Дочитав до конца хороший роман, мы иногда ощущаем грусть; точно так же может опечалить и окончание математического путешествия. Мы получали такое удовольствие от странствий, в которые уводили нас уравнения Ферма, что решение этой 350-летней загадки, которое нашел Эндрю Уайлс, было встречено хоть и с восторгом, но не без некоторой примеси разочарования. Поэтому так высоко ценятся доказательства, создающие почву для новых историй.
Та неизвестность, которая так радует нас в математическом доказательстве, – классический повествовательный прием. Писатели вводят элементы сюжета, задающие вопросы, которые заставляют читателя продолжать чтение в надежде найти ответ на загадку, появившуюся в начале истории. Этот повествовательный прием, который называют герменевтическим кодом, Ролан Барт называет в числе пяти основных кодов смысла, присутствующих в повествовании. Он соответствует неразрешенным вопросам или загадкам, требующим объяснения, и является главным приемом создания и исполнения удовлетворительного математического доказательства. Именно это стремление к разрешению загадки и приносит нам такое удовольствие, когда мы читаем математический текст. В этом отношении у математического доказательства много общего с хорошим детективом.
Любое математическое доказательство начинается с финальной сцены. Вопрос в том, как мы к ней приходим. То же можно встретить и в детективах или в серии «Причина и следствие» сериала «Звездный путь: Новое поколение»[95]:она начинается с кадров охваченного пламенем звездолета «Энтерпрайз». Пикар приказывает покинуть судно, а затем мы видим, как оно взрывается. История начинается с конца, хотя литературные повествования в большинстве своем не начинаются со столь драматических сцен и в них повсюду встречаются примеры такого рода восстановления причин по следствиям.
Помимо напряжения, создаваемого вопросом, на который не было дано ответа, повествовательный импульс возникает в математике из действия, происходящего в доказательстве по мере его развития. В евклидовом доказательстве существования бесконечного количества простых чисел мы читаем о перемножении этих простых чисел. Это тут же возбуждает в нас интерес: ладно, и куда это ведет? Что мы будем делать с этим новым числом? Действие развивается. Ага, мы прибавили единицу. Чем дальше, тем интереснее. А затем приходит удовлетворение от понимания, как эта последовательность действий, достигнув своей развязки, приводит повествование к решениям и откровениям. Это хороший пример второго из пяти кодов повествования по Барту, проайретического[96] кода. Напряжение создается накапливанием действий, которые по самой своей природе предполагают дальнейшее повествовательное действие.
Барт говорит еще о трех кодах – семантическом, символическом и культурном. Все три вращаются вокруг той идеи, что некоторые концепции внутри повествования оказываются созвучны чему-то, существующему за его пределами, и придают ему дополнительный смысл. И все три полезны для построения математических доказательств, в которых уже имеющиеся у читателя знания используются для того, чтобы доказательство понималось должным образом. Г.Г. Харди предлагал добавлять немного болтовни; точно так же доказательству требуется иногда некий сигнал, включающий в развитие этого доказательства обширную историю идей. Неспособность распознать такие сигналы или ссылки может существенно повредить действенности доказательства, так же как вредит она восприятию литературного повествования.
Мы часто говорим об основных сюжетах, общих для многих произведений. Иногда их называют еще шаблонными сюжетами или повествовательными архетипами. Теоретики литературы пытаются классифицировать эти архетипы; некоторые считают, что существует всего семь разных типов сюжета. Мы говорим об «историях про Золушку», о «повествованиях о приключениях», о «военных сагах». Есть ли свои шаблонные сюжеты в математике? Математики, несомненно, различают несколько архетипов доказательства и используют их, чтобы помочь читателю. Есть, например, доказательство от противного, вероятностное доказательство или доказательство по индукции. Доказательство Великой теоремы Ферма основывается на создании мира, в котором истинно утверждение, обратное тому, которое мы хотим доказать. Доказательство Уайлса начинается с предположения, что уравнение Ферма имеет решение, а затем рассматривает, к чему приводят следствия из этого предположения. Получающийся в результате абсурдный вывод позволяет нам увидеть, что такого решения быть не может.
В лучших образцах математических работ есть противонаправленные тенденции. Доказательства не должны быть ни слишком сложными, ни слишком простыми. В наиболее удачных доказательствах чувствуется логическая неизбежность, и все же каждый следующий шаг нельзя предсказать заранее. Джон Кавелти описывает в книге «Приключение, тайна и любовная история: формульные повествования как искусство и популярная культура»[97] (Adventure, Mystery, and Romance) значение этих противоречий в художественной литературе, но его слова применимы и к математике: «Если мы стремимся к порядку и безопасности, то в итоге обязательно получим скуку и однообразие. Отказавшись от порядка во имя перемен и новизны, столкнемся с опасностью и неизвестностью… многие важнейшие аспекты истории культуры могут быть интерпретированы как динамичный конфликт между этими базовыми импульсами… между стремлением к порядку и желанием избежать скуки»[98].
То же лежит и в основе построения хорошего доказательства.
О проекте «Мицар» слышали лишь немногие из профессиональных математиков. Им неинтересна его цель. Он сводится к построению Вавилонской библиотеки, в которой есть всё и нет ничего. И все же я считаю, что у машинного обучения есть пока еще неиспользованный потенциал. Смогут ли его алгоритмы в один прекрасный день взять ту математику, которая нам нравится, и научиться создавать нечто подобное? Не идет ли речь лишь об отсрочке исполнения приговора?
Чаще всего из всех видов художественного творчества с математикой ассоциируют музыку. Но мне кажется, что творческая деятельность, наиболее близкая к доказыванию теорем, – это повествование, рассказывание историй. И вот о чем я задумался: если считать, что математические доказательства – это истории, интересно, насколько хорошие рассказчики получаются из компьютеров?
14Языковые игры
Заходят в бар двое ученых.
Один говорит: «Мне – стакан Н2О!»
Второй говорит: «А мне – аж два!»
Бармен наливает обоим воды, потому что умеет
различать пограничные тоны, определяющие
грамматическую функцию омофонов в финальном
положении, а также прагматический контекст.
Тому, кто хочет быть писателем, важно понимать язык или по меньшей мере создавать иллюзию его понимания. Насколько хорошо машины ориентируются в человеческом общении? Алан Тьюринг формулирует задачу в первом же предложении знаменитой статьи «Вычислительные машины и разум»: «Я собираюсь рассмотреть следующий вопрос: “Могут ли машины думать?”»[99] Но, поскольку Тьюринг считал этот вопрос слишком общим, он уточнил задачу и спросил, можно ли запрограммировать машину так, чтобы ее ответы в разговоре с человеком были настолько убедительны, что человек не мог бы определить, с машиной ли он разговаривает.
Тьюринг назвал это испытание «Игрой в имитацию», по имени популярной в то время салонной игры, но широкую известность оно приобрело под названием «тест Тьюринга». Чтобы пройти тест Тьюринга, нужен алгоритм, способный принимать входящую информацию на естественном языке со всеми его непредсказуемыми капризами, обрабатывать ее и выдавать на выход нечто такое, что мог бы сказать в ответ человек. «Естественным языком» обычно называют язык, развившийся у людей естественным путем благодаря использованию и повторению и без сознательного планирования или предварительного замысла – в отличие от компьютерного кода.
Первой успешной попыткой взяться за задачу Тьюринга была программа «Элиза» (ELIZA)[100], которую разработал в 1966 году специалист по информатике Джозеф Вейценбаум. Вейценбауму пришла в голову интересная и в то же время поразительно простая идея. Если вы когда-нибудь проходили курс клиент-центрированной (или личностно-ориентированной) психотерапии, созданной Карлом Роджерсом, вы знаете, что терапевт отвечает клиенту вопросами, которые не уводят беседу в новом направлении, а просто отражают то, что терапевт только что услышал. Это дает клиенту возможность более полно раскрыть, что у него на уме[101].
[Клиент.] Все мужчины одинаковы
[Терапевт.] В ЧЕМ
Вечно они донимают нас то тем, то другим
МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ПРИВЕСТИ КОНКРЕТНЫЙ ПРИМЕР
Ну, например, мой друг заставил меня прийти сюда
ВАШ ДРУГ ЗАСТАВИЛ ВАС ПРИЙТИ СЮДА
Он говорит, что я почти все время чем-то подавлена
МНЕ ПРИСКОРБНО CKSIFNM? ЧТО ВЫ ЧЕМ-ТО ПОДАВЛЕНЫ
Это верно, я несчастна
ВЫ ПОЛАГАЕТЕ ВАШ ПРИХОД СЮДА ПОМОЖЕТ ВАМ НЕ БЫТЬ НЕСЧАСТНОЙ
В этом случае терапевт был не человеком, а компьютерной программой. Вейценбаум понял, что ответы, которые дает терапевт в ходе сеанса по методике Роджерса, можно выразить алгоритмически. Он составил правила типа «если… то…», по которым программа берет информацию, полученную от клиента, анализирует структуру фразы и выводит реплику, зависящую от введенной информации. Например, если клиент говорит: «Мне