра, а именно, для Арктура (α Воо), Регула (α Leo) и Проциона (α CMi). Для остальных звезд информативного ядра каталога Альмагеста широтная невязка обращается в нуль только у Аселли (γ Can) около начала нашей эры.

Рис. 7.31. Индивидуальные широтные невязки для каталога Альмагеста при β = 0′, γ = 21′.

Любопытно сопоставить отмеченный факт скопления нулевых невязок с тем, что Арктур и Регул, наряду с Сириусом, занимали исключительное положение в «древней» астрономии. Так, Арктур — самая яркая звезда северного полушария — являлся, по-видимому, первой звездой, получившей в «древне»-греческой астрономии собственное имя. Оно упоминается уже в описании звездного неба, данном в поэтической форме в «древней» поэме Арата. Регул — это звезда, служившая в греческой астрономии отправной точкой для измерения координат всех остальных звезд и планет.

8. Устойчивость геометрического метода датировки каталога АльмагестаВлияние возможных погрешностей астрономического прибора на результат датирования

8.1. Погрешности в изготовлении астрономических приборов могли влиять на точность измерений

В геометрическом способе датирования отсутствует доверительная вероятность ε. Однако необходимо проверить его устойчивость по отношению к заявленной точности каталога и к составу информативного ядра. Выводы здесь во многом аналогичны выводам раздела 6. Так, повышение уровня точности с 10′ до 15′ приводит, как и в разделе 6, к сдвигу нижней границы интервала датировки вниз до 250 года н. э. Для уменьшенного информативного ядра из тех шести звезд прежнего ядра, которые находятся либо в области Zod А, либо в ее окрестности, интервал датировки увеличился всего лишь примерно на 100 лет, а именно, он расширился от 500 года н. э. до 1300 года н. э. Удаление же из информативного ядра каталога быстро движущегося Арктура приводит к расширению интервала датировки от 200 года н. э. до 1600 года н. э.

Таким образом, ни в каком случае интервал датировки каталога Альмагеста, полученный геометрической процедурой, не накрывает скалигеровскую эпоху Птолемея. Не говоря уж о «скалигеровском» Гиппархе.

Кроме того, мы докажем устойчивость геометрической процедуры датировки к возможным погрешностям астрономического прибора наблюдателя.

Геометрический метод датировки основан на учете ошибки наблюдателя в определении полюса эклиптики. Рассматриваются все возможные вращения сферы, или, другими словами, — ортогональные повороты координатной сетки в пространстве. Если интересоваться только широтами, то вращение сферы можно задавать лишь вектором смещения полюса, поскольку оставшаяся компонента вращения не меняет широт.

Пусть вектор смещения полюса имеет координаты (γ, φ). Если удастся найти такое вращение сферы, которое опускает максимальную широтную невязку, — например, по информативному ядру каталога, или по зодиакальным звездам каталога и т. п., — ниже уровня Δ, то мы сможем датировать каталог. Напомним, что для каталога Альмагеста Δ = 10′.

Во всех рассмотренных выше случаях, ортогональных вращений звездной сферы было достаточно, чтобы опустить максимальную широтную невязку ниже заявленной точности каталога Δ. И тем самым датировать каталог, а заодно — подтвердить точность Δ, заявленную Птолемеем. Однако, до сих пор мы не учитывали, что Птолемей мог пользоваться несовершенным астрономическим прибором. Например, астролябией, включающей в себя металлические кóльца, слегка отклоняющиеся от идеального кольцá, окружности. Кольцо могло быть слегка сжато с одного края и растянуто с другого. Кроме того, некоторые в идеале перпендикулярные плоскости этого прибора, могли оказаться по тем или иным причинам не совсем перпендикулярными. Мог возникнуть перекос углов. В результате, по разным осям мог появиться слегка разный масштаб.

Другими словами, прибор и, следовательно, определяемая им координатная сетка в трехмерном пространстве, могли подвергаться некоторой деформации. Это могло сказаться на результате измерений и исказить результат. Возникает естественный вопрос. Как влияют малые деформации прибора, или, другими словами, — соответствующей ему трехмерной координатной сетки, — на результат измерений? Насколько должны быть значительны искажения инструмента, чтобы они стали заметно сказываться на результатах наблюдателя? Ниже мы даем полный ответ на эти вопросы.

8.2. Математическая постановка задачи

Сформулируем задачу в точных математических терминах. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство, в центре которого помещена сфера, отнесенная к трем взаимно ортогональным координатным осям. Эти оси определяют попарно ортогональные координатные плоскости. Измерение эклиптикальных координат звезд заключается в том, что звезда проектируется из начала координат на поверхность сферы в точку А, рис. 7.32. Полученной точке А на сфере сопоставляются ее координаты, — например, сферические. Эти координаты наблюдатель заносит в свой каталог.

Рис. 7.32. Измерение эклиптикальной широты звезды.

Будем считать для простоты, что ось z направлена на полюс эклиптики P, а плоскость xy пересекает сферу по эклиптике. Как мы уже подробно разъяснили, более надежно измеряемыми координатами являются широты звезд. Поэтому в первую очередь мы интересуемся именно широтой звезды А. Широта измеряется вдоль меридиана, соединяющего полюс эклиптики P со звездой А. Нулевой широте отвечает сама эклиптика, то есть нулевая параллель. На рис. 7.32 эклиптикальная широта звезды А измеряется длиной дуги AB.

В описанном выше занесении координат звезды в каталог заложено предположение, что прибор наблюдателя порождает идеальную сферическую систему координат в трехмерном окружающем пространстве. Однако реальный прибор может быть слегка деформирован. Пренебрегая эффектами второго порядка, без ограничения общности можно считать, что деформация прибора вызывает некоторое линейное преобразование евклидовой системы координат в пространстве. Естественно считать это линейное преобразование близким к тождественному, так как слишком сильное искажение прибора будет замечено наблюдателем, претендующим, как мы видели, на точность 10′. Даже если деформация системы координат и содержит малые нелинейные возмущения, фактически мы рассматриваем первое приближение, то есть линейную аппроксимацию, описывающую искажение прибора.

Линейное преобразование трехмерного пространства, оставляющее на месте начало координат, задается матрицей

Это преобразование, действуя на исходную евклидову систему координат, искажает ее. Из элементарной теории квадратичных форм хорошо известно, что невырожденное линейное преобразование, близкое к тождественному, деформирует сферу в некоторый эллипсоид, рис. 7.33. Таким образом, хотя исходные взаимно ортогональные координатные прямые слегка смещаются, и вообще говоря, перестают быть ортогональными, всегда найдутся новые три взаимно ортогональные прямые, направленные по осям эллипсоида. Эти три новые прямые обозначены на рис. 7.33 буквами x', y', z'.

Рис. 7.33. Превращение сферы в эллипсоид при малой линейной деформации объемлющего пространства.

Таким образом, для наших целей можно считать, что линейное преобразование деформирует сферу следующим образом. Сначала происходит некоторый поворот (ортогональное преобразование), переводящий оси x, y, z в новые взаимно ортогональные оси x', y', z'. Затем происходит растяжение по трем взаимно ортогональным направлениям с некоторыми коэффициентами λ₁, λ₂, λ₃. Это последнее преобразование однозначно задается диагональной матрицей

Коэффициенты растяжения λ₁, λ₂, λ₃ — это некоторые вещественные числа. Они могут быть положительными или отрицательными, но из самого смысла задачи следует, что они отличны от нуля.

8.3. Искажение сферы в эллипсоид

Деформации координатной сетки, вызванные ортогональными поворотами, изучены выше, поэтому теперь можно сосредоточиться на втором преобразовании, а именно на преобразовании подобия, задаваемом диагональной матрицей R.

Итак, без ограничения общности можно считать, что деформация астрономического прибора, порождающая линейное преобразование трехмерной евклидовой координатной сетки в пространстве, задается преобразованием подобия Я с коэффициентами растяжения λ₁, λ₂, λ₃, рис. 7.34. Отметим, что числа λ_i могут быть большими единицы, равными единице или меньшими единицы независимо друг от друга. Поэтому, говоря о коэффициентах растяжения, мы в действительности имеем в виду не только фактическое растяжение (увеличение линейного размера вдоль оси), но и возможное сжатие, то есть уменьшение линейного размера. Если при некотором i выполнено неравенство λ_i> 1, то мы имеем растяжение. Если же λ_i< 1, то вдоль данной оси происходит сжатие.

Числа λ₁, λ₂, λ₃ можно рассматривать как величины полуосей эллипсоида. На рис. 7.34 эти полуоси изображаются отрезками Oλ₁, Oλ₂, Oλ₃.

Рис. 7.34. Преобразование подобия с независимыми коэффициентами растяжения или сжатия вдоль трех ортогональных осей.

8.4. Неточности измерений в «эллипсоидальной системе координат»

Обсудим подробнее измерение координат звезды в описанной выше искаженной системе координат, которую мы назовем эллипсоидальной. На рис. 7.35 плоскость рисунка проходит через центр О, звезду А и полюс эклиптики P. Эта плоскость рассекает эллипсоид, порождаемый прибором, по эллипсу, показанному на рис. 7.35 сплошной линией. Соответствующая окружность, которая порождалась бы идеальным прибором, показана пунктиром. Сейчас нас интересуют лишь широты, поэтому напомним, что широты обычно отсчитываются от эклиптики, то есть от точки M на рис. 7.35. Наблюдатель разделил дугу МР' на 90 равных частей и тем самым градуировал кольцо (эллипс), отметив на нем градусные деления. Так как на самом деле он градуировал не окружность, а эллипс, то равномерные градусные деления на эллипсе слегка искажают углы. Следовательно, возникающая градуировка углов неравномерна. Мы считаем здесь, что наблюдатель этого не заметил, иначе бы он исправил прибор.

Рис. 7.35. Искажение широт наблюдаемых звезд в результате малого искажения системы координат, вызванного неточностями в изготовлении астрономического измерительного прибора.

Наблюдая реальную звезду А, наблюдатель отметил ее положение А' на своем «эллипсоидальном приборе». Он получил, по его мнению, реальную широту звезды. Занося это число в свой каталог, который, естественно, предполагает в качестве системы координат идеальную сферическую систему, наблюдатель получил некоторую точку А''. Тем самым он сместил положение звезды, слегка поднял ее по отношению к истинному, если, например, λ₁> λ₃, как показано на рис. 7.35.

Если эллипс таков, что точка Р' выше точки Р (то есть если λ₁< λ₃), то направление смещения звезды будет другим. В этом случае точка А'' будет ниже точки А на окружности РМ. Возникающее преобразование окружности, а именно А → А'', конечно, нелинейно. Его можно продолжить до преобразования всей плоскости и всего трехмерного пространства. При этом начало координат остается на месте. Однако, поскольку мы считаем искажения прибора все-таки незначительными, то, как уже было сказано выше, можно ограничиться рассмотрением линейного приближения. То есть, заменить, — не делая при этом большой ошибки, — описанное нелинейное преобразование его главной линейной частью. Такой главной частью является растяжение по трем взаимно ортогональным осям с коэффициентами λ₁, λ₂, λ₃. Таким образом, мы снова возвращаемся к уже описанной выше математической постановке задачи. См. пункты 8.2 и 8.3. Точные значения искажений, вносимых указанным преобразованием в широты звезд, были нами рассчитаны на компьютере. Результаты расчетов приведены в табл. 7.4.

Таблица 7.4. Численно рассчитанные значения ошибок, вносимых в широты звезд искажением кольца астролябии. Здесь λ₃ /λ₁ = 1 + ε. Величины искажения углов показаны в минутах и их долях.

8.5. Оценка искажений углов, измеряемых «слегка эллипсоидальным прибором»

Итак, пусть задано линейное преобразование трехмерного пространства, определяемое тремя числами λ₁, λ₂ и λ₃ то есть матрицей

Нам необходимо оценить возникающее при этом искажение углов. Пусть ψ — истинная широта реальной звезды. Измерение на эллипсоидальном приборе превратит ее в некоторое другое число ψ'. Разность Δψ = ψ — ψ' дает величину возникшего искажения. С геометрической точки зрения искажение задается углом Δψ между направлением на реальную звезду и тем направлением на нее, которое вычисляется на искаженном приборе.

Оказывается, можно не рассматривать все трехмерное пространство, а ограничиться лишь плоским случаем. В самом деле, на рис. 7.36 видно, что под действием линейного преобразования Я звезда А перейдет в новое положение А''. При этом параллель звезды А перейдет в параллель звезды А''. Дело в том, что плоскость, ортогональная оси ОР и определявшая параллель звезды А, перейдет в плоскость, также ортогональную оси ОР. Так как нас интересуют лишь широты, то вместо точки А достаточно рассмотреть точку В, лежащую на меридиане звезды А'', рис. 7.36.

Рис. 7.36. В результате линейного преобразования системы координат, звезда «изменит свое положение». (Здесь λ₁ = 1).

Под действием преобразования R плоскость, проходящая через ось ОР и меридиан звезды А, поворачивается вокруг оси ОР. При этом в повернутой плоскости возникает линейное преобразование подобия. Следовательно, трехмерная задача сводится к двумерной. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим эллипс в двумерной плоскости, рис. 7.37. Отвлекаясь от предыдущих обозначений, введем на плоскости декартовы координаты (x,z) и рассмотрим линейное преобразование

определяемое растяжениями λ₁ и λ₃ вдоль осей x и z соответственно.

Рис. 7.37. Превращение окружности в эллипс при малом искажении системы координат.

Положение звезды А'' задается на единичной окружности радиус-вектором а = (x,z), а точка В — радиус-вектором b = (λ₁x, λ₃z). Наша цель — вычислить угол Δψ как функцию от широты ψ и коэффициентов растяжения (сжатия) λ₁ и λ₃.

8.6. Оценка возможных искажений и устойчивость полученной нами датировки

Из элементарных теорем аналитической геометрии следует, что cos Δψ равен скалярному произведению (a,b) векторов а и b, деленному на длину вектора b. При этом мы, естественно, считаем радиус окружности ОМ равным 1. Этого всегда можно добиться выбором соответствующего масштаба. Итак,

Пусть λ = λ₃/λ₁ и λ = 1 + ε. Тогда

Пусть m = 1/cos Δψ, тогда m ≥ 1. Возводя в квадрат, имеем: 1 + 2εz² + ε²z² = m² + 2m²εz² + m²ε²z⁴.

Отсюда

Если Δψ мало, то m = 1 и можно записать m = 1/соs Δψ = 1 + (Δψ)²/2.

Отсюда m — 1 = (Δψ)²/2, 1 — m²z² = 1 — z².

Окончательно, при малых Δψ имеем

Но z = sin ψ и √(1-z²) = cos ψ. См. рис. 7.37. Итак, при малых Δψ получаем

Теперь найдем конкретные численные оценки для ε. Напомним, что λ₃/λ₁ = 1 + ε, то есть величина ε показывает степень искажения системы координат. Участвующие в наших формулах величины удобно измерять в радианах. Имеем: 1° = π/180; 1′ = 1°/60 = 3,14/(60×180) = 4,35 × 10^-4, то есть 1′ = 0,00044.

Следовательно, при разумно допустимых значениях ε, — то есть при искажениях прибора, которые незаметны невооруженным глазом, — широты звезд, близких к эклиптике или к полюсу, искажаются очень незначительно. Дело в том, что sin 2ψ стремится в этих случаях к нулю. Это говорит о том, что разумно допустимые искажения прибора не могут существенно повлиять на результат измерений звезд с малой и с большой широтами, то есть, с широтами, близкими к 0 градусов или к 90 градусам. Наибольшие искажения широт могут произойти для звезд, удаленных от эклиптики и от полюса эклиптики.

Дадим количественные оценки на конкретном материале звездных каталогов. Рассмотрим, например, Альмагест. Как видно из рис. 7.27, график максимальной широтной невязки информативного ядра Альмагеста достаточно быстро нарастает справа и слева от интервала 600-1300 годы н. э. Возникает вопрос. Можно ли, допустив искажения прибора, «подавить», то есть уменьшить, эту широтную невязку, например, около начала нашей эры, то есть, в ту эпоху, когда, согласно скалигеровской версии хронологии, создан Альмагест?

Другими словами, можно ли обосновать «скалигеровскую» гипотезу, состоящую в том, что звездный каталог Альмагеста создан все же около начала нашей эры. Однако наблюдатель, дескать, пользовался слегка искаженным прибором. В результате чего внес некоторую ошибку в широты звезд. Можно ли, учитывая эту ошибку, датировать каталог эпохой, близкой к началу нашей эры?

Покажем, что на самом деле этого сделать нельзя. Допустим, что на измерения повлияли искажения астрономического прибора. Попытаемся, учитывая их, уменьшить широтную невязку по информативному ядру Альмагеста в предположении, что звезды наблюдались около начала н. э. Но, как мы подсчитали выше, эта невязка достаточно велика. Она составляет не менее 35′ около 0-го года н. э. Можно ли подавить ее, подобрав подходящее ε?

Как было показано, подавить широтную невязку за счет звезд с малыми и большими широтами практически невозможно. Однако, можно попытаться сделать это, используя звезды с широтами, близкими к 30°-40°. В информативном ядре Альмагеста имеется Арктур, широта которого составляет 31 градус. Более того, ввиду значительной собственной скорости, Арктур дает основной вклад в формирование максимальной широтной невязки информативного ядра около начала нашей эры. Как видно из рис. 7.31, график индивидуальной широтной невязки Арктура таков, что около начала нашей эры эта невязка как раз и достигает примерно 35′. Итак, можно ли существенно уменьшить невязку по Арктуру вблизи скалигеровской датировки Альмагеста, допустив, что наблюдатель пользовался искаженным прибором?

Вычислим значение ε. Как уже отмечалось, точность Δ каталога Альмагеста, заявленная его составителем, равна 10′. Следовательно, чтобы подавить широтную невязку Арктура, уменьшив ее с 35′ до 10′, следует уменьшить широту примерно на 25′. Таким образом, следует подобрать такое ε, чтобы Δψ равнялось 25′. В радианах Δψ = 0,01. Из формулы для ε сразу получаем, что

Итак, ε должно быть равным примерно 0,04. Только такими искажениями прибора можно пытаться объяснить широтную ошибку Арктура при наблюдениях около начала нашей эры. Но это значение ε слишком велико! Например, если радиус астролябии составляет 50 см, то прибор должен быть искажен так, чтобы одна из полуосей стала равной 52 см. Другими словами, ошибка должна составлять около 2 см! Допустить такую огромную ошибку для астрономического прибора вряд ли возможно. Иначе придется предположить, что во времена Птолемея колеса телег изготовлялись с большей точностью, чем кольца астролябии.

8.7. Таблица численных значений возможных «эллипсоидальных искажений»

Выше мы привели таблицу значений искажений, возникающих при измерении широт звезд с помощью некоторого прибора, например, астролябии, с эллипсоидально деформированным широтным кольцом. Отметим, что величина искажения широты звезды А зависит от значения истинной широты звезды А и от величины λ = R₃/R₁. Здесь R₁ и R₃ — это полуоси эллипсоидального широтного кольца прибора. Положим, как и выше, λ = 1 + ε. Тогда значение ε = 0 соответствует идеальному кольцу, то есть когда эллипс превращается в окружность. Следовательно, в этом случае искажения будут равны нулю на всех широтах. Как видно из табл. 7.4, максимальные по абсолютной величине искажения появляются на широте 45 градусов. Это нетрудно показать также и теоретически. В табл. 7.4 приведены значения разности b' — b, где b — точное значение широты звезды, а b' — значение широты, измеренное по отметкам на эллипсоидальном кольце с параметром λ = 1 + ε. Величины b и ε являются входами таблицы. Значения искажений b' — b были рассчитаны нами численно, с помощью компьютера.

Из табл. 7.4 видно, какую погрешность мы допускаем, заменяя рассмотренное выше нелинейное преобразование координатной сетки его главной линейной частью. Учет этой погрешности не меняет наших выводов относительно невозможности допустить такие искажения прибора Птолемея, которые привели бы к расширению интервала датировок до скалигеровской эпохи Альмагеста: I–II века н. э.

8.8. Выводы

1) Теоретически возможны искажения астрономического прибора, приводящие к тому, что порождаемая им система координат в пространстве подвергается некоторому линейному преобразованию.

2) Можно теоретически вычислить зависимость между коэффициентом ε искажения прибора и возникающей при этом ошибкой в определении широт звезд.

3) Опираясь на материал конкретных каталогов, например, Альмагеста, можно найти численные значения для ε и Δψ.

4) Никакими разумными искажениями астрономического прибора нельзя объяснить слишком большую широтную ошибку, найденную в каталоге Альмагеста при условии, что наблюдения проводились около начала н. э.

5) Полученные нами выше результаты, — включая датировку каталога Альмагеста 600-1300 годами н. э., — устойчивы к допущению разумно малых искажений наблюдательного прибора. Другими словами, введя гипотезу о возможном искажении прибора, все равно нельзя датировать каталог Альмагеста эпохами около начала нашей эры.

9. Поведение долгот именных звезд Альмагеста

При датировке каталога Альмагеста мы исследовали отдельно широты и долготы каталога. Выяснилось, что точность широт в Альмагесте существенно выше, чем точность долгот. Именно анализ широт позволил нам получить содержательный интервал возможных датировок каталога Альмагеста.

Естественно, мы провели все необходимые вычисления и проверили — какая датировка получается, если вместо широт использовать долготы. Как и следовало ожидать по итогам нашего предварительного анализа, оказалось, что датировать каталог Альмагеста в пределах интервала времени от 1000 года до н. э. до 1900 года н. э., основываясь лишь на долготах звезд, не удается. Причина — слишком низкая точность долгот звезд в Альмагесте.

Возможность датировки каталога Альмагеста на основе совместного учета широт и долгот мы рассмотрим в следующем разделе.

Итак, посмотрим, какая датировка Альмагеста получается, если за основу брать не широты, а долготы звезд.

Обозначим через L_i(t, γ, φ) значение долготы i-й звезды с учетом поворота звездной сферы на углы γ и φ. Это означает, напомним, что мы компенсируем возможную ошибку в положении эклиптики. Ошибка задается параметрами γ и φ. Для того, чтобы по возможности повысить точность выводов, рассмотрим лишь 6 именных звезд каталога Альмагеста, лежащих в области Zod А и в ее непосредственной окрестности. Это — Арктур, Регул, Антарес, Спика, Аселли, Процион. Про эти шесть звезд в главе 6 достоверно выяснено, что их групповая ошибка γ совпадает с величиной γ^ZodA_stat.

Вычислим для этих звезд величины L_i(t, γ^ZodA_stat(t) φ^ZodA_stat(t)), то есть долготы этих звезд после компенсации соответствующей групповой ошибки на эпоху t. Разумеется, при этом можно совершить погрешность и, быть может, значительную. Причин, по крайней мере, две. Первая: параметр φ сильно влияет на значения долгот. В то же время, как мы видели, этот параметр определяется неустойчиво. Следовательно, нет никакой гарантии, что для всех шести звезд он один и тот же и равен φ^ZodA_stat. Вторая причина такова. Выше мы не изучали групповые долготные ошибки, которые также могут существовать, см. [1339]. Их анализ приводит к необходимости введения еще одной величины, параметризующей групповую ошибку. Можно взять параметр τ, см. главу 3. Это — угол поворота звездной сферы вокруг новых полюсов эклиптики, задаваемых параметрами γ и φ.

Обозначим ΔL_i(t) = L_i(t,γ^ZodA_stat(t),φ^ZodA_stat(t))-l_i. Если изобразить поведение функции ΔL_i(t) то она может быть представлена в виде суммы почти линейной функции (равномерное изменение долготы вследствие прецессии) и нерегулярной «добавки», отвечающей различного рода погрешностям. Поэтому, чтобы исключить из рассмотрения влияние прецессии, а также возможной систематической ошибки τ, введем величину

Величина ΔL(t) достаточно точно измеряет изменение долгот рассматриваемых 6-ти звезд вследствие прецессии. Положим ΔL⁰_i(t) = ΔL_i(t)-ΔL(t).

На величину ΔL⁰_i(t) прецессия влияния уже практически не оказывает.

На рис. 7.38 показаны изменения величин как функций предполагаемой датировки 1 для шести рассматриваемых здесь звезд Альмагеста. Первое, что следует из рисунка, — это малые скорости изменения величин ΔL⁰_i(t) со временем. После компенсации прецессии «быстрые» звезды Альмагеста оказались очень «медленными» по долготам. Например, скорости изменения долгот Арктура и Регула почти равны друг другу. Самой быстрой звездой из шести становится Процион. Но его долгота за 3000 лет, — от 1100 года до н. э. до 1900 года н. э., — изменяется лишь на 17′. То есть чуть больше 5′ за тысячу лет. Ясно, что такого медленного изменения долготы совершенно недостаточно для содержательной датировки.

Рис. 7.38. Поведение долгот шести именных звезд: Арктур = номер Байли 110, Регул = номер 469, Процион = номер 848, Антарес = номер 553, Спика = номер 510, Аселли = номер 452.

На рис. 7.39 изображены два графика, которые в принципе могли бы служить для датировки. Однако поведение этих графиков говорит об их полной бесполезности в этом качестве. А именно, рассмотрим две функции:

ΔL_max(t) = max |ΔL⁰_i(t)|, ΔL⁰(t) = max ΔL⁰_i(t) — min ΔL⁰_i(t).

Рис. 7.39. Поведение функций ΔL_max(t) и ΔL⁰(t).

Первая из них представляет собой максимальное по рассматриваемым звездам уклонение реальных долгот от долгот, записанных в Альмагесте. Уклонение берется по абсолютной величине, с учетом прецессии. Вторая функция, уже не зависящая от прецессии, — это разность между максимальным и минимальным уклонениями. Функция ΔL_max(t) достигает минимального значения при t = 15, то есть в 400 году н. э., а функция ΔL⁰(t) — при t = 32,5, то есть около 2350 года до н. э. Обе функции принимают сравнительно большие значения, а именно, ΔL⁰(t) ≥ 25′, а начиная со скалигеровской эпохи Гиппарха, ΔL⁰(t) ≥ 30′. Наконец, ΔL_max(t) ≥ 17′. Все это говорит о том, что точность долгот слишком низка по сравнению со скоростями собственного движения. Мы не можем извлечь отсюда содержательное представление об истинной дате наблюдений.

Итак, вычисления подтвердили, что долготы каталога Альмагеста малоинформативны ввиду их низкой точности. По-видимому, причина этого правильно вскрыта Р. Ньютоном [614]. Он утверждал, что долготы в Альмагесте были кем-то подделаны, см. также главу 2. Сами мы подробных исследований в этом направлении не проводили. Вполне возможно, что при анализе долгот статистическими методами в их поведении также обнаружатся некоторые закономерности. Например, можно будет выявить в долготах отдельных частей каталога Альмагеста наличие групповых ошибок. Но, так это или нет, проведенные нами исследования показывают, что использовать долготы для уточнения датировки каталога Альмагеста, по-видимому, бессмысленно.

10. Поведение дуговых невязок в конфигурации, образованной информативным ядром Альмагеста

В главе 3 уже обсуждался вопрос о возможности датировки каталога путем сравнительного анализа двух конфигураций. Одна — неподвижная, образованная звездами Альмагеста. Другая — подвижная, образованная современными звездами. Было отмечено, что это сравнение можно провести вообще без ссылок на теорию Ньюкомба. Например, если рассматривать лишь разности дуговых расстояний в сравниваемых конфигурациях. Среди трудностей, препятствующих применению данного метода, были упомянуты следующие. Во-первых, — возможные ошибки в отождествлениях звезд. Во-вторых, — низкая точность измерений координат, приводящая к непомерно большим интервалам датировки. В третьих, — невозможность, при таком подходе, разделить координаты на точно и неточно измеренные компоненты. Скажем, на широты и долготы.

Если выбрать в качестве исследуемой конфигурации информативное ядро каталога Альмагеста, то первые два препятствия снимаются. В самом деле, отождествление указанных звезд сомнений не вызывает, а точность их измерения в соответствии с нашей основной гипотезой должна быть высокой. Во всяком случае, это касается широт звезд. Кроме того, в состав информативного ядра входят две весьма быстро движущиеся звезды: Арктур и Процион. Разумеется, неизвестная нам неточность измерения долгот может привести к таким погрешностям датировки, которые невозможно оценить. Тем не менее, отсутствие необходимости оценивать групповые ошибки при таком подходе делает соответствующие вычисления интересными. Хотя оценить погрешности этих вычислений, к сожалению, не представляется возможным. По крайней мере — на основе проведенных нами исследований.

Приведем здесь результаты наших вычислений в этом направлении, сделанных для уже рассматривавшихся выше конфигураций из 8 и 6 именных звезд Альмагеста.

Пусть l^A_ij — дуговое расстояние между i-й и j-й звездами Альмагеста. Пусть l¹_ij — аналогичное расстояние для «современных» звезд, рассчитанное для моментов наблюдения t = 1, …, 25. Обозначим через n число звезд в рассматриваемой конфигурации. Обозначим

Величину m(t) можно рассматривать как обобщенное расстояние между конфигурацией, рассчитанной на эпоху I и соответствующей конфигурацией звезд Альмагеста. Точки минимума функций m₂(t) и m(t) должны быть близки к дате составления каталога. На рис. 7.40 изображены графики функций m₂(t) и m(t) для конфигурации из 8 именных звезд, а на рис. 7.41 — для конфигурации из 6 именных звезд Альмагеста.

Рис. 7.40. Графики m₂(t) и m(t), характеризующие изменяющуюся конфигурацию из 8 именных звезд Альмагеста.

Рис. 7.41. Графики m₂(t) и m(t), характеризующие изменяющуюся конфигурацию из 6 именных звезд Альмагеста.

Видно, что в обоих случаях достаточно четкий минимум лежит в точке t = 14 (500 год н. э.). При этом, минимум величины m(t) составляет около 14′, что соответствует средней точности в 10′ по каждой из координат. Ясно, что дата 500 год н. э. достаточно далеко отстоит от скалигеровской даты составления Альмагеста.

Некоторое «удревнение» полученной даты — 500 год н. э. — по сравнению с интервалом датировок, найденным выше с помощью анализа широт, объясняется тем, что ошибка по долготам, взятым отдельно от широт, принимает минимальное значение при t = 31 (1200 год до н. э.). См. раздел 9. Конечно, датировка 1200 годом до н. э. для Альмагеста невозможна. Но все дело в том, что минимум средней невязки по долготам выражен очень слабо, поэтому точность этой датировки может составлять несколько тысяч лет. Другими словами, она ничему не противоречит, рис. 7.38 и рис. 7.39. Минимум же широтной невязки приходится на t = 10, то есть на 900 год н. э., и выражен гораздо более ярко. В результате минимум дуговых среднеквадратичных отклонений оказывается в промежуточной точке t = 14, то есть около 500 года н. э. Эта дата расположена гораздо ближе к точке более ярко выраженного минимума по широтам, чем к точке минимума по долготам.

11. Выводы

1) Датировка каталога Альмагеста, получаемая предложенными нами статистической и геометрической процедурами, — это интервал времени от 600 года н. э. до 1300 года н. э.

2) При датировке ранее, чем 600-м годом н. э. не существует способа совмещения реального неба и звездного атласа Альмагеста с менее чем 10-минутными широтными невязками для всех звезд информативного ядра Альмагеста.

3) Предположение о том, что точность каталога Альмагеста составляет не 10′, а 15′, все равно не приводит к включению скалигеровской эпохи Птолемея: I–II века н. э., в интервал возможных датировок.

4) Изменение состава информативного ядра Альмагеста также не приводит к расширению интервала датировки до скалигеровской эпохи Птолемея.

5) Реальные неточности в изготовлении астрономических приборов, приводящие к нелинейным искажениям звездного неба в каталоге, все равно не могут расширить или сдвинуть интервал датировки до скалигеровской эпохи Птолемея.

Глава 8