и немного поэкспериментировать, любое число можно выразить в виде произведения простых чисел, причем кажется, что в каждом случае есть только один вариант такого разложения. Например, число 105 равно произведению простых чисел 3 × 5 × 7, и нет никаких других простых чисел, перемножение которых дает 105. Можно просто отметить это обстоятельство и понадеяться, что это правило работает всегда. Другие примеры будут только укреплять нашу веру в истинность этого открытия. Более того, мы можем начать считать имеющиеся данные исчерпывающими и через некоторое время даже предложить принять это положение в качестве новой аксиомы.
Но что, если внезапно окажется, что существует некое действительно большое число, которое можно разложить на простые множители двумя разными способами? Дело в том, что для возникновения такой ситуации нам нужно дойти до по-настоящему больших чисел. На мой взгляд, именно здесь мы выделяем то качество, которое отличает математику от естественных наук. Естествоиспытатель убеждал бы других ученых в том, что эта теория хорошо описывает поведение чисел, опираясь на экспериментальные данные. Но доказательство означает, что мы можем продемонстрировать, что такое поведение является логическим следствием из свойств чисел. Мы можем доказать, что никакого исключительного числа, не подчиняющегося этой теории, не существует. Математическое доказательство должно показать, почему число может быть разложено на простые сомножители только одним способом. И такое доказательство позволит следующему участнику игры считать это положение самоочевидным свойством чисел.
Вавилоняне вполне удовлетворились бы наблюдением о разложении чисел на простые сомножители, но не считали бы, что необходимо найти неопровержимое доказательство истинности этого правила во всех случаях. Их подход к числам и геометрии был ближе к естественно-научному. Создателями новой игры были древние греки, которые увидели в математике занятие, позволяющее устанавливать истину.
Откуда же взялось это стремление доказывать? Вполне может быть, что оно было побочным продуктом развития общества от городов Древнего Египта и Вавилона, в которых власть была централизованной, к новым городам, возникшим в Древней Греции, в которых демократия, правовая система и политические дискуссии были частью повседневной жизни. Именно в Греции мы находим авторов, начавших использовать логические рассуждения в спорах против общепризнанных мнений и авторитетов.
В историях, которые появляются в это время, человечество уже не согласно быть безвольной игрушкой олимпийских богов и начинает оспаривать законы, по которым боги хотят им править. Сократ, считавший, что неосознанная жизнь не стоит того, чтобы ею жить, посвящает свои сочинения рассуждениям о разнице между истиной и общепринятым мнением. В трагедии Софокла Антигона бросает вызов тираническому правлению своего дяди. Демократические комедии Аристофана высмеивают абсолютную власть политиков.
Такое противостояние власти, такой переход к демократии и обществу, основанному на системе законов, требовали развития искусства логических рассуждений. Развитие полисов[67], в которых у гражданина появилась своя роль в обществе, привело к потребности в новых умениях, необходимых для участия в дискуссиях. Софисты даже путешествовали по городам, давая их гражданам уроки риторики. В трактате «Риторика» Аристотель определяет риторику как «искусство находить возможные способы убеждения относительно любого предмета»[68]. Он выделяет инструменты, необходимые гражданину, в том числе логос[69] – умение использовать логические рассуждения и имеющиеся факты для убеждения в чем-либо толпы.
Стремление к разработке хитроумных математических доказательств появилось в результате этих общественных изменений. Логос дает человеку способность убеждать. Именно поэтому развитие использования логических рассуждений для убеждения сограждан сопровождается и переменами в математике. Инструменты логического вывода оказались достаточно мощными для достижения вечных истин об устройстве чисел и геометрических фигур. Появилась возможность доказать, что любое число может быть выражено единственным произведением простых чисел. Появилась возможность доказать, что простые числа продолжаются до бесконечности. Появилась возможность доказать, что треугольник, построенный на диаметре окружности, всегда будет прямоугольным.
Очень часто у нас появляются интуитивные догадки относительно этих вечных истин. Такие предположения возникают, если достаточно долго играть с числами. Кажется, что сумма последовательных простых чисел всегда оказывается квадратным числом: 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = = 16. Но всегда ли работает это правило? Греки не удовлетворились простым наблюдением этой интересной возможной связи между простыми числами и полными квадратами. Они хотели доказать при помощи своего нового инструмента – логоса, – что это действительно так; что это положение есть логическое следствие основополагающих аксиом, управляющих поведением чисел.
Так и началось то великое приключение, которое мы называем математикой. «Начала» Евклида заложили основу для 2000 лет истории математики, в течение которых создавались доказательства, объясняющие странные и удивительные свойства чисел и геометрических фигур. Ферма доказал, что, если возвести число в степень, выраженную простым числом, большим основания, а затем разделить результат на это простое число, остаток от деления будет равен исходному числу. Эйлер доказал, что при возведении числа е в степень, равную произведению i на π, получается –1. Гаусс доказал, что любое число может быть выражено в виде суммы не более чем трех треугольных чисел (и написал рядом с изложением своего открытия «Эврика!»). Наконец, мой коллега Эндрю Уайлс доказал правоту догадки Ферма, что уравнение xn+ yn= znне имеет решений при n > 2.
Все эти великие достижения – примеры того, чем занимается математик. Математик – не профессиональный вычислитель, а разработчик доказательств. К этому и сводится главный вопрос этой книги: не может ли компьютер стать таким же, как Ферма, Гаусс и Уайлс? Несомненно, компьютер способен обойти любого человека по части вычислений, но как обстоит дело с доказыванием теорем? Доказательство можно выразить в виде последовательности символов и набора правил, указывающих, почему одна группа символов может следовать за другой. Как объяснял Гильберт, для построения математического доказательства необязательно понимать, что означают символы. Не кажется ли такая работа идеально приспособленной для компьютера?
Каждый раз, когда математик берет общепризнанное математическое утверждение и делает из него допустимый логический вывод, возникает новая последовательность символов, представляющая вновь полученное математическое утверждение. Возможно, оно уже есть в перечне доказанных математических утверждений, потому что мы пришли к нему другим путем. Тем не менее таким методом математик (или компьютер) может начать формулировать новые теоремы на основе старых. Не к этому ли мы стремимся? Даже если математика не сводится к вычислениям, разве нельзя сказать, что компьютер уже готов заменить математиков, если можно просто нажать кнопку и он начнет извергать логические следствия из всех известных утверждений?
Здесь-то и вступает в игру творческое начало. Придумать нечто новое легко. Используя нисходящий стиль программирования, вполне можно построить машину, которая будет строчить новые математические теоремы. Трудно создать нечто ценное. Откуда берется эта ценность? Для ее появления необходим разум человека, создающего и потребляющего математические утверждения. Как алгоритм узнает, какое именно математическое построение вызовет тот самый возбуждающий прилив адреналина, который пробуждает от спячки и подталкивает к продолжению работы?
Именно поэтому для математиков, подобных мне, представляет такой интерес – и, возможно, такую опасность – новый, восходящий стиль программирования, который порождает машинное обучение. Эти алгоритмы, которые разрабатывают Хассабис и его коллеги, могут научиться, опираясь на достижения людей-математиков прошлого, отличать захватывающие теоремы от скучных, а это, в свою очередь, может привести машину к формулировке новой ценной теоремы, которая может потрясти математический мир так же, как потрясла мир игр программа AlphaGo.
10Телескоп математика
Наши письменные принадлежности участвуют
в формировании наших мыслей.
Несмотря на всю мою экзистенциальную тревогу о том, что компьютер оставит меня без работы, я должен признать, что инструментом он оказался бесценным. Бывает, что мне нужно объединить целую кучу уравнений в одно уравнение. Если бы я делал это вручную, то почти наверняка где-нибудь ошибся бы. Речь идет о чисто механической процедуре, почти не требующей размышлений: нужно лишь следовать набору правил. Мой лэптоп справляется с этой работой не моргнув глазом, и я доверяю результатам его расчетов гораздо больше, чем плодам своих собственных трудов с карандашом и бумагой. Однако роль компьютера, не сводящаяся к простым манипуляциям с уравнениями, тоже возросла со временем.
Учитывая тесную связь между математикой и алгоритмами, возможно, не должно удивлять, что компьютеры уже почти полвека помогают нам доказывать трудные для понимания математические теоремы. В 1970-х годах компьютер сыграл важную роль в получении решения классической задачи, которую называют «проблемой четырех красок». Эта теорема утверждает следующее: как бы мы ни изменяли границы европейских стран, их карту всегда можно раскрасить, используя не более четырех красок, так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были закрашены одним и тем же цветом. Раскрасить всю карту тремя красками невозможно, но четырех должно хватить.