Когда оба переключателя разомкнуты (как показано на рисунке), они соответствуют белому цвету. Вот как можно использовать два инвертора и один вентиль И для того, чтобы сгенерировать сигнал, обозначенный буквой Б, который будет равен 1 (наличие напряжения), если вы выбрали белую кошку, и 0 (отсутствие напряжения), если не выбрали.
Когда переключатели разомкнуты, входы обоих инверторов равны 0. Таким образом, оба выходных сигнала инверторов (которые подаются на входы вентиля И) равны 1. Это означает, что выход вентиля И равен 1. При замыкании любого из переключателей выход вентиля И будет равен 0.
Чтобы выбрать черную кошку, мы замыкаем первый переключатель. Это можно сделать, используя один инвертор и вентиль И.
Выход вентиля И будет равен 1 только в том случае, если первый переключатель замкнут, а второй — разомкнут.
Аналогично замыкание второго переключателя будет означать выбор рыжей кошки.
Замыкание обоих переключателей означает, что нам нужна кошка «другого» цвета.
Теперь давайте объединим описанные выше четыре небольшие схемы в одну. (Как обычно, черными точками обозначаются соединения проводов; провода, на пересечениях которых черных точек нет, не соединены.)
Понимаю, в этих хитросплетениях проводов сложно разобраться. Однако если вы внимательно проследите, откуда подаются сигналы на входы каждого из вентилей И, и проигнорируете то, куда еще они идут, то увидите, что схема работает. Если оба переключателя разомкнуты, выход Б будет равен 1, а остальные — 0. Если первый переключатель замкнут, выход Ч будет равен 1, а остальные — 0 и т. д.
Для соединения вентилей и инверторов существует несколько простых правил: выход одного вентиля (или инвертора) может являться входом одного или нескольких других вентилей (инверторов). Однако выходы двух или более вентилей (инверторов) никогда не соединяются друг с другом.
Эта схема, состоящая из четырех вентилей И и двух инверторов, называется дешифратором двух линий на четыре. На его вход подается два бита, которые в различных комбинациях могут представлять четыре разных значения. На его выходе образуются четыре сигнала, лишь один из которых равен 1 в любой момент времени (какой конкретно, зависит от входных значений). По аналогичному принципу вы можете создать дешифратор трех линий на восемь или дешифратор четырех линий на шестнадцать и т. д.
Еще раз приведу упрощенное логическое выражение для выбора кошки:
(С × ((М × (Б + Р)) + (Ж × (1 − Б)))) + Ч.
Каждому знаку «+» в этом выражении должен соответствовать вентиль ИЛИ, а каждому знаку «×» — вентиль И.
Порядок символов слева от схемы соответствует их порядку в выражении. Эти сигналы поступают от переключателей, соединенных с инверторами и дешифратором «2 на 4». Обратите внимание на использование инвертора для реализации части выражения 1 − Б.
Вы можете подумать, что в схеме используется слишком много реле, и это действительно так. В ней присутствуют два реле для каждого вентиля И и ИЛИ и одно реле для каждого инвертора. Могу лишь посоветовать привыкнуть к такому положению дел. В следующих главах мы будем использовать гораздо больше реле. Просто радуйтесь, что вам не придется покупать реле и собирать эти схемы дома.
Сейчас мы рассмотрим еще два логических вентиля. Оба используют выход реле, на котором присутствует напряжение, когда реле не активировано (выход, используемый в инверторе). Например, в следующей конфигурации выход одного реле подает питание на вход второго. Когда оба входа отключены от источника питания, лампочка горит.
При замыкании верхнего выключателя лампочка гаснет.
Лампочка гаснет из-за того, что на второе реле не подается питание. Точно так же лампочка гаснет при замыкании нижнего выключателя.
Когда замкнуты оба переключателя, лампочка тоже не горит.
Это поведение прямо противоположно поведению вентиля ИЛИ. Такая схема называется вентилем ИЛИ-НЕ.
Его символ аналогичен символу вентиля ИЛИ, за исключением того, что на выходе изображен небольшой кружок, означающий инвертировать. Вентиль ИЛИ-НЕ соответствует следующей схеме.
Результаты работы вентиля ИЛИ-НЕ представлены в таблице.
Они противоположны результатам работы вентиля ИЛИ, выход которого равен 1, если один из двух его входов равен 1, а 0 — только если оба входа равны 0.
Далее показан еще один способ соединения двух реле.
В данном случае два выхода соединены. Это похоже на конфигурацию вентиля ИЛИ, только здесь используются другие контакты. Лампочка горит, когда оба переключателя разомкнуты.
Лампочка продолжает гореть при замыкании верхнего переключателя.
Точно так же лампочка продолжает гореть и при замыкании нижнего переключателя.
Только при замыкании обоих переключателей лампочка гаснет.
Это поведение прямо противоположно поведению вентиля И. Такая схема называется вентилем И-НЕ. Вентиль И-НЕ изображается так же, как и вентиль И, но с кружком на выходе, который означает, что выходной сигнал противоположен выходному сигналу вентиля И.
Вентиль И-НЕ демонстрирует следующее поведение.
Обратите внимание: выход вентиля И-НЕ противоположен выходу вентиля И. Выход вентиля И равен 1, только если оба входа равны 1; в противном случае выход равен 0.
Итак, мы рассмотрели четыре различных способа подключения реле, которые имеют два входа и один выход. Каждая конфигурация дает несколько различающиеся результаты. Для экономии сил и времени мы назвали эти конфигурации логическими вентилями и решили обозначать их с помощью символов, используемых инженерами-электриками. Выходной сигнал конкретного логического вентиля зависит от входного сигнала, как показано в следующих таблицах.
Теперь у нас есть четыре логических вентиля и инвертор. Осталось дополнить инструментарий обычным реле, которое называется буфером.
Буфер изображается так.
Этот символ аналогичен символу инвертора, но без маленького кружка. Буфер примечателен тем, что он почти ничего не делает. Выходной сигнал буфера совпадает с его входным сигналом.
Однако вы можете использовать буфер при наличии слабого входного сигнала. Как вы помните, именно по этой причине реле использовались в телеграфной системе много лет назад. Кроме того, буфер можно применять для небольшой задержки сигнала. Дело в том, что для срабатывания реле требуется немного времени — небольшая доля секунды.
Отныне в книге редко будут встречаться изображения реле. Вместо этого следующие схемы будут состоять из буферов, инверторов, четырех основных логических вентилей и более сложных схем (дешифратора «2 на 4», например), собранных из этих вентилей. Разумеется, все эти компоненты состоят из реле, однако нам нет необходимости их рассматривать.
Ранее, когда мы конструировали дешифратор «2 на 4», нам встретилась небольшая схема следующего типа.
Два инвертированных входа стали входами вентиля И. Иногда такая конфигурация изображается без инверторов.
Обратите внимание на маленькие кружки на входе вентиля И, которые указывают, что сигналы в этой точке инвертируются: 0 (отсутствие напряжения) становится 1 (наличие напряжения), и наоборот.
Вентиль И с двумя инвертированными входами ведет себя точно так же, как вентиль ИЛИ-НЕ.
Выход равен 1, только если оба входа равны 0.
Аналогично вентиль ИЛИ с двумя инвертированными входами эквивалентен вентилю И-НЕ.
Выход равен 0, только если оба входа равны 1.
Эти две пары эквивалентных схем представляют электрическое воплощение законов Огастеса де Моргана, еще одного математика викторианской эпохи, который был на девять лет старше Буля. Его книга «Формальная логика» была опубликована в 1847 году, согласно преданию, в один день с книгой Буля «Математический анализ логики». На самом деле на занятия логикой Буля подвигла открытая вражда между де Морганом и другим британским математиком, связанная с обвинениями в плагиате (история оправдала де Моргана). С самого начала де Морган осознал важность прозрений Буля. Он бескорыстно поощрял Буля и помогал ему в исследованиях, однако сегодня он, к сожалению, почти забыт, а в памяти потомков остались только его знаменитые законы.
Законы де Моргана проще всего выразить следующим образом.
A и B — два булевых операнда. В первом выражении они инвертируются, а затем объединяются с помощью булева оператора И. Это эквивалентно объединению двух операндов с помощью булева оператора ИЛИ и последующему инвертированию результата (соответствует оператору ИЛИ-НЕ). Во втором выражении два оператора инвертируются, а затем объединяются с помощью булева оператора ИЛИ. Это эквивалентно объединению двух операндов с помощью булева оператора И и последующему инвертированию результата (соответствует оператору И-НЕ).
Законы де Моргана — важный инструмент для упрощения булевых выражений, а значит, для упрощения схем. История показала, что именно в этом заключалось значение работы Клода Шеннона для инженеров-электриков. Однако чрезмерное упрощение схем не является целью этой книги. Нам важно собрать работающую схему, а не сделать так, чтобы она работала как можно проще. Этим мы и займемся в следующей главе — соберем работающую счетную машину.
Глава 12Двоичный сумматор
Сложение — простейшая арифметическая операция. Если мы хотим создать компьютер (а именно в этом заключается цель этой книги), сначала нужно найти способ создания устройства, складывающего два числа. По сути, компьютеры выполняют только операцию сложения. Если нам удастся сконструировать механизм, умеющий складывать, мы окажемся способны создать устройство, использующее операцию сложения для того, чтобы вычитать, умножать, делить, рассчитывать платежи по ипотеке, отправлять ракеты на Марс, играть в шахматы и вносить путаницу в наши телефонные счета.
Сумматор, который мы построим, будет большим, нескладным, медленным и шумным по сравнению с современными калькуляторами и компьютерами. Самое интересное заключается в том, что мы соберем эту машину из простых электрических устройств, о которых говорили в предыдущих главах, — переключателей, лампочек, проводов, батарейки и реле, объединенных в различные логические вентили. Этот сумматор будет состоять исключительно из деталей, которые уже были изобретены 120 лет назад. Особенно хорошо то, что нам не нужно ничего собирать в своей гостиной; вместо этого мы можем конструировать на бумаге и в уме.