&T, на базе которой был создан нынешний компьютер Зайльбергера. Он считает, что сопротивление партнерству с машинами вызвано тем, что он называет «антропоцентрическими предрассудками», которые, как и любые другие предрассудки, сдерживают прогресс.
Большинство математиков полагает, что их устремления сложнее, чем устремления компьютеров: они надеются достичь не просто истины, но понимания того, что скрыто за этой истиной. Если компьютер проверяет истинность утверждения, но не дает такого понимания, им кажется, что их обманули.
«Мы стремимся добиться понимания математики, – сказал Майкл Атья, лауреат Филдсовской премии (эквивалента Нобелевской премии в математике). – Если нам приходится полагаться на невнятные компьютерные доказательства, такой результат нельзя считать удовлетворительным». С ним согласен и другой лауреат Филдсовской премии, Ефим Зельманов: «Доказательством является то, что все математики признают доказательством; поэтому к доказательствам, произведенным машинами, я отношусь скептически». Разумеется, мы не примем доказательства, если оно понятно только одному математику. Значит, Зельманов прав? Если доказательство понимает только машина, которая его сгенерировала, можем ли мы доверять такому доказательству?
Дорон Зайльбергер понимает, откуда берется такая точка зрения, но в конечном счете отвергает ее. «Я тоже получаю удовольствие, когда понимаю в доказательстве всё, от начала и до конца, – признает он. – Однако жизнь есть жизнь. Жизнь сложна». По его мнению, если доказательство понятно человеческому разуму, значит, оно должно быть довольно тривиальным:
Большая часть того, что делают люди, лет через двадцать или тридцать будет легко делаться компьютерами. Уже сейчас это так в некоторых разделах математики; многие работы, которые публикуют сегодня люди, уже устарели и могут быть выполнены с использованием алгоритмов. Некоторые из задач, которыми мы сегодня занимаемся, совершенно неинтересны, но их решают, потому что это может сделать человек.
Получается довольно мрачная оценка положения вещей. Но справедлива ли она? Мне, несомненно, случается думать, что некоторые статьи попадают в журналы только потому, что их авторам нужны публикации. Но это не всегда плохо. Непредвиденные последствия работы, которую делаешь только ради самого процесса, показывают, что и бесцельные исследования иногда бывают лучшим путем к обретению по-настоящему новых идей.
Подобно многим нашим коллегам, Джордан Элленберг видит в будущем этой области жизненно важную роль человека:
Нам очень хорошо удается постигать то, чего не могут постичь компьютеры. Если представить себе будущее, в котором все известные сейчас теоремы можно доказать на компьютере, мы просто придумаем что-то, чего компьютер решить не сможет, и это-то и станет «математикой».
Однако значительная часть человеческой работы приводит к движению не вперед, а в стороны. В некоторых областях мы действительно подходим к рубежу, на котором продвижение дальше вершины Эвереста потребует использования машины. Это шокирует старую гвардию (к которой, вероятно, принадлежу и я сам). Математикам старой закалки чрезвычайно трудно смириться с тем фактом, что карандаша и бумаги уже не будет хватать для новых революционных свершений в математике.
Одним из тех математиков, кто добился признания, работая с карандашом и бумагой, но потом стал горячим поборником введения компьютера в арсенал математика, был Владимир Воеводский, один из самых блестящих математиков моего поколения. Я познакомился с ним в Оксфорде, когда мы пытались заманить его к себе на работу. Уже было понятно, что в будущем ему не миновать Филдсовской премии, и Оксфорд решил заранее предложить ему соблазнительную должность. На семинарах, на которых он рассказывал о своей работе, чувствовалось радикально новое видение математики. Речь не шла о постепенном прогрессе или интересном новом слиянии общепризнанных идей. Казалось, что Воеводский транслирует новый математический язык и способен доказать то, что ускользало от многих поколений математиков.
В начале этой книги я говорил о трех типах творчества – творчестве исследовательском, творчестве комбинаторном и творчестве преобразовательном, изменяющем весь пейзаж той или иной области деятельности благодаря внедрению совершенно новой точки зрения. Творчество Воеводского было поистине преобразовательным. Выслушивая его идеи, нельзя было не думать: «Откуда это только взялось?»
Оказалось, что его исключительные творческие способности получали подкрепление из весьма неожиданного источника. Во время его пребывания в Оксфорде меня сильно поразило известие о том, что одним из самых важных соображений, которые он учитывал при выборе будущего места работы, была доступность наркотиков. И речь шла отнюдь не о кофеине, любимом наркотике большинства математиков (как сострил однажды знаменитый венгерский математик Пал Эрдёш: «Математик – это машина для преобразования кофе в теоремы»). Чтобы убедить его в достоинствах Оксфорда, нужно было достать весьма серьезные наркотики категории В[73].
Мне, честно говоря, никогда не казалось, что наркотики могут помочь добраться до идей, ориентирование в которых требует холодной железной логики. Впоследствии Воеводский получил свою Филдсовскую премию и принял предложение работы в Институте перспективных исследований в Принстоне, но ранние успехи вызвали у него своего рода экзистенциальный кризис.
«Я понял, что приближается время, когда доказательство очередной гипотезы уже не будет производить особого эффекта, – говорил он. – Я понял, что математика находится на грани кризиса, точнее, двух кризисов».
Первый из этих двух кризисов касался разделения математики на «чистую» и «прикладную». По мере все большего сокращения бюджетов на научные исследования государствам приходится принимать нелегкие решения о том, на что именно следует тратить средства. Некоторые политики начинают спрашивать, почему общество должно платить людям, занимающимся вещами, которые не имеют никакого практического применения. Воеводский считал, что важно показать, почему даже те, весьма эзотерические, исследования, которыми занимался он, тем не менее могут приносить обществу важнейшие практические результаты.
Но еще более серьезную экзистенциальную угрозу представлял второй кризис, касавшийся все увеличивающейся сложности чистой математики. Даже если математикам удается разбираться в своей узкой области, математическое сообщество в целом уже не в состоянии проверять работу других. Математики оказываются во все более изолированном положении. Еще в 1739 году Давид Юм говорил в «Трактате о человеческой природе» о социальном контексте доказательства:
Нет такого алгебраиста или математика, который был бы настолько сведущ в своей науке, чтобы вполне доверять любой истине тотчас же после ее открытия или же смотреть на нее иначе, чем на простую вероятность. С каждым новым обозрением доказательств его доверие увеличивается, но еще более увеличивается оно при одобрении его друзей и достигает высшей степени в случае общего признания и одобрения всем ученым миром[74].
Рано или поздно, полагал Воеводский, журнальные статьи должны настолько усложниться, что их подробная проверка станет невозможной и это приведет к появлению в литературе необнаруженных ошибок. А поскольку математика – наука глубокая в том смысле, что результаты одной статьи обычно опираются на результаты многих предыдущих статей, такое накопление ошибок было бы чрезвычайно опасным.
Выявив эти два потенциальных кризиса, Воеводский решил оставить исследовательскую работу, принесшую ему признание и славу, и сосредоточить свои усилия на предотвращении потенциальных катастроф, грозящих математике. Эту работу он начал с попытки применить свои математические таланты в других областях. Поскольку он с самого детства интересовался биологией, он задумался о том, не смогут ли разработанные им инструменты породить новые идеи в этой дисциплине, которую обычно считают чрезвычайно далекой от математики. В течение нескольких лет он пытался определить, можно ли восстановить историю популяции путем анализа ее нынешнего генетического состава. Но его попытки разгадать эту биологическую загадку в конце концов закончились ничем. Оказалось, что у него не было средств и умений, необходимых для такого же глубокого изучения биологических вопросов, как вопросов математических.
«К 2009 году я понял, что то, что я изобретаю, бесполезно. Это была, вероятно, величайшая научная неудача в моей жизни до этого момента. Огромное количество трудов было вложено в проект, закончившийся полным крахом».
После долгих раздумий он обратился ко второму из выявленных им кризисов – проблеме все возрастающей сложности передовой математики. Если люди уже не способны проверять доказательства друг друга, возможно, нам следует призвать на помощь машины. То, что специалист по чистой математике калибра Воеводского заговорил об использовании компьютеров, казалось многим неверным шагом. Большинство математиков по-прежнему верило в способность человеческого ума разбираться в уравнениях и геометрических построениях и выискивать решения интуитивно, руководствуясь чувством прекрасного. Но те, кто критиковал решение Воеводского, не верили в неизбежность кризиса или не придавали ему должного значения.
Поискав подходящие инструменты, Воеводский увидел, что единственная работоспособная компьютерная программа, способная разбираться в доказательствах, – это французская система Coq. Сначала он никак не мог понять, как она работает. Поэтому он вернулся к основам и предложил Институту перспективных исследований поручить ему преподавание курса по Coq. Я тоже часто использую этот прием: если не понимаешь какого-то предмета, попробуй его преподавать. Постепенно Воеводский начал осознавать, что язык, используемый в информатике, казавшийся ему поначалу таким чуждым, – это на самом деле всего лишь версия того же самого абстрактного мира, в котором он провел свои ранние годы, занимаясь математикой.