Кажется, что природа использует преимущество простоты математического представления законов симметрии. Чувство глубочайшего уважения к мощи законов симметрии никогда не ослабевает у того, кто обдумывал изящество и красоту безупречных математических доказательств и сопоставлял это со сложными и далеко идущими физическими следствиями.
Но хотя симметрии скрыты от нас, мы можем чувствовать, что они присутствуют в природе, управляя всем вокруг нас. Эта самая потрясающая мысль среди мне известных – Природа гораздо проще, чем она выглядит.
Начиная с XX в. симметрия все больше господствует в наших лучших представлениях о фундаментальных законах Природы. Так говорят мастера. Заключительные части нашей медитации, которые ведут нас к переднему краю неведомого и за его пределы, чествуют великие триумфы симметрии и сулят еще большие успехи.
Изменение без изменений. Какая странная, нечеловеческая мантра для существа из мира, каким его создал Бог! Тем не менее сама ее оторванность от жизни дает возможность развить наше, одаренное богатым воображением видение так, чтобы ее мудрость стала нашей собственной.
Наш Вопрос требует поиска красоты в основе физического мира. Чтобы решить эту сложную и интереснейшую задачу, мы должны действовать в двух направлениях. По мере того, как мы расширяем наше понимание реальности, мы должны также расширять и наше чувство прекрасного. Ведь красота глубочайших замыслов Природы, которую мы должны найти, так же необычна, как ее необычность прекрасна.
Поэтому, пока мы будем докапываться до глубинных корней физического мира, у нас будет несколько пауз с обсуждением вопросов симметрии – легких интерлюдий, открывающих особую форму красоты: симметрию, развивающуюся и набирающую силу.
Путешествие с Галилеем
Для начала нам пойдет на пользу присоединиться к Галилею в его воображаемом путешествии.
Запритесь с каким-нибудь другом в главной рубке под палубой какого-нибудь корабля. Запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас там также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд… Если вы захотите что-нибудь перебросить своему другу, вам не надо будет делать более сильный бросок в одном направлении по сравнению с другим, и расстояние будет одинаково. Если вы прыгнете, сложив ноги вместе, вы переместитесь на одно и то же расстояние в любом направлении. Когда вы внимательно пронаблюдаете за всеми этими явлениями (хотя они несомненны: когда корабль не движется, все должно происходить именно таким образом), заставьте корабль двигаться с малой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно.
Причина этого в том, что корабль передает свое движение всем предметам, находящимся внутри него, в том числе и воздуху. Именно поэтому я сказал, что вы должны находиться под палубой, потому что, если вы разместитесь на ней на открытом воздухе, который не следует курсу корабля, вы заметите более или менее заметные отличия в этих явлениях[54].
Галилей здесь борется, несомненно, с самым большим психологическим барьером на пути к принятию астрономии Коперника. Коперник заставил Землю (и все, что находится на ней) быстро двигаться, делая суточное вращение вокруг своей оси и годичное обращение вокруг Солнца. Скорости этих движений по меркам каждодневной жизни были огромными. Для вращения – чуть больше 1000 миль или 1600 километров в час. Для обращения – чуть больше 67 000 миль или 108 000 километров в час. Но мы вообще не чувствуем, что движемся, тем более – так быстро!
Галилей отвечал, что неизменное движение – т. е. движение с постоянной скоростью по прямой – неощутимо, потому что не изменяет ни одного аспекта в физическом поведении. И в замкнутой системе – такой, как каюта корабля Галилея или космический корабль Земля, – для тех, кто находится внутри, движение с постоянной скоростью, какой бы большой она ни была, ощущается точно так же, как отсутствие движения вообще. (Конечно, вращение и обращение Земли является круговым, а не прямолинейным, но эти окружности так велики, что даже на длинных отрезках они все еще похожи на прямые.)
Наблюдение Галилея легко выразить как симметрию. Мы изменяем мир – или его большую часть, такую как внутренний объем большого корабля, – двигая все с общей скоростью, при этом не меняя поведение вещей.
Такой вид трансформации в честь Галилея называется преобразованием Галилея. Соответственно мы назовем предложенную им симметрию симметрией Галилея или галилеевой инвариантностью.
Согласно симметрии Галилея, мы можем изменить состояние движения Вселенной, придав ей постоянную общую скорость – так сказать, дав ей пинок, – не изменив при этом физических законов, которым она подчиняется. Преобразования Галилея двигают физический мир с постоянной скоростью, и симметрия утверждает, что содержание физических законов от такой трансформации не меняется.
Квантовая красота I: Музыка сфер
Классическая наука Ньютона и Максвелла внесла в нашу медитацию новые темы, которые, казалось бы, находятся в противоречии с более ранним видением и предсказаниями Пифагора и Платона, с которых мы начали. Но в квантовом мире атомов, странном мире, в котором, так получилось, мы тоже обитаем, происходит чудо. Старые идеи воскресают к жизни, одевшись в новые роскошные формы. В своих возрожденных формах эти идеи достигают новых уровней точности, истинности и, что удивительно, музыкальности.
Вот как новое включает в себя старое:
• Из сути строения материи – музыка. Не было никакой логической причины ожидать, что математика, разработанная для понимания музыки, должна иметь что-то общее с атомной физикой. Тем не менее оказалось, что одни и те же понятия и уравнения управляют обоими царствами. Атомы – это музыкальные инструменты, и свет, который они испускают, делает их звучание видимым.
• Из прекрасных законов – прекрасные объекты. Основные законы не постулируют существование атомов. Атомы появляются как следствие из них и при этом – как прекрасные объекты (см. вклейку СС). Описанные математически физические атомы – это трехмерные объекты, которые под влиянием одухотворенного таланта художника порождают образы исключительной красоты.
• Из динамики – постоянство. Основные законы – это уравнения, описывающие, как окружающий нас мир меняется во времени. Но у этих уравнений есть некоторые важные решения, которые не меняются во времени. Эти решения, и только они, описывают атомы, из которых состоит наш повседневный мир и мы сами.
• От непрерывности – к дискретности. Волновые функции, которые описывают электроны в атомах, – это поля вероятности (распределения вероятностей), которые наполняют пространство. Они непрерывны и напоминают облака. Но устойчивые формы облаков различимы по отдельности и несут на себе отметины Чисел.
Назад к Пифагору
Во время зарождения современной квантовой теории, конечно, никакого учебника по ней еще не было. Так называемые практики, жаждущие воспользоваться новой атомной теорией, вместо учебника обратились к другому предмету – книге лорда Рэлея «Теория звука». Именно там они нашли математику, необходимую для описания того, как работают атомы. Она была разработана ранее – для описания работы музыкальных инструментов! Хотя символы здесь обозначают другие вещи, в сущности появляются те же самые уравнения, для решения которых используются те же самые приемы. Пифагор был бы доволен.
Система йоги музыкальных инструментов
Физика музыкальных инструментов есть физика стоячих волн. Стоячие волны – это волны, существующие в конечных объектах или в ограниченном пространстве. Так, колебания струн музыкальных инструментов или звуковых дек и резонаторов в них – это стоячие волны, которые должны быть противопоставлены бегущим волнам. Например, когда мы говорим о звуковых волнах, мы обычно имеем в виду бегущие волны, которые распространяются или разбегаются от источника. Колебания крышки рояля, являющиеся стоячими волнами, толкают окружающий воздух в разные стороны. Движение части воздуха оказывает давление на другие части воздуха вокруг, которые оказывают давление на следующий слой воздуха, и т. д. В результате возникает возмущение, живущее своей собственной жизнью.
Стоячие волны – это вид движения, который вы создаете в налитой в ванну воду, когда шлепаете по ней или который наблюдается в колебаниях гонга или камертона после того, как их задели. В каждом из этих случаев – в шлепке по воде в ванне, ударе по гонгу или камертону – после шумного старта движение будет стабилизироваться, пока не станет регулярным в пространстве и периодическим по времени. В этом состоит суть камертона: он «хочет» вибрировать с определенной частотой и, таким образом, производит верный чистый звук. Обычный гонг производит более сложную и интересную комбинацию звуковых тонов. Мы скоро вернемся к этому вопросу.
Мы можем осветить йогу музыкальных инструментов более ясно, рассмотрев предельно простой инструмент, который на самом деле является пифагоровым, – туго натянутую струну, зажатую с двух концов (илл. 24). В простой одномерной геометрии отрезка конечной длины мы можем с первого взгляда отыскать естественный образец стоячей волны.
На иллюстрации сплошные и пунктирные линии показывают форму струны в различные моменты времени, демонстрируя четыре различных состояния стоячей волны (амплитуда, т. е. размер отклонения струны от средней линии, на иллюстрации сильно преувеличена, чтобы можно было ясно видеть саму волну). В промежуточные моменты точки на струне перемещаются вверх и вниз; составленная из них сплошная линия последовательно переходит в пунктирную, и наоборот, циклически.
Простые требования геометрии привносят целые числа и дискретность в описание этих непрерывных по сути фигур. Последние должны умещаться на длине струны! Идя сверху вниз и сравнивая картины, мы видим, что темпы изменений при движении вдоль струны слева направо отличаются по скорости в два, три, четыре раза.
Можно получить естественные колебания, которые соответствуют трем циклам, или двум, или четырем, или любому целому числу, но ничего между целыми числами быть не может. В результате естественные частоты нашего инструмента дискретны или, как мы говорим, квантованы.
Илл. 24. В простой одномерной геометрии отрезков конечной длины мы можем с первого взгляда отыскать естественные образцы стоячей волны. Они должны умещаться на длине отрезка! Эти простые геометрические правила требуют целых чисел и дискретности в описании поведения непрерывного объекта.
В отличие от ставшей притчей во языцех сферической коровы[55], наш пифагоров музыкальный инструмент не так оторван от реальности. Куда важнее, что урок, который мы извлекли из этого простого инструмента, – о том, что геометрические ограничения для конечных объектов ведут к дискретности (квантованию) их естественных форм колебаний и, следовательно, их естественных частот, – является идеально всеобъемлющим. Как мы вскоре увидим, в квантовой механике этот урок становится стержнем атомной физики.
Естественные колебания и резонансные частоты
Вы также можете получить стоячие волны деки гитары, когда дергаете ее струну, или квадратной пластины, когда ударяете по ней (илл. 25), причем волны можно сделать видимыми. Основная идея остается той же, что и та, которую мы обсуждали в случае с закрепленной струной. Стоячая волна – это движение вверх-вниз, которое в одних местах выше (или, на нашем жаргоне, имеет большую амплитуду), чем в других. Существуют линии, вдоль которых отклонение исчезает и движение отсутствует. Точки этих линий называются узлами, а сами линии – узловыми линиями. Если вы насыплете на пластину немного песка, то он соберется вдоль узловых линий – именно это вы видите на рисунке.
Для этих двумерных вибраторов[56] геометрия оказывается сложнее, чем для одной струны. Это отражается в формах собственных колебаний, которые становятся более сложными.
В этих примерах для того, чтобы выделить тот или иной простой рисунок колебаний, а не смешивать несколько, мы вводим силы, которые регулярно повторяют свое действие, или, как мы говорим, периодичны по времени. Гитара позволяет нам сделать это, щипая струны, – именно для этого ее струны и предназначены! В зависимости от того, насколько быстро происходят колебания возбуждающих сил (иначе говоря, в зависимости от их частот), будет доминировать тот или иной рисунок колебаний.
Для каждого собственного колебания картина повторяется во времени. Силы, которые каждый движущийся участок струны, дерева или металла передает на соседние участки, отличаются друг от друга для разных рисунков колебаний. Скорость, с которой все изменяется, также своя для каждого из них. Те рисунки, что очень быстро изменяются в пространстве, имеют свойство порождать большие силы и, следовательно, более быстрое движение с более высокой частотой. Каждый рисунок собственных колебаний происходит со своей собственной частотой.
Эта собственная частота также называется резонансной частотой, и вот почему. Если частота возбуждающей силы близка к собственной частоте какого-то режима колебаний, этот режим непременно возникнет, проявляя себя возрастанием амплитуды колебаний. Тогда и только тогда, когда внешняя возбуждающая сила цикл за циклом совпадает по направлению с внутренними силами, нарастает и амплитуда колебаний. Любой, кто хоть раз ритмично выпрямлял ноги и тело, чтобы раскачать качели, или качал на них ребенка, знает, как это важно.
Илл. 25. Рисунки вибрации, или стоячих волн гитарной деки, создают геометрические фигуры, которые отражают взаимодействие между формой и профилем дерева и частотой порождающей колебания струны
Когда вы ударяете по камертону или гонгу, колебания расходятся кругами от точки удара, затем отражаются от краев и возвращаются, как эхо. Сложные движения быстро отдают свою энергию в бегущие звуковые волны и тепло, оставляя одну (для камертона) или несколько (для гонга) относительно долго живущих стоячих волн, каждая из которых колеблется с резонансной частотой. Именно их вы слышите как однотонный звук или медленно меняющееся созвучие после шумного начала. Гонги создают меняющиеся созвучия, постепенно теряющие свою сложность и переходящие в звук на одной ноте, потому что в них могут существовать несколько долго живущих рисунков стоячих волн, которые угасают в разном темпе.
Рисунки колебаний, или стоячих волн гитарной деки, создают геометрические фигуры, которые отражают взаимосвязь между формой и профилем дерева и частотой возбуждающих колебаний струны, как показано на илл. 25. Похожие рисунки стоячих волн на квадратных вибрирующих пластинах (внизу) более симметричны. Эти узоры имеют разительное сходство с формами электронных облаков (илл. 26). Сходство между определяющими их уравнениями абсолютно, и это еще больше потрясает.
Упущенная возможность
Очень жаль, что пифагорейцы не продолжили свои открытия с вибрирующими струнами и не рассмотрели «инструменты» на шаг сложнее, подобные нашим двумерным пластинам. Там скрывалось чудесное взаимное влияние геометрии, движения и музыки, простирающееся намного дальше простых правил струн и воспринимаемое с наслаждением ухом, глазом и разумом. Пифагорейцы тогда бы устроили бал.
Также они открыли бы путь к основным законам механики, более простой и доступный по сравнению с трудным путешествием через астрономию, который в конце концов привел к этим законам, но лишь века спустя. И, как мы скоро увидим, они проложили бы роскошную дорогу к квантовой теории.