Динамические законы – это законы, которые определяют, как величины меняются во времени. Динамические законы формулируются в виде динамических уравнений.
Пример: Второй закон движения Ньютона определяет ускорение тел, которое показывает, как их скорости меняются со временем.
Контрпример: Законы сохранения, напротив, констатируют, что величины не меняются со временем.
Основные законы нашей Главной теории являются динамическими законами, но они подразумевают законы сохранения для нескольких особых величин.
Второй контрпример: в Главной теории существует некоторое число так называемых свободных параметров. Это величины, участвующие в уравнениях, чьи значения не фиксированы никаким общим принципом, но скорее берутся из эксперимента. Они молчаливо считаются постоянными во времени.
Возможный контрпример: основная идея физики аксионов состоит в том, что один из этих параметров, так называемый параметр θ, подчиняется динамическому уравнению более общей теории. В этой более общей теории «случайность» того, что наблюдаемое значение θ очень мало, становится следствием решения динамического уравнения. В целом можно надеяться, что другие свободные параметры Главной теории будут когда-нибудь определены из решений динамических уравнений в рамках более фундаментальных теорий.
(См. также начальные условия.)
Волны, которые повторяются или, как мы говорим, периодически изменяются в пространстве, особенно важны – одновременно потому, что они возникают естественным путем, и потому, что они предоставляют нам основные элементы, из которых мы можем воссоздать более сложные волновые движения, в духе Анализа и Синтеза. Чистые музыкальные тона среди звуковых волн и чистые спектральные цвета для случая электромагнитных волн являются периодическими в пространстве, так же как и во времени. (См. Тон, чистый тон.)
Расстояние между повторениями в простой волне называют ее длиной волны. Таким образом, длина волны играет ту же роль для изменения в пространстве, что и период для изменения во времени. Примеры:
• Самые низкие тона, которые люди могут слышать, имеют длины волн (в воздухе) около 10 метров, в то время как самые высокие тона, которые люди могут услышать, имеют длины волн (в воздухе) приблизительно один сантиметр. Не случайно размеры большинства музыкальных инструментов сопоставимы со средней длиной волны в этом промежутке, ведь они предназначены для воспроизведения звуковых волн, которые люди могут услышать. Басовые трубы духовых органов на одном краю и флейты-пикколо на другом лежат на границах этого диапазона. Свистки для собак находятся слегка за его пределами!
• Спектральные цвета, которые могут видеть люди, имеют длины волн в пределах приблизительно от 400 нанометров (что эквивалентно 4 × 10–7 метрам, или 0,4 микрона) на синем краю, до 700 нанометров на красном краю спектра. Этим маленьким длинам волн сложно поставить в соответствие какие-либо механические приспособления. «Музыкальные инструменты» для света – это атомы и молекулы.
Конечно, можно расширить двери восприятия[99] искусственно, с помощью соответствующих приборов.
Мы говорим, что два подхода к одной и той же задаче дополнительны (или комплементарны), если каждый из них правомерен и логичен сам по себе, но они не могут применяться одновременно, поскольку мешают друг другу. Это распространенная ситуация в квантовой механике. Например, можно выбрать, измерять положение частицы в пространстве или ее импульс – но невозможно измерять обе эти характеристики одновременно, так как эти измерения мешают друг другу. Отчасти вдохновленный подобными примерами, но также и своим обширным жизненным опытом, Нильс Бор предположил, что будет разумно применять понятие дополнительности гораздо более широко в качестве оригинального метода решения трудных задач и преодоления очевидных противоречий. Такое более широкое понятие дополнительности, которое кажется мне полезным и раскрепощающим, лучше всего объяснить на примерах. Вы найдете несколько таких примеров в нашем заключительном постскриптуме «Красивый ответ?».
Закон Ампера сейчас считается частью одного из уравнений Максвелла, хотя исторически он был открыт раньше. Закон Ампера в его оригинальной формулировке гласит, что циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна потоку электрического тока через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Чтобы разобраться в этом, ознакомьтесь со статьями Циркуляция, Поток и Ток. Также вам будет полезна цветная вклейка N.
Максвелл, руководствуясь соображениями математической логики и красоты, видоизменил закон Ампера, добавив в него еще один член[100]. Согласно полному закону Ампера – Максвелла циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна потоку электрического тока через любую поверхность, ограниченную этим контуром, плюс скорость изменения потока электрического поля через эту поверхность.
Новое слагаемое Максвелла в каком-то смысле можно назвать дуальным к закону Фарадея. Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле может создавать электрическое поле, тогда как поправка Максвелла означает, что изменяющееся электрическое поле может создавать магнитное поле.
Мы говорим, что некая величина сохраняется, если ее значение не меняется со временем. Закон сохранения – это утверждение о том, что некоторая величина сохраняется. Многие из наших важнейших озарений об устройстве мира могут быть выражены в виде законов сохранения. Эмми Нётер доказала важную теорему, подробно описанную в тексте книги, которая проводит тесную связь между законами сохранения и наличием симметрии, или инвариантности.
Примеры: cохранение энергии, сохранение импульса, сохранение момента импульса и сохранение электрического заряда – это законы сохранения; энергия, импульс, момент импульса и электрический заряд – это сохраняющиеся величины.
Фраза «сохранение энергии» заслуживает особого внимания, поскольку ее использование в науке отличается от общепринятого. Нам часто советуют сохранять – беречь – энергию, например, выключая электрический свет ночью, или снижая температуру на наших обогревателях, или гуляя пешком вместо того, чтобы использовать машину. Но действительно ли миру нужна наша помощь, чтобы его основные законы соблюдались? Смысл в том, что, когда нас побуждают сохранять энергию, на самом деле нас просят удерживать энергию в таких формах, которые могут быть использованы позже для выполнения полезной работы, и не позволять ей переходить в бесполезные (тепло) или вредные (химические реакции, в которых выделяются токсины) формы. Понятие свободной энергии в термодинамике отражает некоторые из этих различий. Свободная энергия, которая является обобщенно-полезным видом энергии, не сохраняется. Она имеет тенденцию уменьшаться, или, как часто говорят, рассеиваться, со временем.
Этот закон утверждает, что циркуляция электрического поля по замкнутому контуру равна скорости изменения потока магнитного поля через любую поверхность, натянутую на этот контур, взятой со знаком минус. Закон Фарадея увековечен в одном из уравнений Максвелла.
Интуитивно, измерение – это возможное направление движения. Так, мы говорим, что прямая или кривая имеет одно измерение. Плоскость или поверхность имеет два измерения, поскольку требует движения в двух независимых направлениях – например, мы можем назвать их «горизонтальное» и «вертикальное», или «север-юг» и «запад-восток», – чтобы достичь любой точки из любой другой. Обычное пространство, в котором мы живем, или твердое тело имеет три измерения.
Более гибкое понятие «пространства» и измерения возникает естественным образом при введении координат. Здесь вам следует обратиться к статье о координатах, где обсуждается это понятие. Размерность[101] пространства, в котором введены координаты, равна необходимому для него числу координат. Это понятие в приложении к простым, гладким геометрическим объектам согласуется с предыдущей интуитивной идеей.
Математики обобщили эти более или менее интуитивные понятия измерений многими способами. Два примечательных обобщения – это комплексные измерения и дробные, или фрактальные, размерности. Комплексные измерения добавляют больше координат, но таких координат, которые являются комплексными числами. Дробные размерности могут возникнуть при рассмотрении объектов, содержащих очень богатую локальную структуру и очень далеких от понятия гладкости (см. Фракталы). В последние годы в связи с суперсимметрией физики ввели понятие квантовых измерений. Координаты квантовых измерений являются грассмановыми числами.
Есть и еще одно, совершенно отличное использование слова «размерность» в науке. В этом употреблении мы говорим о единицах, в которых измеряется какая-либо величина, как о ее размерности. В этом смысле площадь имеет размерность длины в квадрате, тогда как у