Ни одно единичное предсказание такого рода, основанное на вероятности, не может подтвердить или опровергнуть теорию, но множество успешных статистических прогнозов способно придать нашей уверенности больший вес.
Идея заманчива, но есть серьёзные основания подвергнуть такую логику сомнению. Не забывайте, что Ландшафт – это всего лишь пространство возможностей. Если бы мы были фишиками, то могли бы аналогичным образом размышлять о ландшафте всевозможных планет, рассчитывая найти среди них любые варианты, допускаемые Законами Физики, например планеты, ядро которых состоит из чистого золота. Уравнения физики допускают существование как золотых, так и железных шаров.[110] Следуя такой логике, фишики могли бы прийти к выводу, что вероятность, что их планета имеет железное ядро,[111] точно такая же, как вероятность, что она имеет золотое ядро, но это очевидная ошибка.
В действительно мы хотим знать не количество возможных видов планет, а количество реально существующих планет каждого вида. Для этого нам нужны нечто большее, чем абстрактный подсчёт возможностей. Мы должны знать, как и в каких пропорциях синтезируются железо и золото в термоядерных процессах, происходящих в недрах звёзд.
Железо является наиболее стабильным из всех химических элементов. Среди всех атомных ядер труднее всего выбить протон или нейтрон из ядра железа. Следовательно, процессы термоядерного синтеза, идущие в недрах звёзд, будут приводить к синтезу гелия из водорода, затем лития, бериллия, бора, углерода и более тяжёлых элементов, вплоть до железа. В результате железо окажется наиболее распространённым во Вселенной химическим элементом по отношению к более тяжёлым, к которым относится и золото. Именно поэтому железо относительно дёшево, а золото стоит более тысячи долларов за унцию. Золото значительно более редкий элемент, чем железо. Почти все планеты земной группы должны иметь железное ядро, а не золотое. По сравнению с вероятностью обнаружить планету с железным ядром вероятность обнаружить планету с золотым ядром стремится к нулю. Поэтому нам нужно научиться считать актуальности, а не возможности.
При подсчёте карманных вселенных мы должны руководствоваться той же логикой, которую использовали при подсчёте планет. И тут мы встречаемся с ужасной проблемой вечной инфляции. Из-за своей вечности вечная инфляция, по крайней мере, как мы её понимаем, производит бесконечное количество карманов и, соответственно, бесконечное разнообразие карманных вселенных. Это приводит нас к старой математической проблеме: как сравнить две бесконечности.
Какая из бесконечностей больше и насколько?
Проблема сравнения бесконечных чисел восходит к работам Георга Кантора, который в конце XIX века задался вопросом: как сравнить два множества, каждое из которых содержит бесконечное количество элементов? Для начала разберёмся, как мы сравниваем обычные числа. Представим, что у нас есть куча яблок и куча апельсинов. Очевидный ответ состоит в том, что нужно просто взять и пересчитать количество фруктов в каждой куче, но поскольку мы хотим знать всего лишь, какая куча больше, мы можем воспользоваться более простым способом, который даже не требует от нас умения считать. Выложим яблоки в одну линию, затем выложим рядом с ними апельсины так, чтобы рядом с каждым яблоком лежал апельсин. Если какие-то яблоки остались лишними, значит, яблок больше, чем апельсинов. Если остались лишние апельсины, значит, апельсинов больше, чем яблок. Если каждому яблоку соответствует ровно один апельсин, значит, количества яблок и апельсинов одинаковы.
Кантор утверждал, что то же самое можно проделать и с бесконечными (он назвал их трансфинитными) множествами. Возьмём для примера множество чётных и множество нечётных натуральных чисел. Каждое из них содержит бесконечное количество элементов, но какое из этих бесконечных чисел больше? Запишем элементы этих множеств один под другим и посмотрим, сумеем ли мы расположить их так, чтобы каждому чётному числу соответствовало одно нечётное. Математики называют это взаимно однозначным соответствием.
Обратите внимание, что эти два списка в конечном итоге должны содержать все чётные и все нечётные числа. Кроме того, они в точности совпадут поэлементно, на основании чего Кантор пришёл к выводу, что количество чётных чисел равно количеству нечётных, несмотря на то что оба множества бесконечны.
А что можно сказать про общее количество натуральных чисел? На первый взгляд кажется, что общее количество натуральных чисел вдвое больше, чем количество чётных. Но Кантор категорически не согласился с таким выводом. Множество чётных чисел может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел.
Согласно математической теории бесконечных чисел, которую построил Кантор, количество чётных чисел является точно таким же, как и количество всех натуральных чисел! Более того, множество чисел, кратных 10, – 10, 20, 30, 40 и т. д. – это бесконечное множество точно такого же размера, как и множество натуральных чисел. Натуральные числа, чётные или нечётные числа, числа, которые делятся на десять, – это всё примеры того, что математики называют бесконечными счётными множествами,[112] и все они имеют один и тот же размер.
Давайте проведём с бесконечными числами мысленный эксперимент. Представьте себе бесконечный мешок, в котором лежат все натуральные числа, записанные на клочках бумаги. Сначала тщательно потрясём мешок, чтобы все бумажки как следует перемешались. Теперь засунем в него руку и вытащим одну бумажку. Какова вероятность того, что записанное на бумажке число будет чётным?
Напрашивающийся ответ: 50 процентов. Поскольку половина чисел в мешке чётные, то и вероятность вытащить чётное число должна быть равна одной второй. Но мы не можем проделать такой эксперимент в реальном мире, потому что никто не может сделать бесконечный мешок для натуральных чисел. Для проверки теории мы можем прибегнуть к небольшой хитрости и использовать конечный мешок, содержащий, скажем, первую тысячу натуральных чисел. Если мы повторим эксперимент много раз, то обнаружим, что вероятность вытянуть чётное число действительно близка к одной второй. Затем мы можем провести этот же эксперимент с мешком, в котором находятся первые десять тысяч натуральных чисел. И опять мы обнаружим, что вероятность вытащить чётное число равна одной второй. Проводя эксперимент с первыми 100 000 натуральных чисел, с первым миллионом натуральных чисел, с первым миллиардом и т. д., мы каждый раз будем получать вероятность, равную одной второй. Разумно экстраполировать результат нашего эксперимента на бесконечное количество натуральных чисел и предположить, что вероятность по-прежнему останется равной одной второй.
Но погодите. Мы можем изменить содержимое мешка следующим образом. Положим в первом эксперименте в мешок одну тысячу первых чётных чисел и две тысячи первых нечётных. Теперь нечётных чисел в мешке вдвое больше, чем чётных, и вероятность вытащить чётное число равна одной третьей. Повторим эксперимент с первыми 10 000 чётных и первыми 20 000 нечётных чисел и снова получим вероятность, равную одной третьей. Как и в предыдущем эксперименте, мы можем экстраполировать этот результат на бесконечное количество чисел и прийти к выводу, что искомая вероятность равна одной третьей. На самом деле, изменяя условия эксперимента, мы можем получить любое значение вероятности.
Вечно раздувающаяся Вселенная – это бесконечный мешок, только наполненный не клочками бумажек с числами, а карманными вселенными. Это мешок, в котором любой наперёд заданный вариант вселенной – любая долина Ландшафта – содержится бесконечно счётное количество раз. Не существует очевидного математического способа сравнить количество экземпляров одного вида карманной вселенной с количеством другого и объявить, что один вариант является более вероятным, чем другой. Следствие из этого факта представляется очень тревожным: похоже, что нет способа определить относительную распространённость различных антропно-приемлемых вакуумов.
Проблема меры (мерой в космологии называется относительная частота встречаемости различных вакуумов) сильно беспокоит многих великих космологов, в частности Виленкина и Линде. Она может оказаться ахиллесовой пятой вечной инфляции. С одной стороны, очень трудно понять, как избежать вечной инфляции в какой-нибудь теории, содержащей интересный ландшафт. С другой стороны, не менее трудно понять, как использовать получившуюся теорию для предсказания чего бы то ни было в традиционном научном смысле.
В прошлом физика уже сталкивалась с многочисленными проблемами, связанными с бесконечными числами: с ультрафиолетовой катастрофой, успешно предотвращённой Максом Планком, или с расходимостями в первых вариантах квантовой теории поля. Даже проблемы чёрных дыр, из-за которых спорили Хокинг и ‘т Хоофт, тоже связаны с бесконечностью. Согласно расчётам Хокинга, горизонт чёрной дыры способен безвозвратно поглотить бесконечное количество информации. Всё это были глубокие проблемы трансфинитных или бесконечных чисел. И в каждом случае приходилось находить новые физические принципы, прежде чем мог быть достигнут какой-либо прогресс. В случае Планка это была квантовая механика, а именно открытие Эйнштейном того, что свет состоит из квантов. Бесконечные числа, досаждавшие квантовой теории поля, были побеждены только после открытия Кеннетом Вильсоном принципа перенормировки. История с чёрными дырами продолжается до сих пор, но контуры решения задачи уже намечены в виде голографического принципа. В каждом случае оказывалось, что классические методы расчёта завышали количество степеней свободы, которыми описывается мир.
Я считаю, что проблема меры также потребует новых крупных идей, прежде чем мы сможем понять, как делать предсказания относительно Ландшафта. Если бы меня попросили сделать какие-либо предположения, я бы сказал, что тут должно иметь место что-то типа голографического принципа и что информация, находящаяся за границами нашего горизонта, содержится в реликтовом излучении в нашем собственном кармане. Но если бы я был противником населённого ландшафта, я бы избрал целью моей атаки именно эту концептуальную проблему вечной инфляции.