Упругая энергия и современная механика разрушения, с отступлениями о луках, катапультах и кенгуру
Человек несмысленный не знает, и невежда не разумееттого.
Как было сказано в предыдущей главе, значительным достижением математиковXIX в. было создание методов расчета распределения напряжений для большинстватипов конструкций, хотя эти методы носили академический характер. Но многиеинженеры-практики не доверяли такого рода расчетам еще задолго до того,как Инглис посеял сомнения в их справедливости. Используя методы теорииупругости, Инглис показал, что даже крошечные непредвиденные дефекты илинерегулярности, которые могут появиться в, казалось бы, абсолютно безопаснойконструкции, приводят к росту локальных напряжений до величин, превышающихпринятый предел прочности материала, что сулит преждевременное разрушениеконструкции.
В самом деле, используя формулу Инглиса, можно с легкостью подсчитать,что для фермы железнодорожного моста в устье реки Форт, сделанной из неочень твердой стали, достаточно обычной булавочной царапины, чтобы онаразвалилась и мост рухнул в море. Однако не часто приходится слышать, чтомосты разваливаются от булавочных царапин, в то время как на практике всеконструкции, включая суда и самолеты, сплошь покрыты зазубринами, трещинамии отверстиями, вызывающими концентрации напряжений, но представляющимиопасность только в исключительных случаях. Как правило, они не причиняютникакого вреда. Однако время от времени конструкции все же ломаются, икаждый случай может грозить серьезной аварией.
Когда лет 50-60 назад смысл расчетов Инглиса начал доходить до инженеров,они были склонны "закрыть" всю проблему, уповая на пластичность обычноиспользуемых металлов. Форма кривой деформирования для наиболее пластичныхметаллов близка к изображенной на рис. 21, и было принято считать, чтоперенапряженный металл у кончика трещины пластически течет, освобождаясьтем самым от серьезных перенапряжений. Таким образом, острый кончик трещиныкак бы сглаживается и его можно рассматривать как "закругленный", так чтоконцентрация напряжений уменьшается и безопасность восстанавливается.
Подобно многим другим правдоподобным доводам, такое объяснение лишьотчасти соответствует истинному положению вещей и далеко не исчерпываетвсей проблемы в целом. В большинстве случаев концентрация напряжений засчет пластичности металла полностью не снимается и локальное напряжениев действительности очень часто значительно превосходит общепринятое "разрушающеенапряжение" материала, найденное в лабораторных опытах на малых образцахи приведенное в опубликованных таблицах и справочниках.
Однако идеи, вызывающие замешательство и подрывающие веру в общепринятыеметоды расчета на прочность, долгое время не пользовались поддержкой. Вмои студенческие годы имя Инглиса почти не упоминалось, а эти сомненияи трудности инженеры дипломатично обходили. С точки зрения прагматиковтакую позицию можно отчасти оправдать, поскольку при разумно выбранномкоэффициенте запаса для многих обычных конструкций расчетам на прочность,основанным на традиционном подходе, не учитывающем концентрацию напряжений,как правило, можно доверять. И сегодня это лежит в основе большинства норми правил безопасности, устанавливаемых правительственными организациямии страховыми компаниями.
Однако даже у прекрасных инженеров время от времени случались промашки.Так, в 1928 г. на пассажирском пароходе компании Уайт Стар "Маджестик"водоизмещением 56551 т, в то время самом большом и красивом корабле вмире, сделали дополнительный пассажирский лифт. При этом в нескольких силовыхпалубных перекрытиях прорубили сквозные прямоугольные отверстия с нескругленнымиуглами. Где-то между Нью-Йорком и Саутгемптоном, когда на борту было около3 тыс. человек, у одного из этих отверстий образовалась трещина, котораядошла до поручней, опустилась по борту корабля на несколько метров и, ксчастью, застопорилась, наткнувшись на иллюминатор. Лайнер благополучнодостиг Саутгемптона, и ни пассажиры, ни пресса ничего об этом не узнали.По исключительному стечению обстоятельств примерно то же самое почти одновременнопроизошло со вторым по величине кораблем мира, американским трансатлантическимпассажирским лайнером "Левиафан". И в этом случае судно благополучно достиглопорта и огласки удалось избежать. Если бы трещины распространились немногодальше, эти пароходы развалились бы пополам в открытом море и могли быпогибнуть тысячи людей.
В послевоенное время потрясающие мир катастрофы с кораблями, мостами,буровыми вышками стали обычным явлением, и количество их год от года возрастает.Ценой гибели множества людей и огромных материальных потерь достигнуто,наконец, понимание недостаточности классической теории упругости для предсказанияпрочности особенно больших конструкций, хотя, конечно, созданная Гуком,Юнгом, Навье и их последователями наука исключительно важна и не можетбыть речи о том, что она не нужна или устарела.
Энергетический подход к расчетам конструкций на прочность
Шумели небо и вода,
Но сам ты прятался всегда.
Ты звал меня, касался щек,
Но я поймать тебя не мог.
Перевод Игн. Ивановского
До самого недавнего времени в теории упругости и связанных с нею исследованияхпользовались терминами напряжение, деформация, прочность и жесткость, тоесть, по существу, можно сказать, понятиями сил и перемещений. До сих пори мы в этой книге вели рассуждения только в рамках этих понятий, и, мнекажется, многие считают такой подход наиболее простым. Однако, чем большенаблюдаешь закономерности природы и размышляешь о технике, тем больше склоняешьсяк энергетической концепции. Такой подход позволяет объяснить очень многое,и он лежит в основе современных моделей прочности материалов и поведенияконструкций, то есть в основе довольно модной науки - механики разрушения.С его помощью проясняются многие моменты не только из области прочностиинженерных конструкций, но и из совсем других наук, даже таких, как историяи биология.
Досадно, что в сознании многих само представление об энергии было основательнозапутано значением этого слова, употребляемым в обиходе. Подобно слову"напряжение", слово "энергия" часто используется для характеристики человеческогоповедения. Такое словоупотребление имеет весьма слабую связь с обозначениемреальной и точно определенной физической величины, к рассмотрению котороймы сейчас переходим.
В науке под энергией понимается способность совершать работу. Именнос такой величиной, имеющей размерность силы, умноженной на расстояние,мы и будем иметь дело. Так, поднимая груз весом в 5 кг на высоту 2 м, нужносовершить работу в 10 кгм, в результате в грузе будет запасено 10 кгм потенциальнойэнергии. До поры до времени эта энергия "законсервирована" в грузе, но,позволив грузу опуститься, ее можно вновь освободить. Высвобождаемый приэтом запас энергии (10 кгм) может быть на что-то израсходован, напримерна работу часового механизма или на дробление льда на пруду.
Существует множество видов энергии - потенциальная, тепловая, химическая,электрическая и т. д. В нашем материальном мире всякое событие сопровождаетсяпревращением одной формы энергии в другую. Подобные превращения происходятв соответствии с некоторыми строго определенными правилами, главное изкоторых: "нельзя получить что-либо из ничего". Энергия неможет быть создана или уничтожена, так что общее количество энергии, имевшеесядо какого-либо физического процесса, остается тем же и после него. Этотпринцип называется законом сохранения энергии.
Таким образом, энергию можно рассматривать как "универсальную валюту" науки, ичасто наблюдения за ее превращениями, особенно при использованиисоответствующей методики учета, могут быть очень информативными. Но для этогонеобходимы правильно выбранные единицы, а, как этого и следовало ожидать, втрадиционных единицах энергии господствует неразбериха. Инженеры-механикисклонны использовать килограммометры, физики привержены к эргам иэлектрон-вольтам, химикам и диетологам нравится использовать калории, счета загаз приходят в термах[18], а заэлектричество - в киловатт-часах. Все эти единицы, конечно, взаимообратимы и ихможно переводить друг в друга, но в настоящее время лучше пользоваться единицейэнергии системы СИ - джоулем. Джоуль определяет работу, производимую силой в 1ньютон на пути в 1 метр[19].
Несмотря на то что энергию можно измерять достаточно точными методами,для многих осмыслить это понятие оказывается более трудным, чем, например,понятия силы и расстояния. Энергию, как и ветер из стихотворения Стивенсона,мы можем воспринимать лишь через ее проявления. Возможно, именно поэтомупонятие энергии вошло в науку довольно поздно - в современной форме еговвел Томас Юнг в 1807 г. Сохранение энергии стало общепризнанным закономтолько в самом конце XIX в., и только после Эйнштейна и атомной бомбы огромнаяважность энергии как объединяющей концепции и как фундаментальной реальностибыла оценена всеми в достаточной степени.
Существует много способов - химических, тепловых, электрических и т.п. -накопления и сохранения энергии до тех пор, пока она не понадобится. Если мысобираемся использовать для этого механические средства, то можно применитьметод, о котором уже говорилось, - использовать потенциальную энергию поднятогогруза. Однако это довольно примитивный способ, и на практике как в инженерномделе, так и в биологии значительно чаще используется энергия деформации, илиупругая энергия.
Очевидно, что энергию можно запасти в сжатой пружине, однако, как заметилГук, поведение пружин является частным случаем упругости твердого телапри воздействии нагрузки. Таким образом, любое упругое вещество, находящеесяв напряженном состоянии, содержит упругую энергию независимо от того, идетли речь о растягивающем или сжимающем напряжении.
Если выполняется закон Гука, напряжение в материале нарастает от нулядо максимума в момент, когда материал растянут до предела. Упругая энергияна единицу объема представлена заштрихованной площадью под кривой деформирования(рис. 13). Эта площадь составляет1/2 х напряжение х деформация = 1/2 se.
Рис. 13. Упругая энергия = площадь под кривойдеформирования = 1/2 se.
Автомобили, лыжники и кенгуру
Все мы хорошо представляем себе упругую энергию автомобильных рессор.В машине без рессор должны были бы происходить бурные превращения потенциальнойэнергии в кинетическую (энергию движения) и обратно всякий раз, когда колесопроходит ухаб или рытвину. Эти превращения энергии неприятны как пассажирам,так и экипажу. Давным-давно, однако, какой-то гений изобрел рессоры, которыеслужат резервуаром энергии, позволяющим временно запасать изменения потенциальнойэнергии в виде упругой энергии, что смягчает удары при езде и предохраняети экипаж, и пассажиров от "угрозы разрушения". Впоследствии инженеры затратилимного времени и усилий, совершенствуя подвеску автомобиля и проявляя незауряднуюизобретательность. Но автомобили ходят по дорогам, назначение которых -обеспечить гладкую поверхность для движения. Так что подвеска автомобиляслужит только для того, чтобы нейтрализовать небольшие остаточные неровности.Задача же сконструировать подвеску для автомобиля, предназначенного длядвижения с большой скоростью по пересеченной местности, была бы исключительнотрудной. Чтобы справляться с возникающими при таком движении ситуациямии в достаточных количествах запасать энергию, рессоры должны были бы бытьочень большими и тяжелыми и сами по себе содержать столько "неподрессоренноговеса", что вряд ли вся конструкция оказалась бы практичной.
Рассмотрим теперь ситуацию, возникающую при движении лыжника. Несмотря наснежное покрытие, лыжня обычно значительно более бугриста, чем любая нормальнаядорога. Даже если бы можно было создать вдоль лыжни эффективное покрытие,например, из песка, предотвращающее пробуксовку, так что автомобиль мог быдвигаться по нему без скольжения, любая попытка прокатиться по лыжне на машинесо скоростью несущегося с горы лыжника (например, 80 км/ч) кончилась быпечально, поскольку подвеска не смогла бы смягчить тряску. Но как раз с этойзадачей и должно справляться тело лыжника. На самом деле значительную частьсоответствующей энергии, по-видимому, принимают на себя сухожилия ног лыжника,вес которых не превышает и полукилограмма[20]. Такимобразом, если мы собираемся носиться на лыжах без опаски или совершать другиеатлетические подвиги, наши сухожилия должны обладать способностью принимать ивозвращать очень большие количества энергии. Отчасти для этого они ипредназначены.
Приближенные значения способности различных материалов запасать упругуюэнергию приведены в табл. 3. Некоторые сравнения биологических материаловс металлами, возможно, вызовут удивление инженеров, а разница величин,характерных для сухожилий и стали, проливает свет на соответствующие качествалыжников и живых существ вообще. У сухожилия способность запасать энергию,отнесенная к единице массы, примерно в 20 раз больше, чем у современныхпружинных сталей. Хотя лыжники в качестве "устройств" для накопления упругойэнергии эффективнее большинства механизмов, даже тренированный атлет неможет конкурировать с оленем, белкой или обезьяной. Интересно было бы выяснить,какой по сравнению с человеком процент веса этих животных приходится насухожилия.
Таблица 3. Способность твердых тел запасать упругую энергию
Вещество / Рабочая деформация, % / Рабочее напряжение, МН/м2 / Запасаемая упругая энергия 106Дж/м3 /Плотность, кг/м3 / Запасаемая энергия, Дж/кг
Железо древних / 0,03 / 70 / 0,01 / 7800 / 1,3
Современная пружинная сталь / 0,3 / 700 / 1,0 / 7800 / 130
Бронза / 0,3 / 400 / 0,6 / 8700 / 70
Древесина тиса / 0,9 / 120 / 0,5 / 600 / 900
Сухожилие / 8,0 / 70 / 2,8 / 1100 / 2500
Роговая ткань / 4,0 / 90 / 1,8 / 1200 / 1500
Резина / 300 / 7 / 10,0 / 1200 / 8000
Животные, подобные кенгуру, передвигаются прыжками. При каждом приземленииих сухожилия должны запасать упругую энергию и, по свидетельству одногомоего знакомого, австралийского ученого, предельная упругая энергия дляних чрезвычайно высока, хотя точных цифр, к сожалению, я не могу привести.Мне кажется, что если бы понадобилось возродить ходули на пружинах, тов первую очередь следовало бы рассмотреть возможность использования в нихвместо пружин сухожилий кенгуру или других животных. Шасси легких самолетов,рассчитанных на посадку на неровной местности, часто крепятся к корпусус помощью резиновых подвесок, способность которых запасать упругую энергиюмного больше, чем у стальных рессор и даже сухожилий, но срок службы уних гораздо меньше.
Упругая энергия, которая играет столь большую роль в подвесках автомобилей,самолетов и, выражаясь фигурально, животных, влияет на прочность и разрушениевсех видов конструкций. Однако, прежде чем мы перейдем к такому предмету,как механика разрушения, возможно, стоит поговорить еще об одном примененииупругой энергии - ее роли в работе такого оружия, как луки и катапульты.
Луки
...Смотрите, вот лук Одиссеев;
Тот, кто согнет, навязав тетиву, Одиссеев могучий
Лук, чья стрела пролетит через все (их не тронув) двенадцать
Колец, я с тем удалюся из этого милого дома,
Дома семейного, светлого, многобогатого, где я
Счастье нашла, о котором и сонная буду крушиться.
Перевод В.А. Жуковского
Лук - одно из наиболее эффективных приспособлений, способных аккумулироватьмускульную энергию человека. Английские большие луки, которые принесли победупри Креси (1346) и Азенкуре (1415)[21], почти всегда делались из тиса.
Сегодня тисовая древесина не имеет большого промышленного значения,а потому до недавнего времени ей не уделяли внимания в научных исследованиях.Однако мой коллега, д-р Г. Блют, занимающийся изучением оружия прошлыхвеков, установил, что микроскопическое строение древесины тиса (Taxusbaccata) заметно отличается от строения других пород, она представляетсянам наиболее способной запасать упругую энергию. Поэтому тис, вероятно,особенно подходит для изготовления луков.
Вопреки распространенному мнению английские большие луки, как правило,делались не из английского тисового дерева, растущего на церковных кладбищахи в других местах, а из испанского тиса, и по существовавшему в то времязакону каждая ввозимая партия испанского вина должна была сопровождатьсяпартией испанских заготовок для луков.
Как известно, тисовое дерево хорошо произрастает не только в Испании,но и по всему району Средиземноморья. Так, буйные заросли тиса покрываютсегодня руины Помпеев. Однако свидетельств об использовании тисовых луковв Испании и странах Средиземноморья как в древности, так и в Средние векапочти не встречается. Они были приняты почти исключительно в Англии, Франциии отчасти в Германии и Нидерландах. Опустошения, производимые англичанами,обычно доходили до районов Бургундии и вряд ли когда-либо распространялисьюжнее Альп или Пиренеев.
На первый взгляд это может вызвать удивление, но Г. Блют указывает,что у тиса механические свойства древесины ухудшаются с ростом температурыбыстрее, чем у древесины других пород, а потому тисовый лук не может надежнослужить при температуре выше 35°С. Таким образом, его применение в качествеоружия ограничено холодным климатом, и он непригоден в условиях средиземноморскоголета. Поэтому, хотя в странах Средиземноморья тисовое дерево применялосьдля изготовления стрел, оно редко использовалось там для изготовления луков.
Этим объясняется тот факт, что в этих странах получила распространениеконструкция так называемого композиционного лука. Такой лук имел деревяннуюсердцевину, толщина которой составляла около половины толщины лука и котораяподвергалась лишь небольшим напряжениям. К этой сердцевине приклеивалисьвнешний слой из высушенных сухожилий, подвергающийся растяжению, и сделанныйиз рога внутренний слой, подвергающися сжатию. Оба этих материала превосходяттис способностью запасать упругую энергию. Лучше тиса они сохраняли и своимеханические свойства в жаркую погоду - ведь температура животного около37°С. На практике высушенные сухожилия сохраняют свои свойства до температуры55°С, но теряют их в сырую погоду.
Комбинированные луки использовались в Турции и ряде других мест до сравнительнонедавнего времени. Лорд Абердин писал в 1813 г. по пути на Венский конгресс обиспользовании против отступающих по Восточной Европе наполеоновских армийтатарских войсковых частей, вооруженных, по-видимому, подобными луками.Очевидно, комбинированные луки были во многих отношениях лучше английскогобольшого лука, но последний был дешевле и проще в изготовлении. Луки древнихгреков тоже были комбинированными, так что сделать лук Одиссея илиФилоктета[22] требовало незаурядного мастерства.
Упоминание о луке Одиссея заставляет нас вспомнить о покинутой Пенелопе,которая устроила состязание для претендентов на ее руку, предложив им натянутьтетиву одиссеева лука. Как известно, это оказалось не под силу ни одномуиз них, даже изобретательному Эвримаху. "А потом лук взял Эвримах, ион нагрел его со всех сторон в пламени огня, но все равно он не смог натянутьего, и тяжкий стон вырвался из его груди". Но в конце концов в чемсмысл всех усилий и почему поклонники Пенелопы, Одиссей да и вообще лучникине использовали просто более длинную тетиву?
На это имеются весьма веские основания. Возможности передачи упругой энергиилуку от человека ограничены характеристиками человеческого тела. На практикестрелу удается оттянуть примерно на 0,6 м, и даже сильный человек не можетнатягивать тетиву с силой больше 350 Н. Соответствующая энергия мышц составляетпримерно 0,6 м х 350 Н, то есть около 210 Дж. Это максимум того, чем мырасполагаем, и мы хотим как можно большую часть этой энергии запасти в луке ввиде упругой энергии.
Если предположить, что первоначально лук не натянут и его тетива почтипровисает, то в момент, когда стрелок начинает оттягивать стрелу, прикладываемаяим сила почти равна нулю. Она достигнет своего наибольшего возможного значениятолько тогда, когда тетива максимально растянется. Это демонстрирует графикна рис. 14. Энергия, переданная луку, будет в таком случае выражаться площадьютреугольника и не может быть больше половины той энергии, которую мы моглибы затратить, то есть не может превышать 105 Дж.
Рис. 14. Упругая энергия лука = 1/2 x 0,6 x 350 = 105 Дж. Эта диаграмма,как и кривая на рис. 16, конечно, носит схематический характер. Вообще говоря,зависимость между силой и перемещением стрелы нелинейна, но это не меняет сутидела.
Энергия, запасаемая в английском большом луке, на практике немного меньшеэтой величины. Однако Гомер особо отмечает, что лук Одиссея был palintonos,что означает "изогнутый, натянутый назад". Другими словами, лук первоначальнобыл изогнут в направлении, противоположном рабочему, так что для того,чтобы натянуть на него тетиву, приходилось прикладывать большую силу (рис.15).
Рис. 15. Натягивание тетивы на греческий лук (роспись на вазе).
В этом случае, стреляя, лучник начинает натягивать тетиву не от нулевыхзначений напряжения и деформации, так что, подобрав соответствующую конструкциюлука, можно добиться того, чтобы график зависимости силы от растяжения выгляделпримерно так, как показано на рис. 16[23].
Площадь ABCD под таким графиком теперь составляет значительнобольшую долю от располагаемой энергии; эта доля, вероятно, достигает 80%.Поэтому в таком луке запас энергии может составить около 170 Дж. Вполнеочевидно, что это дает большие преимущества стрелку, не говоря уже о выгоде,которую имела Пенелопа.
Рис. 16. Почему луки бывают "изогнутыми назад" (палинтонос). Энергия,запасаемая в луке, теперь дается площадью АВС, что соответствует примерно170 Дж.
В действительности тетива любого лука натянута в большей или меньшейстепени еще до того, как ее начинают растягивать, и, чтобы ее надеть, требуетсяопределенное усилие. Но поскольку английские большие луки - это луки "безхитростей", которые делались из заготовок, отколотых от бревен строевоголеса, а потому почти прямых, влияние этого обстоятельства в данном случаенезначительно. Гораздо проще придать наилучшую исходную форму комбинированнымлукам, именно они обычно имеют характерные очертания "лука Купидона" (рис.17).
Рис. 17. Комбинированный лук в ненатянутом и натянутом состояниях.
Поскольку предельная упругая энергия таких материалов, как роговая тканьи сухожилие, превышает предельно упругую энергию тиса, комбинированныйлук можно сделать более коротким и легким, чем деревянный. Именно поэтомуразмеры английского деревянного лука соответствовали росту человека, асам он получил название большого лука. Комбинированный лук можно сделатьгораздо меньшим, чтобы им могли пользоваться всадники, как это и было упарфян и татар. Парфянский лук был настолько удобен, что позволял всадникустрелять назад в преследователей; очевидно, отсюда и пошло выражение "парфянскаястрела".
Катапульты
Величайший период классической Эллады завершился с падением Афин в 404 г. дон.э., демократический строй в Греции постепенно в течение столетия пришел вупадок и был вытеснен тиранией и военной монархией. Менялись методы ведениявойны как на суше, так и на море, и возникла потребность в более современноммеханизированном оружии. Более того, властители постепенно богатеющихгосударств располагали средствами для оплаты военных расходов.
Начало было положено в греческой Сицилии. Стратег-автократ ДионисийI был, по-видимому, выдающимся человеком, сумевшим от простого военачальникавозвыситься до тирана Сиракуз. За годы его правления, продолжавшегося с405 до 367 г. до н.э., Сицилийская держава стала крупной экономическойи политической силой не только в Западном Средиземноморье, но и во всемэллинском мире. При созданном Дионисием военном ведомстве была основана,вероятно, первая в истории государственная лаборатория, проводившая исследованияв области вооружения. Он пригласил для этого учреждения лучших математикови мастеров со всего греческого мира.
Естественной отправной точкой для специалистов, отобранных Дионисием, явилсятрадиционный комбинированный ручной лук. Установив такой лук на какую-либоопору и оттягивая тетиву посредством механического привода или рычагов, можносделать его значительно жестче, что позволит в несколько раз увеличитьзапасаемую и сообщаемую снаряду энергию. Так, очевидно, подошли к самострелу,снаряды которого способны были пробивать любые доспехи[24].Претерпев лишь небольшие конструктивные изменения, самострелы не вышли изупотребления и до настоящего времени. Говорят, что они применяются сейчас вОльстере. Любопытно, однако, что как оружие самострелы никогда не игралисколько-нибудь решающей военной роли.
Но самострел, в сущности, явился пехотным оружием, направленным противчеловека, так как с его помощью нельзя было наносить серьезные повреждениякорпусам кораблей или фортификационным сооружениям. И хотя сиракузцы, увеличивразмеры самострела и установив его на основание орудийного типа, создаликатапульту, эта линия развития оружия не получила продолжения. По-видимому,определенные технические ограничения не позволяют сделать катапульту типа лукадостаточно мощной, чтобы пробивать бреши в крепостнойкладке[25].
Следующим шагом были поэтому отказ от конструкции типа лука и использование длянакопления упругой энергии скрученных связок сухожилий[26], очень похожих на резинокордные связки,используемые для привода авиационных моделей.
Когда связка таких резиновых лент или сухожилий закручивается, материалсвязки подвергается растяжению, запасая упругую энергию.
Известны самые разные способы использования связок сухожилий в военнойтехнике, однако самой лучшей конструкцией следует признать древнегреческийпалинтонон, который у римлян получил название баллисты. Этоисключительное по смертоносности орудие имело по две вертикальные связкисухожилий, каждая из которых закручивалась с помощью жесткой рукоятки илирычага, напоминающего рукоять ворота (рис. 18).
Рис. 18. Возможно, так выглядела древнегреческая катапульта.
Концы этих рычагов были соединены между собой толстой тетивой, а всеустройство работало подобно луку. Свое название оно получило оттого, чтов положении с ненатянутой тетивой оба ее рычага направлены вперед, каку комбинированного лука без тетивы. Тетива в катапульте натягивается посредствоммощной лебедки подобно натягиванию тетивы лука. Снаряд (чаще всего каменноеядро) после выстрела двигался вперед по направляющим, которые одновременнослужили и станиной лебедки. Лебедка могла развивать усилие, достигавшееста тонн.
Римляне скопировали греческую катапульту, и Витрувий, служивший в войскахЮлия Цезаря, оставил нам руководство по баллистам, которое представляетнемалый интерес. Размеры этих машин позволяли метать снаряды весом от 2до 150 кг. Радиус их действия был примерно 400 м (для всех размеров). Средняякрепостная баллиста римлян, по-видимому, стреляла ядрами весом в 40 кг.
При последней, драматической осаде Карфагена в 146 г. до н. э. римляне,сделав насыпь в неглубокой лагуне, к которой выходила городская стена,установили на ней катапульты и стали из них крушить укрепления. Археологиоткопали на этом месте около 6 тыс. каменных ядер весом по 40 кг каждое.
Хотя Юлий Цезарь и Клавдий использовали корабли с катапультами для нападенияна британские берега, эти метательные машины, по-видимому, никогда не былигрозным оружием в сражениях на море. Скорострельность такой баллисты, котораямогла бы потопить корабль попаданием одного снаряда, была слишком малаи почти не позволяла поразить движущееся судно.
Иногда с помощью катапульты метали горящие снаряды, но на полных народанезатейливых кораблях того времени пожар обычно нетрудно было потушить.В 184 г. до н. э. один изобретательный флотоводец выиграл морское сражение,обрушив на головы противника глиняные горшки с ядовитыми змеями, однакоего примеру, кажется, никто не последовал. В целом катапульты на море неимели успеха.
Однако палинтонон, или баллиста, был весьма эффективным средством ведениясухопутной войны. Его изготовление и эксплуатация были связаны с известнымитрудностями, так что обслуживающий катапульты персонал должен был быть весьмасведущим в своем деле. После того как Римская империя с ее техникой отошла впрошлое, это оружие стало непрактичным и было забыто[27]. В Средние века применениеосадных машин свелось к использованию весовой катапульты, или требюше (рис.19).
Рис. 19. Требюше, или средневековая катапульта,- самое неэффективное из метательных устройств.
В этом устройстве, похожем на маятник, использовалась потенциальная энергияподнятого груза. Даже с помощью большого требюше вряд ли можно было поднятьгруз более тонны (10000 Н) на высоту 3 м. Поэтому наибольшая запасаемаяпотенциальная энергия, вероятно, не намного превосходила 30000 Дж. Такое жеколичество энергии можно запасти в виде упругой энергии в 10-12 кг сухожилий.Поэтому даже большое требюше, вероятно, обладало только одной десятой энергиикатапульты. К тому же, по-видимому, значительно более низкой была эффективностьпередачи энергии. С помощью требюше можно было в лучшем случае причинитьнеприятности путем забрасывания через крепостные стены больших камней; любая жепопытка повредить мощную каменную кладку не имела быуспеха[28].
Принцип действия лука и палинтонона как устройств для передачи энергииодинаков, и пока еще в полной мере не нашла оценки эффективность такогомеханизма обмена энергией. В примитивных устройствах типа требюше значительнаячасть запасенной энергии шла на ускорение тяжелого противовеса и рычагаи в конечном итоге терялась в системе останова или тормозов, которые былинеотъемлемой частью устройства. У лука или палинтонона непосредственнопосле спуска тетивы часть запасенной упругой энергии передается в видекинетической энергии прямо снаряду. Однако большая часть имеющейся энергииидет на ускорение самого лука или рычагов катапульты, где она временнопереходит в кинетическую энергию. Это близко к тому, что происходит в требюше,однако здесь дальнейшие события связаны с замедлением движения самого лука,а не с жестким остановом. По мере того как лук распрямляется, увеличиваетсянатяжение тетивы, что позволяет ей действовать на снаряд с большей силойи таким образом ускорять его движение. Поэтому значительная часть кинетическойэнергии, запасаемой в луке или в рычагах катапульты, передается снаряду(рис. 20).
Рис. 20. Схемы, иллюстрирующие механику палинтоноса, или баллисты.a - машина подготовлена к стрельбе,вся энергия запасена в связках сухожилий;б - начальная стадия: тяжелые рычагиполучают ускорение, отбирая при этом значительную часть энергии сухожилий;в - заключительная стадия: тяжелые рычагизамедляют ход благодаря натяжению тетивы, таким образом их кинетическаяэнергия передается снаряду;г - летящий снаряд получил энергию,первоначально запасенную в системе.
Математическое описание поведения луков и катапульт оказывается сложным,и, даже записав соответствующие уравнения движения, их нельзя решить аналитически.К счастью, однако, один из моих коллег, д-р А. Претлав, заинтересовавшисьэтой проблемой, применил для ее решения ЭВМ. К удивлению, оказалось, чтопроцесс передачи энергии теоретически может иметь 100%-ную эффективность.Другими словами, практически вся упругая энергия, запасенная в устройстве,может быть превращена в кинетическую энергию снаряда. Таким образом, теряется(идет на отдачу и на соударения в системе) только малая часть энергии.В этом отношении луки и катапульты обладают преимуществами перед огнестрельныморужием.
Одно следствие из этих фактов, я думаю, хорошо известно большинствустрелков-лучников. Оно состоит в том, что при стрельбе из лука или катапультыни в коем случае не следует пользоваться несоответствующей стрелой илиснарядом. Такая попытка неминуемо закончится не только поломкой лука, нои травмой, так как в этом случае не существует безопасных каналов освобождениязапасенной упругой энергии.
Эластичность, резильянс и ухабы на дорогах
Корабль взрезает равнину вод,
А ветер мчит вперед,
Наполнив белые паруса,
Красавицы-мачты гнет.
Когда Галилей в 1633 г. в Арцетри приступил к изучению проблем упругости,прежде всего он задался вопросами, какие факторы влияют на прочность веревкиили бруска при растяжении и зависит ли прочность от длины этой веревкиили бруска. Элементарные эксперименты показали, что сила или вес, требуемыедля разрыва однородной веревки при ее статическом растяжении, не зависятот длины этой веревки. Такой же результат, казалось бы, подсказывает издравый смысл, однако и по сей день можно встретить множество людей, глубокоубежденных в том, что длинный кусок веревки "крепче" короткого.
Конечно, дело здесь не в человеческой глупости, а в том, что пониматьпод словом "крепче". Статическая сила, или натяжение, требуемое для разрывадлинной веревки, будет, конечно, той же, что и для разрыва короткой веревки,но общее удлинение большой веревки перед ее разрывом будет значительнееи, чтобы разорвать ее, потребуется большая энергия, хотя разрушающая силаи прочность материала остаются теми же. Рассуждая немного иначе, можносказать, что длинная веревка будет смягчать внезапные рывки, упруго растягиваясьпод действием нагрузки, так что возникающие при этом перегрузки будут уменьшаться.Другими словами, она действует в значительной степени так же, как подвескаавтомобиля.
Таким образом, в тех случаях, когда нагрузка действует рывками, длинная веревкаможет действительно оказаться "крепче" короткой. Именно поэтому экипажи XVIIIв. часто подвешивались к ходовой части на длинных кожаных ремнях, которые лучшекоротких могли противостоять толчкам и ударам на рытвинах тогдашних дорог.Припомните к тому же, что якорные цепи и буксирные канаты стараются делать повозможности длиннее, так как они обычно рвутся не от статической нагрузки, а отрезких толчков. Тем, кто может ночью или в тумане повстречаться в море сбуксируемыми большим сухими доками или буровыми вышками, полезно иметь в виду,что эти сооружения буксируются на стальном тросе длиной почти в милю. Такогорода "морские процессии", занимая огромные участки моря, вселяют ужас вслучайных мореплавателей[29].
Способность запасать упругую энергию и при действии нагрузки отклонятьсяупругим образом без разрушения называется резильянсом и является оченьценным качеством конструкции. Резильянс можно определить как количествоупругой энергии, которое можно запасти в конструкции, не причиняя ей повреждений.
Чтобы добиться высокого резильянса, конечно, не обязательно использоватьочень длинную веревку или проволочный трос. Зачастую удобнее применятьболее короткие конструкционные элементы, такие, как спиральные пружины(в буферах железнодорожных составов) или прокладки из мягких материалов(в качестве отбойных амортизаторов судов), а также материалы с малым модулемЮнга типа пенорезины или пенопласта (для упаковки точной аппаратуры). Всеони могут испытывать большие относительные удлинения и сжатия, а поэтомуспособны запасать большую упругую энергию на единицу объема. Природная"подвеска" лыжников и животных своим совершенством в значительной мереобязана сравнительно низким модулям упругости и большой деформативностисухожилий и других тканей.
С другой стороны, хотя низкая жесткость и высокая растяжимость способствуютпоглощению энергии и поэтому уменьшают возможность разрушения конструкциипри ударе, может оказаться, что обладающая этими качествами конструкциябудет слишком "мягкой" для выполнения своих функций. Такого рода соображенияобычно ограничивают величину резильянса, которым можно снабдить конструкцию.Самолеты, здания, инструменты, оружие должны быть достаточно жесткими,чтобы выполнять свое назначение, поэтому в конструкциях стараются достигнутькомпромисса между жесткостью, прочностью и резильянсом. Здесь-то и долженприложить свое искусство конструктор.
Оптимальные условия могут изменяться не только в зависимости от типаи класса конструкции, но и при переходе в ней от одного элемента к другому.Природа и здесь имеет преимущество, поскольку в ее распоряжении находитсяогромный диапазон упругих свойств различных биологических тканей. Простым,но интересным примером служит обычная паутина. Она подвержена ударным нагрузкам,создаваемым попадающими в нее мухами, и энергия возникающих ударов должнабыть поглощена эластичными нитями. Оказывается, что длинные радиальныенити, на которые падает основная нагрузка, втрое жестче коротких круговыхнитей, назначение которых ограничивается лишь ловлей мух.
Наряду с использованием конструкционных элементов, работающих на растяжение,таких, как веревки или нити паутины, и на сжатие, таких, как буферы железнодорожныхсоставов и отбойные амортизаторы судов, имеется еще и много других способовзапасать упругую энергию и достигать высокого резильянса. Для этих целейможет годиться конструкция любой формы, способная испытывать упругие отклонения.Наиболее распространенными являются устройства, запасающие энергию посредствомизгиба, подобно лукам и величавым корабельным мачтам. Именно так обстоитдело в растениях, деревьях, этот принцип лежит в основе действия большинстватипов автомобильных рессор. Первоклассный меч не сломается, если его изогнутьдугой, коснувшись концом рукоятки, и снова обретет свою первоначальнуюформу.
Упругая энергия как причина разрушения
…обращались назад, как неверный лук.
Достаточно высокий резильянс - качество, существенное для любой конструкции,без него она не могла бы поглощать энергию ударов. С этой точки зрения,чем большим резильянсом обладает конструкция, тем лучше. Столь хитроумныеустройства, как корабли викингов и американский конный кабриолет, обладалиочень большой гибкостью и высоким резильянсом. Если такого рода конструкциичрезвычайно не перегружать, после снятия нагрузки они тут же приходят впервоначальное состояние. Но, естественно, больших перегрузок и они невыдержат.
Далее, чтобы разорвать материал, в нем должна возникнуть трещина. Однако,как мы вскоре увидим, чтобы такая трещина продвинулась на своем пути, необходимозатратить энергию, которую надо где-то взять. Как мы говорили выше, можнобез труда сломать лук, "стреляя" из него без стрелы. При этом запасеннаяв луке упругая энергия не может благополучно высвободиться и перейти вкинетическую энергию стрелы, а потому часть ее идет на образование трещинв материале самого лука. Другими словами, упругая энергия лука его же иломает. Однако сломанный лук - это только частный случай разрушения вообще.
Все упругие вещества, находящиеся под действием нагрузки, содержат большееили меньшее количество упругой энергии, и эта энергия потенциально всегдаможет пойти на процесс разрушения их самих. Другими словами, запасеннаяупругая энергия может пойти на то, чтобы покрыть энергетические затратына распространение трещины в конструкции и, следовательно, на поломку последней.В конструкции с высоким резильянсом может содержаться большая упругая энергия;того же рода энергия, к которой прибегали древние римляне, чтобы пробитьмассивные стены Карфагена, в равной мере годна на то, чтобы сам себя сломалпополам громадный супертанкер.
Согласно современной точке зрения, в том случае, когда материал подвергаетсярастягивающей нагрузке, мы не должны рассматривать его разрушение как результатнепосредственного растяжения химических связей между атомами. Иначе говоря, этоотнюдь не простое следствие, вызванное действием растягивающего напряжения, какможно подумать, начитавшись классическихучебников[30]. Прямымрезультатом увеличения нагрузки, действующей на конструкцию, будет лишьувеличение запаса упругой энергии в материале. Ответ на вопрос, поломается лина самом деле конструкция в любом заданном месте (цена ответа может составить,например, 64 тыс. долларов), зависит от того, может ли упругая энергия перейтив энергию разрушения так, чтобы образовать трещину.
Современную механику разрушения занимает прежде всего не вопрос о нагрузкахи напряжениях, а вопрос о том, как, почему, где и когда упругая энергияможет перейти в энергию разрушения. Конечно, в простых случаях, когда имеютдело с веревками и стержнями, действует классическая концепция критическогоразрушающего напряжения, однако для больших или сложных конструкций, таких,как мосты, пароходы или сосуды высокого давления, она, как мы уже видели,страдает опасным переупрощением. Оказывается, что независимо от того, подвергаетсяли конструкция удару или действию статической нагрузки, разрушение путемразрыва зависит главным образом от следующего:
1) от цены в единицах энергии, которую нужно заплатить, чтобы протолкнутьтрещину;
2) от количества упругой энергии, которым располагает конструкция, готоваязаплатить указанную цену;
3) от размеров и формы наиболее опасных отверстий, трещин или дефектовконструкции.
Тот факт, что величины энергии, необходимые для того, чтобы разрушить материалв любом данном поперечном сечении, для различных твердых тел весьма различны,легко подтвердить, ударив молотком сначала по стеклянной, а потом по консервнойбанке. Количество энергии, требуемое для разрушения материала, отнесенноек поперечному сечению, определяет его вязкость разрушения, или "трещиностойкость",которую в настоящее время чаще называют энергией или работой разрушения.Упомянутое свойство совершенно отлично и независимо от прочности материалана разрыв, которая определяется как напряжение (а не как энергия), требуемоедля разрушения твердого тела. От трещиностойкости, или работы разрушенияматериала, в значительной мере зависит реальная прочность конструкции,особенно если она велика по размерам. А поэтому нам следует немного поговоритьо работе разрушения различных типов твердых тел.
Энергия, или работа, разрушения
Когда твердое тело разрушается при растяжении, должна возникнуть хотябы одна трещина, распространение которой разделяет кусок материала на части.Это означает, что должны образоваться по крайней мере две новые поверхности,не существовавшие ранее, до разрушения тела. Чтобы таким путем произвестив материале разрыв и образовать эти новые поверхности, необходимо разорватьвсе химические связи, до того сцеплявшие между собой поверхности.
Количество энергии, требуемое для разрыва почти всех типов химических связей,хорошо известно (по крайней мере химикам), и оказывается, что для большинстватвердых тел, с которыми мы имеем дело в технике, общие количества энергии,требуемые для разрыва всех связей по любой единичной плоскости в любомпоперечном сечении[31], весьма близки между собой и не сильно отличаются отвеличины 1 Дж/м2.
Если мы имеем дело с материалами, которые носят название хрупких - кним относятся камень, кирпич, стекло и фаянс, - упомянутое количество энергиии есть почти вся та энергия, которую мы должны сообщить телу, чтобы произвестиразрушения. В действительности 1 Дж/м2 - это совсем малое количествоэнергии. Так, согласно самой простой оценке упругая энергия, которую можнозапасти в 1 кг сухожилий, достаточна для того, чтобы "заплатить" за 2500м2 свежей поверхности битого стекла. (Такое действие эквивалентновизиту слона в посудную лавку.) Вот почему каменщик раскалывает кирпичточно пополам всего лишь легким ударом мастерка, а чтобы разбить тарелкуили бокал, достаточно малейшей неловкости.
Хрупкие материалы по возможности не используются там, где они могутподвергнуться действию растяжений. Эти материалы являются хрупкими в первуюочередь не потому, что имеют низкую прочность на разрыв,- это означалобы, что для их разрушения требуется небольшая сила, - а потому, что дляих разрушения требуется только небольшая энергия.
Технические и биологические материалы, которые используются в условияхрастяжения и в этом смысле являются относительно безопасными, для образованияновой поверхности при разрушении требуют значительно большей энергии. Другимисловами, работа разрушения для них значительно (несравненно!) больше, чемв случае хрупких твердых тел. Для практически вязкого трещиностойкого материалавеличина работы разрушения обычно лежит в пределах 103-106Дж/м2. Поэтому энергия, требуемая для разрушения сварочногожелеза или мягкой стали, может быть в миллион раз больше энергии, требуемойдля разрушения в таком же поперечном сечении стекла или керамики, хотявеличины статической прочности на разрыв этих материалов не сильно различаются.Поэтому таблица значений прочности на разрыв, подобная табл. 2, в случаеесли ее используют для выбора какого-то конкретного материала, может дезинформироватьконструктора. По этой же причине классическая теория упругости, основаннаяглавным образом на силах и напряжениях, которая старательно разрабатываласьв течение столетий - и еще более старательно преподавалась студентам, -сама по себе не может правильно предсказывать разрушение реальных материалови конструкций.
Таблица 4. Приближенные величины работы разрушения и прочности при растяжениинекоторых распространенных материалов
Вещество / Приближенное значение работы разрушения Дж/м2 /Приближенное (номинальное) значение прочности на разрыв МН/м2
Стекло, керамика / 1-10 / 170
Цемент, кирпич, камень / 3-40 / 4
Полиэфирные и эпоксидные смолы / 100 / 50
Нейлон, полиэтилен / 103 / 150-160
Кость, зубная ткань / 103 / 200
Дерево / 104 / 100
Мягкая сталь / 105 - 106 / 400
Высокопрочная сталь / 104 / 1000
Хотя в деталях механизм поглощения столь огромных количеств энергиив виде работы разрушения в вязких трещиностойких материалах часто являетсятонким и сложным, общий принцип его действия весьма прост. В хрупком твердомтеле работа, производимая в процессе разрушения, на самом деле сводитсяк той работе, которая необходима, чтобы разорвать химические связи на возникающейв процессе разрушения новой поверхности или в ее непосредственной окрестности.Как мы уже видели, соответствующая энергия мала и составляет около 1 Дж/м2В трещиностойком материале, несмотря на то что прочность и энергия каждойиндивидуальной связи остаются теми же, изменения структуры материала впроцессе разрушения распространяются на гораздо большую глубину. Практическиэти изменения вполне могут распространяться на глубину свыше сантиметра,то есть на глубину, измеряемую 50 млн. атомов под видимой поверхностьюразрушения. Поэтому если в процессе нагружения разорвется только одна межатомнаясвязь, то энергия, требуемая для образования новой поверхности, увеличитсяв миллионы раз, что, как мы видели, и имеет место в действительности. Молекулы,находящиеся вдали от поверхности разрушения, способны, таким образом, поглощатьэнергию и вносить свой вклад в сопротивление разрушению.
Высокие значения работы разрушения мягких металлов обязаны в первую очередьпластичности этих материалов. Это означает, что при их растяжении криваядеформирования отклоняется от закона Гука при совсем небольших напряжениях,после чего материал начинает деформироваться пластически, подобно пластилину(рис. 21). Если стержень или лист из такого металла разрушается в результатерастяжения, то, перед тем как произойдет разрыв, материал вытягивается словнопатока или жевательная резинка. На концах в месте разрыва образец принимаетконическую форму и выглядит примерно так, как показано на рис. 22. Такую формуразрушения часто называют шейкообразованием.
Рис. 21. Кривая деформирования для пластичного металла (мягкая сталь).Заштрихованная область представляет работу разрушения металла.
Рис. 22. Работа разрушения пропорциональна объему пластичсскидеформированного металла (заштрихованная область) и поэтому, грубо говоря,пропорциональна t2. Работа разрушения тонкого листа может быть оченьмалой. а - металлическая плита большой тощины, б - тонкий металлическиилист.
Шейкообразование и другие подобные формы пластического разрушения возможныпотому, что многие из бесчисленных слоев атомов в кристаллах металла способныскользить относительно друг друга. Дислокационный механизм этого скольженияне только обеспечивает взаимное проскальзывание слоев подобно картам вколоде, но и поглощает энергию, и весьма большую. Результатом всех этихсдвигов, скольжений и смещений в кристаллах является то, что металл обретаетспособность значительного формоизменения и поглощения упругой энергии.
Дислокационный механизм скольжения[32], постулированный первоначально Дж.Тейлором в 1934 г., был предметом интенсивных научных исследований в течениепоследних 30 лет. Он оказался исключительно тонким и сложным. Процессы,происходящие в столь, казалось бы, простой вещи, как кусок металла, оказалисьне менее хитроумными, чем большинство процессов в живых биологических тканях.Забавно, что этот хитроумный механизм, вероятно, не конструировался с какой-тоопределенной целью. Природа сама не может, так сказать, извлекать из негопользу, поскольку в своих конструкциях она никогда не использует металлы,которые и в самородках-то встречаются весьма редко. Однако дислокации вметаллах оказались чрезвычайно полезными для инженеров, можно сказать, что онибыли изобретены для их пользы, поскольку именно благодаря дислокациям металлыне только обладают трещиностойкостью, но и допускают ковку, обработку давлениеми одновременно упрочение.
А вот у искусственно созданных пластиков и волокнистых композитов способыпоглощения упругой энергии при разрушении иные. Механизм их совершенно отличенот механизма поглощения металлов, но достаточно эффективен. У биологическихматериалов также, по-видимому, имеются весьма совершенные механизмы получениябольших величин энергии разрушения, которые работают весьма изощренным образом.Способ, реализующийся, например, в древесине, исключительно эффективен, иработа разрушения дерева, взятая на единицу веса, больше, чем для большинствасортов стали[33].
Продолжим теперь обсуждение вопроса о том, как упругая энергия в эластичнойконструкции умудряется перейти в работу разрушения. Если угодно, в чемже действительная причина разрушения?
Гриффитс, или как жить в мире трещин и концентрации напряжений
Пускай их сколько угодно с бортов по волнам валяет, все лучше, чем с этойтрещиной на поверхности баллера отведать килевой качки.
Как было сказано в начале этой главы, все реальные конструкции имеюттрещины, царапины, отверстия и другие дефекты. Корабли, мосты, самолетыподвержены разнообразным случайным воздействиям, которые приводят к зазубринами надрезам, и мы должны научиться сосуществовать с ними, обеспечивая наибольшуювозможную безопасность, хотя, согласно Инглису, для многих из таких дефектовлокальные напряжения могут заметно превосходить справочные данные о прочностиматериала. Объяснение того, почему и как можно, вообще говоря, жить в окруженииконструкций, несущих столь высокие напряжения, без катастроф, было выдвинутоГриффитсом (1893-1963) в статье, опубликованной в 1920 г., как раз через25 лет после прекрасного рассказа Киплинга о трещине. Поскольку в 1920г. Гриффитс был никому не известным молодым человеком, на эту статью никтоне обратил внимания. Во всяком случае, энергетический (несиловой) подходГриффитса ко всей проблеме разрушения в то время да и в течение многихпоследующих лет был не только новым, но и совершенно чуждым самому духуинженерного мышления. Даже сегодня очень многие инженеры на самом делене понимают, в чем состоит суть теории Гриффитса.
Сказанное Гриффитсом состоит в следующем. Инглисова концентрация напряженийс энергетической точки зрения является просто механизмом (чем-то вродезастежки-молнии) для превращения упругой энергии в энергию разрушения,подобно тому как электромотор является механизмом для превращения электрическойэнергии в механическую работу, а консервный нож является механизмом дляиспользования мышечной энергии. Ни один из этих механизмов не будет работать,если не подводить к нему бесперебойно нужного рода энергию. Чтобы раздвинутьатомы материала, недостаточно одной только концентрации напряжений, а необходимеще подвод упругой энергии. Если подвод упругой энергии прекращается, останавливаетсяи процесс разрушения.
Рассмотрим теперь образец из упругого материала, который сначала растянули,а затем закрепили его концы таким образом, чтобы он не мог больше ни получать,ни отдавать механическую энергию. Таким образом создалась механическаясистема, содержащая определенное количество упругой энергии. Если в этомрастянутом материале начнет распространяться трещина, то требуемая работаразрушения должна быть полностью "оплачена" по энергетическому счету. Еслидля простоты мы примем, что наш образец является пластинкой материала единичнойтолщины, то требуемая энергия должна составить WL, где W- работа разрушения (на единицу площади), a L - длина трещины.Заметим, что речь здесь идет об "энергетическом долге", о том, что по энергетическомусчету должно быть занесено в дебет, хотя никакого кредита в действительностиполучено не было. Дебет линейно возрастает с ростом длины трещины L.
Эта энергия должна быть немедленно изыскана во внутренних ресурсах,и, поскольку мы имеем дело с замкнутой системой, она может быть полученатолько за счет уменьшения упругой энергии внутри системы. Другими словами,где-то внутри образца должно уменьшиться напряжение. Такая ситуация возможна,поскольку берега трещины под действием напряжения немного разойдутся, аэто немедленно приведет к уменьшению напряжения вблизи ее поверхности (рис.23). Грубо говоря, две треугольные области, затененные на рисунке, и отдадутупругую энергию. Можно ожидать, что эти области с ростом длины трещиныL будут в основном сохранять свои пропорции и поэтому ихплощадь будет расти как квадрат длины трещины, то есть как L2.Следовательно, количество высвобождающейся упругой энергии будет растикак L2.
Рис. 23.а - недеформированный образец; б - образец растянут, и его концыжестко закреплены; система не может ни получать, ни отдавать энергию; в - врастянутый образец внесена трещина. Напряжение в затененных областяхуменьшается, и они отдают упругую энергию, которая может теперь пойти надальнейшее распространение трещины.
Таким образом, суть принципа Гриффитса определяется тем, что, в то времякак энергетический долг растет линейно с длиной трещины L,энергетический кредит растет как квадрат длины трещины L2.Следствия этого изображены на рис. 24. Линия ОА представляетэнергию, требуемую для образования новой поверхности растущей трещины,и это - прямая линия. Линия OВ представляет энергию, освобождаемуюв системе при достижении трещиной данной длины, и это - парабола. Общийбаланс энергии, являющийся алгебраической суммой двух упомянутых энергий,представляется линией ОС.
Рис. 24. Высвобождение энергии по Гриффитсу, или почему предметыразлетаются на куски.
До точки Х на графике система в целом должна поглощать энергию; послеточки Х энергия начинает выделяться из системы. Отсюда следует, чтосуществует некоторая критическая длина трещины, которую мы будем обозначатьLg и которая называется критической длиной трещины по Гриффитсу.Трещины, длина которых меньше Lg, не представляют опасности, они немогут расти сами по себе. Трещины же, имеющие длину больше Lg, растут"сами по себе" и поэтому весьма опасны[34]. Такие трещины чем дальше, тем быстреераспространяются по материалу и неизбежно ведут к "взрывному" (сопровождаемомушумом) разрушению. Конструкция заканчивает свое существование не с тихимвсхлипом, а с грохотом и в большинстве случаев идет на свалку.
Наиболее важное следствие из всего сказанного состоит в том, что дажеесли локальное напряжение на концах трещин очень велико (даже если ономного больше, чем зарегистрированная в справочнике прочность материала),до тех пор пока в конструкции нет трещины или другого отверстия, длинакоторого превышает критическую длину Lg, конструкциябезопасна и не разрушается. Именно это свойство позволяет нам не падатьдухом и не тревожиться слишком сильно по поводу инглисовой концентрациинапряжений. Именно по этой причине отверстия, трещины и царапины представляютопасность ровно настолько, насколько они ее представляют на самом деле.
Вычислить величину Lg оказывается гораздо проще,чем можно было бы ожидать. Хотя математика, использованная Гриффитсом,не внушает особого доверия, результат вычислений обезоруживает своей простотой- можно сказать, что он блистательно прост. Оказывается, чтоLg= 1/p x (работа разрушения на единицу поверхности трещины / упругаяэнергия в единице объема материала) а это можно выразить как Lg=2WE/ps2 где W - работа разрушения в Дж/м2, Е- модуль Юнга в Н/м2, s - среднее напряжение растяжения в материале вблизи трещины, не учитывающее концентраций напряжении, в Н/м2,Lg - критическая длина трещины в м.[35]
Таким образом, предельная длина безопасной трещины зависит просто отвеличины отношения работы разрушения к упругой энергии, запасенной в материале.Эту длину можно рассматривать как обратно пропорциональную резильянсу.Вообще говоря, чем выше резильянс, тем меньше длина трещин, с которымиеще можно мириться. Это еще один пример двух качеств, одновременно не достижимыхполностью.
Как мы видели выше, в резине можно запасти много упругой энергии. Однакоработа разрушения для нее очень мала, а потому и критическая длина трещиныLg для растянутой резины тоже весьма невеликаи обычно составляет доли миллиметра. Поэтому, когда мы протыкаем булавкойнадутый воздушный шар, он взрывается с оглушительным шумом. Таким образом,хотя резина весьма эластична и ее можно сильно растянуть без разрушения,когда она все же разрушается, то происходит это "хрупким" образом, примернотак же, как у стекла.
Примером того, каким образом можно одновременно достичь и эластичности,и трещиностойкости, служат такие вещи, как одежда, плетеные корзины, деревянныекорабли и конные экипажи. Все эти вещи содержат более или менее свободныеи гибкие соединения, так что энергия расходуется на трение, о чем свидетельствуютих шуршание и скрип. Однако, хотя плетеные изгороди и птичьи гнезда оченьхорошо противостоят внешним нагрузкам, принцип их создания почти не используетсясовременными инженерами. (Одно из исключений составляют автомобильные покрышки,где в резину для борьбы с ее чрезмерной хрупкостью добавляется специальныйкорд.)
Из приведенной выше формулы видно, что длина Lgбыстро уменьшается с ростом напряжения s. Поэтому, если мыхотим, чтобы при сравнительно высоких напряжениях оставались безопаснымидостаточно длинные трещины, следует использовать материалы, для которыхвелики работа разрушения W и жесткость, то есть модуль Юнга,Е. Именно этим объясняются столь широкое использование мягкойстали и ее значение не только в экономике, но и в политике; будучи весьмадешевой, она характеризуется как большой работой разрушения, так и высокойжесткостью.
Как мы увидим дальше, при использовании формулы Гриффитса возникаетмного подводных камней, поэтому мы не должны рассматривать ее как какое-тодарованное свыше решение всех проблем конструирования, но в то же времяона проясняет некоторые проблемы конструирования, которым ранее не находилиобъяснения и которые были окружены предрассудками.
Например, вместо того чтобы, не утруждая себя, использовать совершеннофиктивные коэффициенты запаса прочности, сегодня мы можем попытаться спроектироватьконструкцию, которая не будет разрушаться при наличии трещин заданной длины.Выбранная длина трещин будет зависеть от размеров конструкции, а такжеот возможных условий ее работы и контроля за ней. Если речь идет о возможныхжертвах при разрушении конструкции, то вполне очевидна необходимость сделатьтак, чтобы безопасная трещина была настолько велика, дабы в пятницу послеобеда ее и при плохом освещении разглядел скучающий и бестолковый контролер.
В действительно больших конструкциях, таких, как корабли или мосты,хотелось бы, чтобы и трещины длиной в 1-2 м не представляли опасности.Предположим, что мы ориентируемся на безопасную трещину длиной 1 м. Тогдадаже при столь умеренном допущении, что работа разрушения стали составляет105 Дж/м2, мы найдем, что такая трещина будет устойчивойвплоть до напряжений в 110 МН/м2 (11 кгс/мм2). Ноесли мы захотим большей безопаности и будем ориентироваться на трещинудлиной 2 м, допустимое напряжение придется уменьшить до 80 МНм2(8 кгс/мм2).
На самом деле 80 МН/м2 - это как раз тот уровень напряжения,на который рассчитывают при проектировании крупных конструкций, и для мягкойстали это напряжение соответствует коэффициенту запаса прочности, лежащемумежду 5 и 6, и поэтому оно вполне приемлемо. Посмотрим, как все это работаетна. практике. Из 4694 судов, проходивших в доке обычную проверку, у 1289,то есть более чем у четверти, были обнаружены серьезные трещины в корпусе,после чего, конечно, были предприняты необходимые меры по ремонту. Числоже судов, которые, если бы не принятые меры, действительно разломилисьв море пополам, было все же много меньшим и составляло весьма малую долюот общего их количества. Одно такое судно пришлось примерно на каждые пятьсоткораблей. Если бы при конструировании этих судов были предусмотрены болеевысокие напряжения или их корпуса были изготовлены из более хрупкого материала,то в большинстве случаев трещины не были бы обнаружены до самого моментакатастрофы.
Следуя доктрине Гриффитса в ее чистом виде, мы обнаружим, что трещиныменьше критической длины вообще не могут распространяться, а посколькулюбая трещина начинает свое существование с весьма малых размеров, то ивообще ничто никогда на разрушается. В действительности же, конечно, помногим веским причинам, которые составляют компетенцию металлургов и материаловедов,трещины до критической длины все же могут расти (см. гл. 14). Существенно,что, как правило, это происходит очень медленно, так что имеется достаточновремени для того, чтобы обнаружить эти трещины и что-то предпринять.
К несчастью, бывают и исключения. Профессор Дж.Ф.К. Конн, до недавнеговремени занимавшийся в Глазго строительной механикой корабля, рассказалмне историю, как на крупном грузовом судне кок, прийдя как-то утром накамбуз готовить завтрак, обнаружил большую трещину посреди пола. Кок послалза старшим стюардом, который пришел, посмотрел на трещину и послал за старшимпомощником капитана. Старший помощник пришел, посмотрел на трещину и послалза капитаном. Капитан пришел, посмотрел на трещину и сказал: "А, ничегострашного, дайте-ка мне позавтракать!"
Но у кока был явно научный склад ума и, разделавшись с завтраком, ондостал краски, пометил концы трещины и поставил возле отметки дату. Черезнекоторое время корабль попал в непогоду и трещина удлинилась на несколькодюймов. Тогда кок нанес новую отметку и поставил новую дату. Он проделалэто со всей добросовестностью еще несколько раз.
Когда судно в конце концов потерпело аварию, именно на той половине,которую удалось спасти и отбуксировать в порт, оказались отметки кока,которые, по мнению профессора Конна, служат самыми достоверными из всехсвидетельств о процессе роста больших трещин докритической длины.
"Мягкая" сталь и "высокопрочная" сталь
Если конструкция не выдерживает нагрузок или имеются опасения относительноее прочности, то естественное внутреннее чувство подсказывает инженеру,что надо использовать "более прочный" материал; если речь идет о стали,то это будет высокопрочная сталь. Для больших конструкций это, вообще говоря,ошибочное решение, поскольку ясно, что даже в случае мягкой стали ее прочностьиспользуется далеко не полностью. Это происходит потому, что, как мы ужевидели, разрушение конструкции может определяться не прочностью, а хрупкостьюматериала.
Хотя измеряемые величины работы разрушения зависят от способа, которымпроизводится соответствующее испытание, и здесь трудно получить однозначныйрезультат, все же можно сказать, что трещиностойкость большинства металловс ростом прочности несомненно уменьшается. На рис. 25 в качестве примерапоказано соотношение между этими двумя величинами в углеродистых сталяхпри комнатной температуре.
Рис. 25. Приближенное соотношение между прочностью и работой разрушения длянекоторых простых углеродистых сталей. (По В.Д. Бигсу)
Легко (и это не очень дорого) вдвое увеличить прочность мягкой стали путемповышения содержания углерода. Однако, если мы сделаем это, величина работыразрушения может уменьшиться раз в 15. В той же пропорции уменьшится икритическая длина трещины, то есть она при том же напряжении уменьшитсяот 1 м до 6 см. Если, однако, мы повысили вдвое и рабочее напряжение, токритическая длина трещины уменьшится в 15х22 = 60 раз. Такимобразом, если критическая длина трещины первоначально была 1 м, теперьона составит 1,5 см, что было бы весьма опасно для большой конструкции.
Для конструктивных элементов малых размеров, таких, как болт или коленчатыйвал, положение иное, здесь не имеет смысла ориентироваться на трещины метровойдлины. Если мы хотим, чтобы допустимая предельная длина трещины равнялась,например, 1 см, то рабочее напряжение, при котором такая трещина остаетсябезопасной, может достигать почти 280 МН/м2 и в этом случаестоит применить высокопрочный материал. Таким образом, одно из следствийтеории Гриффитса состоит в том, что в целом высокопрочные материалы и большиерабочие напряжения более безопасно применять в малых конструкциях, чемв больших. Чем больше конструкция, тем меньше напряжение, приемлемое сточки зрения безопасности. Это один из факторов, накладывающих ограниченияна размеры судов и мостов.
Соотношение между работой разрушения и прочностью, подобное показанномуна рис. 25, почти справедливо и для обычных углеродистых сталей. Можнодобиться лучшего соотношения между прочностью и трещиностойкостью, еслииспользовать легированные стали, то есть стали с присадками других элементови уменьшенным содержанием углерода, но эти стали слишком дороги для примененияв крупногабаритных конструкциях. В связи с этим около 98% всей выпускаемойстали - это "мягкая" сталь, другими словами, мягкий, или пластичный, металлс прочностью около 40-50 кгс/мм2 (около 450 МН/м2).
О хрупкости костей
Вы - мальчишки, вы - девчонки,
Ваши кости хрупки, тонки.
Чтоб расти и ввысь стремиться.
Вам не следует беситься.
Конечно, кости детей отнюдь не хрупки[36], и Стивенсон писал очаровательныйвздор. Кости развиваются из эмбрионального коллагена, или хрящевого вещества,прочного и вязкого, но не очень жесткого (его модуль Юнга около 600 МН/м2).По мере развития плода коллаген укрепляется тонкими неорганическими нитями,называемыми остеонами. Они образованы главным образом из извести и фосфора иимеют химическую формулу типа ЗСа3(РО4)2 х Са(ОН)2. В результате этогопроцесса армирования костей их модуль Юнга увеличивается примерно в 30 раз идостигает значения около 20000 МН/м2. Однако проходит значительное времяпосле рождения, прежде чем наши кости полностью насыщаются кальцием. Дети,естественно, более уязвимы в отношении механических травм, но в целом их кости,по-видимому, более эластичны и менее хрупки, чем кости взрослых, в чем можноубедиться на любом лыжном склоне.
Однако все кости относительно хрупки по сравнению с мягкими тканями,а работа разрушения их, надо думать, меньше, чем работа разрушения дерева.Хрупкость костей ограничивает перегрузки, которым могут подвергать себякрупные животные. Как уже говорилось в связи с судами и машинами, гриффитсовакритическая длина трещины является абсолютной, а не относительной величиной.Другими словами, она одна и та же и для мыши, и для слона, как одни и теже для всех животных прочность и жесткость костей.
Исходя из этого, можно заключить, что наибольший размер животного, которыйеще можно считать не представляющим особой опасности для его существования,лежит где-то вблизи размера человека или размера льва. Мышь, или кошка,или здоровый человек могут без вреда для себя спрыгнуть со стола, однакосомнительно, чтобы это мог сделать слон. И в самом деле, слоны должны бытьочень осторожными; слон, который скачет или перепрыгивает через изгородьподобно овцам или собакам, - зрелище, весьма редкое. Особенно крупные животные,подобные китам, приспособлены к существованию только в море. Интересенпример с лощадьми. Дикие предки современной лошади были небольшими и, вероятно,не слишком часто ломали ноги. Но впоследствии человек вывел достаточнокрупных лошадей, которые могли бы без устали работать на него, и эти несчастныесоздания постоянно ломают себе ноги.
Известно, что люди преклонного возраста особенно подвержены костнымпереломам, обычно это приписывается прогрессирующей с возрастом хрупкостикостей. Последнее обстоятельство, несомненно, играет определенную роль,однако оно не всегда является определяющим фактором. Насколько мне известно,достоверных данных об изменении работы разрушения костей с возрастом неимеется, но, поскольку прочность костей за период между 25 и 75 годамиуменьшается только примерно на 22%, не похоже, чтобы резко уменьшаласьработа разрушения. Профессор Дж.П. Пол из университета Страйсклайда говорилмне, что результаты его исследований указывают как на более важную причинутаких переломов на прогрессирующую потерю нервами контроля за натяжениеммышц. Так, внезапный испуг может вызвать мышечное сокращение, достаточноедля того, чтобы сломать, например, шейку бедра, даже если пациент не получилникакого удара извне. В таком случае человек, естественно, падает на землю(а, возможно, кроме того, и ударяется о какой-либо предмет), и в результатепричиной перелома ошибочно считают падение, а не мышечный спазм. Говорят,что у некоторых африканских оленей подобные переломы задних ног случаютсяпри виде льва.