Успех Бора оставил теоретикам проблему объяснения его постулатов «от достигнутого». Его модель обеспечила описание атомов в виде «черного ящика», где говорится, «что» они делают, но не говорится «как». Набрасывая ответ на неизвестный вопрос, Бор положил начало великой игре «Jeopardy!» («Рискуй!»)[61] Физики должны были теперь найти те уравнения, для которых модель Бора являлась решением.
После героических битв, после продолжавшихся больше десяти лет усилий и споров ответ был найден. Он устоял до сего дня, и его корни уходят так глубоко, что, кажется, его никто и никогда не сумеет оспорить.
Что такое квантовая теория?
При описании поведения вещества в атомном и субатомном масштабе выяснилось, что требуется не только добавлять новое к тому, что было известно раньше, но также создавать полностью отличающийся понятийный аппарат, в котором многие идеи, считавшиеся незыблемыми, подлежали пересмотру. Такой аппарат, получивший известность как квантовая теория или квантовая механика, был по большей части готов к концу 1930-х гг. С этого времени наши методы решения математических задач, которые ставила квантовая теория, значительно улучшились, и мы добились гораздо более детального и глубокого понимания основных сил Природы, как мы увидим в следующих главах. Но это развитие происходило уже внутри рамок квантовой теории.
Многие физические теории можно описать как достаточно конкретные утверждения о физическом мире. Специальная теория относительности, например, – это в основе своей двойное утверждение галилеевой симметрии вместе с постоянством скорости света.
Квантовая теория, как она понимается в настоящее время, не похожа на такие теории. Квантовая теория – это не конкретная гипотеза, а сеть тесно переплетенных идей. Я не имею в виду, что квантовая теория расплывчата – это не так. За редкими и обычно временными исключениями все, кто сведущ в применении квантовой механики, при столкновении с любой конкретной физической задачей соглашаются по поводу того, как следует подходить к этой задаче, используя квантовую теорию. Но очень немногие, если такие вообще есть, могли бы сказать точно, какие допущения они сделали, чтобы получить ответ. Достижение согласия с квантовой теорией – это процесс, при котором работа сама учит вас, как ее делать.
Давайте же начнем.
Волновые функции, облака вероятности и дополнительность
В квантовом описании мира фундаментальными объектами являются не частицы, занимающие определенные места в пространстве, и не флюиды Фарадея и Максвелла, но волновые функции. Ответ на любой состоятельный физический вопрос о физической системе может быть найден через ее волновую функцию. Но связь между вопросом и ответом не является прямой. И способ, которым волновые функции отвечают на вопросы, и ответы, которые они дают, имеют удивительные – если не сказать странные – черты.
Здесь я сосредоточусь на особом виде волновых функций, которые нужны, чтобы описать атом водорода и открыть его музыкальность. (Более подробную информацию вы можете найти в разделе «Термины», в особенности в статьях «Квантовая теория» и «Волновая функция».)
Итак, нас интересует волновая функция, которая описывает единственный электрон, привязанный электрическими силами к крошечному, но гораздо более тяжелому протону.
Прежде чем говорить о волновой функции электрона, хорошо было бы описать его облако вероятности, которое тесно связано с волновой функцией. Его легче понять, чем саму волновую функцию, и его физический смысл более очевиден, но оно менее фундаментально. (Эти пророчества наполнятся содержанием прямо сейчас.)
В классической механике частицы в каждый заданный момент времени занимают какие-то определенные положения в пространстве. В квантовой механике описание положения частицы весьма отлично от классического. Частица не занимает определенного положения в каждый конкретный момент времени; вместо этого ей ставится в соответствие облако вероятности, которое распространяется на все пространство. Форма облака вероятности может со временем меняться, хотя в некоторых очень важных случаях этого не происходит, как мы вскоре увидим.
Название подсказывает, что мы можем представить себе облако вероятности как протяженный объект, имеющий некоторую неотрицательную (положительную или нулевую) плотность в каждой точке. Плотность облака в точке представляет относительную вероятность того, что частица будет обнаружена в этой точке. Таким образом, частица скорее будет обнаружена там, где плотность ее облака вероятности высока, и едва ли будет найдена там, где плотность облака низкая.
Квантовая механика не дает простых уравнений для облаков вероятности. Однако облака вероятности вычисляются из волновых функций.
Волновая функция отдельной частицы, как и ее облако вероятности, задает определенную амплитуду для всех возможных положений частицы. Другими словами, она определяет число для каждой точки в пространстве. Амплитуда волновой функции – это комплексное число, таким образом, волновая функция – это задание комплексного числа в каждой точке пространства[62].
Чтобы задать правильные вопросы, мы должны провести особые эксперименты, которые различными способами исследуют волновую функцию. Например, мы можем поставить эксперименты, определяющие положение частицы, или эксперименты, определяющие ее импульс. Эти эксперименты дают ответы на следующие вопросы: «Где частица?», «Как быстро она движется?».
Как волновая функция отвечает на эти вопросы? Вначале проводится некоторая обработка, а потом вам выдаются шансы в виде чисел.
Для вопроса о положении обработка достаточно проста. Мы берем значение (или амплитуду) волновой функции – напомню, комплексное число – и возводим его модуль в квадрат. Вычисление дает нам для каждого возможного положения положительное число или нуль. Это число и является плотностью вероятности обнаружить частицу на этом месте, как мы уже говорили.
Для вопроса об импульсе обработка значительно более сложна, и я не буду пытаться описать ее в деталях. Чтобы найти вероятность наблюдать какой-либо импульс, вы должны вначале получить средневзвешенное значение волновой функции – каким именно способом это будет сделано, зависит от того, какой именно импульс вас интересует, – а затем возвести модуль этого значения в квадрат.
Ответы на эти вопросы требуют различных способов обработки волновой функции, которые оказываются взаимно несовместимыми. Согласно квантовой теории, невозможно ответить на оба вопроса одновременно. Вы не можете это сделать, хотя каждый вопрос сам по себе является полностью законным и имеет содержательный ответ. Если бы кто-нибудь понял, как это сделать экспериментально, он бы опроверг квантовую теорию, потому что последняя утверждает, что это невозможно. Эйнштейн неоднократно пытался придумать эксперименты такого рода, но ни разу не достиг успеха и в конце концов признал поражение.
Итак, три основных момента:
• Вы получаете вероятности, а не определенные ответы.
• Вы не получаете доступ к самой волновой функции, а только можете украдкой посмотреть на ее обработанные варианты.
• Ответы на разные вопросы могут потребовать обработки волновой функции различными способами.
Каждый из этих моментов поднимает фундаментальные вопросы.
Первый поднимает вопрос о детерминизме. Действительно ли расчет вероятностей – это лучшее, что мы можем сделать?
Второй поднимает вопрос о множественности миров. Что описывает полная волновая функция, когда мы не пытаемся ее изучать, даже косвенно? Представляет ли она огромное расширение реальности – или является просто мыслительным инструментом, не более реальным, чем сон?
Третий поднимает вопрос о дополнительности. Чтобы отвечать на различные вопросы, мы должны обрабатывать информацию разными способами. В приведенном и других важных примерах эти методы обработки оказываются взаимоисключающими. Таким образом, ни один подход, каким бы мудрым он ни был, не может обеспечить ответы на все возможные вопросы. Чтобы увидеть реальность во всей полноте, мы должны рассматривать ее с разных точек зрения. Таков философский принцип дополнительности. Это урок смирения, который преподносит нам квантовая теория. Например, у нас есть принцип неопределенности Гейзенберга: вы не можете измерить и положение, и импульс частицы в одно и то же время. Теоретически это следует из математики волновых функций. Экспериментально он возникает потому, что измерения требуют активного воздействия на измеряемый объект. Исследовать означает взаимодействовать, а взаимодействие – это потенциальное возмущение.
Каждый из этих вопросов увлекателен, и первые два привлекли большое внимание ученых. Однако мне кажется особенно состоятельным и значительным именно третий вопрос. Дополнительность – это одновременно характеристика физической реальности и урок мудрости, к которому мы должны возвращаться.
Стационарные состояния как собственные колебания
Уравнение, которое описывает, как волновая функция электрона меняется во времени, называется уравнением Шрёдингера. Если рассматривать это уравнение как часть математики, то оно близко связано с уравнениями, которые мы используем для описания музыкальных инструментов.
Атом водорода, рассматриваемый как музыкальный инструмент, выглядит как трехмерный гонг, который является жестким на внешней стороне – далеко от протона, – но который легче привести в движение вблизи от середины. Это означает, что «вибрации» нашего инструмента, сила которых зашифрована в амплитуде волновой функции, будут иметь тенденцию сфокусироваться в середине. Волновая функция также будет стремиться сконцентрироваться в середине и, конечно, то же самое произойдет со связанным с ней облаком вероятности. Таково строгое квантово-механическое описание явления, в обиходе формулируемого как «протон притягивает электрон»!
Теперь мы готовы понять, как современная квантовая механика, основанная на волновых функциях и уравнении Шрёдингера, одновременно схватывает и передает «наивысшую музыкальность» Бора.
Самый важный шаг в понимании того, как действует любой музыкальный инструмент с физической точки зрения, – это понимание его естественных колебаний. Они соответствуют его «нотам», т. е. рисункам колебаний, которые инструмент может поддерживать на протяжении значительного времени и которые легко извлечь (сыграть).
Поскольку уравнение Шрёдингера для электрона в атоме очень похоже на уравнение колебаний музыкального инструмента, мы должны рассмотреть его решения, которые выглядят подобно естественным колебаниям. И оказывается, что естественные колебания волновой функции означают нечто совершенно простое и замечательное по отношению к облаку вероятности – а именно, что оно не меняется совсем!
(Опишем это более подробно, используя комплексные числа. Когда мы говорим о вибрирующей струне, как на илл. 24, колеблется, т. е. меняется со временем, только положение элементов струны. Для волновой функции меняется только набор комплексных чисел, которые она присваивает различным точкам пространства. При естественных колебаниях изменение является простым: амплитуды комплексных чисел остаются одними и теми же, но меняются их фазы, причем все на одну и ту же величину. В результате квадраты модулей амплитуд, которые и проявляются в облаке вероятности, не меняются вообще.)
Эти естественные колебания волновой функции, которые соответствуют не меняющимся облакам вероятности, имеют как раз такие свойства, которых Бор ожидал от своих «стационарных состояний». Электрон будет сохраняться в любом режиме колебаний из этого набора, и ни один другой их вид не имеет этого свойства. Более того, можно рассчитать энергию, присущую этим естественным колебаниям, и окажется, что она совпадает с энергией «разрешенных орбит» Бора.
Давайте посмотрим на какое-нибудь из этих стационарных состояний. На илл. 26 изображены их облака вероятности. Во всех случаях протон находится в центре и то, на что вы смотрите, является двумерной проекцией трехмерного облака. Яркость облака обозначает его величину как математической функции, т. е., скорее всего, электрон в любом из своих состояний будет обнаружен там, где облако ярче. Более компактные облака соответствуют стационарным состояниям с более низкой энергией.
Илл. 26. Каждое изображение – это моментальный снимок облака вероятности электрона атома водорода в том или ином стационарном состоянии. Электрон скорее всего будет обнаружен там, где облако ярче. В каждом случае в центре облака находится единственный протон. (Те же самые формы орбит имеют и электроны других атомов, таких как углерод.)
Чтобы оценить по достоинству сами волновые функции в отличие от получаемых из них облаков вероятности, требуется как следует постараться, но и результаты получаются более богатые. На вклейке CC мы видим только одно из стационарных состояний. Изображенные поверхности – это поверхности, где амплитуда волновой функции имеет постоянное значение. Они показаны в разрезе, так что вы можете видеть, что у них внутри. Цвета обозначают фазу волновой функции как комплексного числа. Вы должны воспринимать эту иллюстрацию как моментальный снимок. С течением времени цвета изменяются циклически. Воистину атомы – психоделичны!
Современная квантовая теория, несмотря на свою большую сложность, дает ошеломляющие преимущества по сравнению с пионерской моделью Бора:
• В современной квантовой теории переходы между стационарными состояниями происходят как логическое следствие из уравнений. Физически они вырастают из взаимодействия между электронами и электромагнитным флюидом. Поскольку это взаимодействие достаточно слабо по сравнению с основными электрическими силами, которые связывают электроны, у нас часто хорошо получается рассматривать его как поправку, отталкиваясь от стационарного состояния как от начальной точки. При таком отношении мы не считаем эти переходы настоящими скачками, хотя они происходят достаточно быстро.
• Правило Бора, определяющее «разрешенные» орбиты, было четко сформулировано только для единичных электронов. За годы «игры в Jeopardy», примерно с 1913 по 1925 г., было много попыток угадать правила для более сложных ситуаций. Но когда Шрёдингер (а ранее – Гейзенберг) придумал свои уравнения, они оказались настолько превосходящими прошлые подходы и даже настолько «очевидно правильными», что более или менее сразу были приняты как консенсус и быстро развились в современную квантовую теорию. И, судя по ее ошеломляющему и все еще продолжающемуся успеху, Природе, кажется, тоже нравится квантовая теория.
• Квантовая теория более музыкальна!
Процесс, который заменяет квантовые скачки, особенно интересен. В нем электрон порождает электромагнитную энергию в форме фотона там, где изначально не было ничего. Это происходит, когда электрон встречает спонтанную активность в электромагнитном флюиде и, передавая часть своей энергии, усиливает эту активность. При этом электрон переходит в состояние с более низкой энергией, виртуальный фотон становится настоящим фотоном и возникает Свет.
Холодная, строгая и блистательная
Прежде чем двигаться дальше, я хотел бы остановиться на секунду для короткого спора с героем моей юности Бертраном Расселом, который писал:
Математика при правильном взгляде на нее владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, без всякого обращения к какой-либо части нашей слабой природы, без блистательных нарядов живописи или музыки, но совершенно чистой и способной к неумолимому совершенству, какое может продемонстрировать только величайшее из искусств.
Я не могу полностью согласиться с этим утверждением, но я думаю, что его пуританский тон сбивает с толку (и слышать его от Рассела очень странно). Холодная и строгая красота может быть чудесной, но роскошные наряды тоже могут быть прекрасны. Они дополняют друг друга. Уравнение Шрёдингера холодно и строго. Но в то же время из него получается то, что изображено на вклейке СС!
Атомы ручной работы
В последние годы границы атомной физики раздвинулись от наблюдения к контролю и созиданию. Ученики Мастера закончили обучение и сами стали мастерами.
На одном из рубежей атомные инженеры нашли способы отлавливать и изолировать отдельные атомы. Это позволило ясно взглянуть на основные квантовые процессы. Например, можно наблюдать за неожиданными изменениями состояния, которые происходят, когда отдельный атом излучает или поглощает свет, и видеть «квантовые скачки» Бора в реальном времени. Атомные инженеры также могут манипулировать такими атомами, помещать их в электрические или магнитные поля или облучать светом. Это дает возможности тончайшего контроля. Отдельные атомы – это чудесный материал для инженерного искусства, потому что они фактически свободны от трения и их свойства могут быть настроены (при использовании полей) и с достаточной надежностью предсказуемы (с помощью теории). Например, это лучшие в мире часы. В настоящее время лучшие атомные часы идут с максимальным отставанием примерно в одну секунду за миллиард лет.
Другой передний край – это создание новых видов атомов. Квантовые точки – это искусственные структуры, основанные на тех же принципах, что и естественные атомы, но изготовленные «по техническим условиям», заданным человеком. По существу, это новые виды музыкальных инструментов, разработанные для работы не со звуком, а со светом. В самой своей основе квантовые точки состоят из небольшого количества электронов, изолированных в небольшом пространстве, где они попадают в ловушки искусно созданных электрических полей. Квантовые точки обладают огромными возможностями для создания детекторов и генераторов света. Это может оказаться очень полезным для расширения цветового восприятия, как мы обсуждали ранее, и во множестве других приложений.
Пионеры атомной физики и не мечтали об управлении отдельными атомами, не говоря уж о создании искусственных. В их ранних работах можно даже найти положения, отрицающие возможность квантовой инженерии. Бор, в частности, подчеркивал разницу между полностью доступным «классическим миром» и отличным от него «квантовым миром», который можно наблюдать (немногими способами!), но не перестраивать. Но их исследования, движимые изначально поиском красоты и простым любопытством, породили великолепные и бесконечно многообещающие новые технологии.
Это поучительно.
Многие виды наград вручаются людям за ощутимые, реальные заслуги. Эти награды принимают формы жалованья, прибыли, социального статуса и т. д. Но все накопленное богатство фундаментальной науки и искусства часто проистекает из усилий, чья непосредственная ценность заметна не сразу. Даже в случаях, когда некий прорыв очевидным образом важен, могут потребоваться годы работы, прежде чем он принесет какую-либо экономическую выгоду. Польза от него может полностью лежать в сфере культуры и никогда не стать экономической в обычном смысле этого слова. Люди, которые работают над накоплением этого особого вида богатства, посвящают свой труд долговременному вложению в улучшение жизни человечества в целом. Кто из твердолобых бизнесменов или потребителей готов заплатить за это? И все же история учит нас, что такое вложение в будущее и всеобщее благо приносит свои плоды. Мудрое общество поощряет возможности совершать подобное.